广东省惠州市光正实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

参考答案： 1．A 【分析】 根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2．B 【分析】根据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域 【详解】由函数，知 解之得： 故选：B 【点睛】本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题 3．C 【分析】 方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 4．A 【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可. 【详解】. 故选：A. 5．C 【分析】 根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 6．C 【分析】 质点在某时刻的瞬时速度即为该函数在该时刻的导数值，先将代入导函数，求出的值，再将代入导函数求值即可. 【详解】由函数关系式， 得其导函数为：， 由于当时，该质点的瞬时速度为， 将代入导函数，得， 所以， 则由函数关系式，其导函数为：， 将代入导函数，得， 所以当时，该质点的瞬时速度为， 故选：C. 7．B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 8．B 【分析】将问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值，求k的范围，即知参数的最大值. 【详解】由题设，使成立， 令，则， ∴当时，则递增； 当时，则递减； ∴，故即可. 故选：B. 9．BC 【分析】根据导数的运算法则以及导数公式表计算可得答案. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，根据导数公式表可知B正确； 对于C，根据导数公式表可知C正确； 对于D， ，故D不正确. 故选：BC 10．BC 【分析】根据排列、组合的公式，求得恰有人选一个地方的方法总数为，得到A错误，B正确；再由个人随机选个地方总数为种，进而求得恰有人选泰山含基本事件数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，恰有人选一个地方的方法总数为，故A错误，B正确； 又由个人随机选个地方，基本事件的总数为种不同方式， 其中恰有人选泰山含基本事件数中旅游方式， 所以恰有人选泰山的概率，所以C正确，D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】 利用导数求函数的单调性、极值、最值，及导数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可知， 易知时，时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在上取得极大值，在上取得极小值，即A正确； 又， 所以在区间上分别各有一个零点，即B正确； 联立与得， 若直线是曲线的切线，则切点为，而，所以C错误； 若在区间上的最大值为3，由上可知，所以， 故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式中项的系数为. 故答案为： 13．7 【分析】 根据保证每位顾客有200种以上不同选择，可得，由此可得结论． 【详解】设还需准备种不同的素菜， 由题意得，解得或， 又因，所以的最小值为， 所以餐厅至少还需要准备种不同的素菜. 故答案为：. 14． 【详解】试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，． 考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用． 15．(1)30； (2)65. 【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答. （2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答. 【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）. （2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种， 所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）. 16．(1)证明见解析； (2) 【分析】 （1）利用线面垂直性质以及判定定理可得平面，由即可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量求出平面的一个法向量为，即可得结果. 【详解】（1）由平面，平面，所以； 又底面是正方形，所以； 因为，平面，所以平面； 又平面，所以， 因为，，平面， 可得平面，又平面， 所以，又因为， 可知点E是的中点； （2）根据题意可得两两垂直， 因此以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则； 所以； 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得； 即； 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) (2) 【分析】 （1）根据斜率关系，即可求导求解， （2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解. 【详解】（1）由于的斜率为，所以， 又,故，解得， （2）由（1）知，所以， 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取最小值， 要使恒成立，故，解得， 故的取值范围为 18．(1) （2） (3) 【分析】 （1）根据给定条件，求出即得椭圆方程.（2）利用弦长公式 （3）结合椭圆定义由三角形面积表示其内切圆半径，再联立直线与椭圆方程，求出三角形面积的函数关系，然后探讨最值即得. 【详解】（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设，由消去x得： （3）设的内切圆半径为，而的周长为，由，得， 因此的面积最大时，其内切圆半径最大，设， 由消去x得：，则， 于是， 令，则，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的内切圆的半径最大时. 【点睛】 思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19．(1)在上单调递减， （2）见证明 (3)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1） 由，得， 即在上单调递减; (2)由（1）可知在上单调递减,又， 当且x无限趋近于0时，趋向于正无穷大， 即的值域为，且函数在上单调递减， 对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应， 故对于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨设解为， 即，则都存在唯一的实数，使得， 即存在源数列； （3） （i）恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，则， 令，则，仅在时取等号， 即在上单调递减，故，即在上单调递增，、 故，故； （ii）由（i）得，故，即， 故， 当时，， 当时，， 即前项和. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了数列的新定义以及数列不等式恒成立以及证明不等式问题，综合性较强，解答的关键在于证明不等式时，得到后，即可推出，此时要用放缩法得到，从而再用裂项法求和，证明不等式. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市光正实验学校2023-2024学年度第二学4月月考 高二数学试题 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩73分，第二部分（解答题）卷面成绩77分 2.考试时间120分钟。 3.请在答题卡上答题。 第一部分 客观题（共73分） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A．56 B．32 C．50 D．48 5．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 6．某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中为常数．若当时，该质点的瞬时速度为，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 7．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 8．已知函数，若，，则实数k的最大值是（    ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，则（    ） A．恰有人选一个地方的方法总数为 B．恰有人选一个地方的方法总数为 C．恰有人选泰山的概率是 D．恰有人选泰山的概率是 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．直线是曲线的切线 D．若在区间上的最大值为3，则 3、 填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12．的展开式中的系数为 .（用数字作答） 13．杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜. 14．若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是 . 第二部分 解答题（共77分） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉.2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）将首次把霹雳舞列入比赛项目．2023年1月9日中国霹雳狮队正式成立．2月25日，中国女队员、17岁的刘清漪在霹雳舞首场积分赛中夺冠，为中国队赢得了开门红．藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．（列出公式并计算出具体数字） (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱PD上（除端点外），，． (1)证明：点是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已如曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)当=1时，求弦长； (3)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 19．（17分）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)判断的单调性； (2)证明：存在源数列； (3)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$