2025年湖南省长沙九年级数学创新班选拔考试试卷

数学试题 本卷共分两大部分共计4页 温馨提示： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。 2.试卷包括试题和答题卷两部分。请务必在答题卷上答题，在试题卷上答题无效。 3.考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回。 第〡部分客观题（共40分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.) 1.已知实数a,b,则下列选项中正确的是（) A若a>b,则a2>b2 B.若|a>b,则a2>b2 C.若ab1,则a2>b2 D若a>b,则L<} 2.若x>0,y>0,且3x-2y=-√，则三的值为() A.1 4 4 D.1或 3.数20232023的个位数字为（) A.I B.3 C.7 D.9 4.平面四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=30°，AB=2,则BC的取值范围为() A.I<BC<3 4 3 <BC<4 C.3<BC<4 D.3<BC 3 5.关于x、y的二元二次方程2xy+2x-y=31正整数解的组数为() A.3组 B.4组 C.5组 D.6组 6.从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位 数，这样的三位数的个数为() A.40 B.48 c.55 D.70 7.已知实数a、b满足a+3a-1=0,b2-3b-1=0,且ab≠1.则a++9=（) A.-/3 B.5 C.4 D.-4 8.在凸四边形ABCD中，BC=2AB=2,∠ABC=∠ADC=60°，则BD的最大值为() A.√2+1 B.√万 c.√3+1 D.3 第川部分 主观题（共110分） 二、填空题（共10小题，每小题5分，共计50分） 13、1 一X 9.若关于x的不等式组 2” 23 有且仅有四个正整数解，则实数m的取值范围为 2x+lsm 10.计算：(cos45°+sin60)+V9-4V2-π-23= 11.在实数范围内分解因式：x(x2-1(x+2)-120=_ 12.已知函数y=-上和y=x+k,其中k、么均可取12345,6中的任一数.则这两函数图像有 交点的概率为 13.已知(2x-1)°=a6+ax+a2x2+…+ax°，则a2+a4+a6+ag= 14.已知3x2+4y2+4xy-4x+2=0,则(x+)= 15.已知关于x的方程3x+1川-ax+a-1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围为 I6.如图，边长为3的正方形ABCD,E、F分别是BC、CD上两点，且AE=BF,连接AE、BF 2 交于点M,若图中阴影部分而积是正方形面积的二，则△ABM的周长为 y E D M B 第16题图 第17题图 第18题图 I7.如图，边长为6的正方形ABCD中，E在边AD上，且AD=3AE,M为CD的中点，P在线 段BM上，则EP的最小值为 18.如图，△ABC中，BC=3,AC=4,AB=5,D、E、P分别为AB边上三点，Q在边AC上， 且△DPC和△EQC均为等边三角形.则△APQ边PQ上的高为. 三、解答题（共5小题，每小题12分，共计60分.解答时请写出必要的步骤或文字说 明) 19.己知二次函数y=x2+ax+1（a为常数)， (1)当a=3,y=0时，求x3+4x2+4x+3的值： (2)当-1≤x≤2时，二次函数y=x2+m+1的最小值为-4，求a的值. 20.在平面直角坐标系中，直线：y=x+m交曲线y=(x>0)于A、B两点，交x轴于点C, 过点A作AD⊥x轴于点D,且DC=2OD,连接BD. (1)若A点的坐标为(1,2)，求线段AB的长： (2)若1=-，且△4BD的面积为3，求k的值。 21.解下列关于x、y少、z的方程组： x+y+2=9 x2+y2+z2=29 x3+y3+z3=99 22.如图，圆内接四边形ABCD中，G为对角线AC、BD的交点，过点D作DE∥AB交AC于E, 且EG=GA,F在线段GD上，且∠AEB=∠DEF,连接CF. (1)求证：△DEF∽△CAD: D (2)求证：∠ACB=∠DCF. 23.在平面直角坐标系中，直线1与抛物线Γ：y=ax2+bx+c(a≠0)交于A(-l,-2)小、B(5,4)两点， 点C(3,-2)在抛物线上，P是x轴上一动点. (1)求直线/和抛物线「的解析式： (2)如图1，D为抛物线「上位于直线/下方一动点，过D作DE垂直于x轴交直线/于E, 当线段DE长度最大时，求PD-PC的最大值： (3)如图2，G为抛物线厂的顶点，y轴上是否存在点M,使得∠CMG=45°？若存在，求 出点M的坐标：若不存在，请说明理由， 0 图1 图2