广东省惠州市光正实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

惠州市光正实验学校2023-2024学年度第二学期中考试 高二数学试题 说明： 1.本试卷分为两部分，第一部分（客观题）卷面成绩73分，第二部分（解答题）卷面成绩77分 2.考试时间120分钟。 3.请在答题卡上答题。 第一部分 客观题（共73分） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中项的系数为（    ） A．24 B．120 C． D． 5．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（    ） A．36种 B．45种 C．48种 D．72种 6．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（    ） A．120 B．160 C．200 D．260 7．某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有40000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．8000 8．如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则（    ） A． B． C． D． 11．已知数列满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 3、 填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12．已知随机变量X服从二项分布，则 . 13．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 5 6 销售额（万元） 28 31 41 48 根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为 万元． 14．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 第二部分 解答题（共77分） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数． (1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； (2)讨论函数的单调性． 16．（15分）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.    (1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值： (2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关. 17．（15分）甲､乙两人进行围棋比赛，采用五局三胜制（当一方取得三场胜利时，该方获胜，比赛结束），假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立， (1)求共进行的局数为3该比赛结束的概率； (2)在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为，求的分布列与数学期望. 18．（17分）如图，在多面体中，四边形为正方形， 平面. (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 19．（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆. 现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系. (1)求折痕围成的椭圆的标准方程； (2)已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标. 注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2．A 【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．B 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 4．D 【分析】由题得，由二项式定理的展开式求得参数，进一步即可得解. 【详解】根据题意，，解得，则， 设x项为第项，故其展开式为． 所以，则，所以， 故选：D． 5．A 【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解. 【详解】从人中选择人看同一部影片，再从部影片中选择一部安排给这两人观看， 剩余的人，部影片进行全排列， 故共有种情况. 故选：A 6．C 【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可. 【详解】由题可知：，解得，则； 故. 故选：C. 7．C 【分析】根据正态分布的对称性即可得． 【详解】由题易知均值， 由正态曲线的对称性可知 ， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为． 故选：D． 8．B 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 9．ABD 【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，当，，，时，，故C不正确； 对于D，因为，所以，又，所以.故D正确. 故选：ABD. 10．ACD 【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可. 【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所以，因此选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C正确；因为 所以选项D正确， 故选：ACD 11．AC 【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C，D. 【详解】数列满足，，则，，， 有，，，A正确； 显然，，因此数列不是等比数列，B错误； ， C正确. ，D错误； 故选：AC 12．/0.375 【分析】由二项分布概率公式直接计算可得. 【详解】因为X服从二项分布， 所以. 故答案为： 13． 【分析】计算出样本中心后可求，从而可求广告费用为8万元时销售额. 【详解】，， 所以，， 所以广告费用为8万元时销售额（万元） 故答案为： 14．/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 15．(1) (2)答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. 【详解】（1），则 即解得，经验证满足题意， （2） 令解得或 1°当时，在上单调递增 2°当时，在，上单调递增，上单调递减 3°当时，在，（上单调递增，上单调递减 16．(1) (2)表格见解析，有关 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解即可. （2）列出列联表，求出，即可得出结论. 【详解】（1）， 解得. （2） 由频率分布直方图得旧养殖法箱产量的频数为 由频率分布直方图得新养殖法箱产量的频数为 所以列联表如下： 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 60 40 100 新养殖法 34 66 100 合计 94 106 200 零假设为：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关. 因， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于 17．(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）分析三局定胜负的情况，利用独立事件的概率公式即可得解； （2）根据题意得到的可能取值，再根据相应取值的比赛情况求得对应概率，从而得到的分布列，进而求得其数学期望，从而得解. 【详解】（1）共进行的局数为3该比赛结束意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢， 则该比赛三局定胜负的概率为. （2）依题意，的可能取值为2，3，4， 则，， ， 则的分布列为 2 3 4 故. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得； （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 所以， 所以，所以. （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 19．(1)； (2)，. 【分析】（1）利用椭圆的定义结合条件即得； （2）由题可得直线的方程是，然后利用韦达定理法结合条件可表示出，然后利用换元法利用导数求函数的最值即得. 【详解】（1）设为椭圆上一点， 则， 所以点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为， 所以，则， 所以椭圆方程为； （2）设，则， 切线方程：，切线方程：，两直线都经过点， 所以，得， ， 从而直线的方程是：， 由，得， 由韦达定理，得， ， 点到直线的距离， ，其中， 令，则， 令，则， 在上递增， ，即时，的面积取到最大值，此时点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$