精品解析：湖北省松滋市贺炳炎中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年下学期期中考试 高一年级数学试卷 本试卷满分150分，考试时间：120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，为虚数单位，且，则值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 简谐运动的相位与初相是（ ） A. ， B. ，4 C. ，－ D. ， 3. 设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”： ×是一个向量，它的模，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 6. 为了得到函数图像，只需把余弦函数上所有点（    ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 7. 中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. D. 外接圆的面积为 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 不等式的解集是 C. 的图象过定点 D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点 11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果，是方程的两根，则______． 13. 若（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 14. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．） 15. 设，是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：，，三点共线； （2）若，且，求实数的值． 16. 已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）求不等式的解集. 18. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且. （1）求氢能源环保电动步道长； （2）若___________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 19. 如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期期中考试 高一年级数学试卷 本试卷满分150分，考试时间：120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，为虚数单位，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的概念可求解. 【详解】因为，， 所以，得， 所以. 故选：B 2. 简谐运动的相位与初相是（ ） A. ， B. ，4 C. ，－ D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据简谐运动定义求解即可。 【详解】相位是，当时的相位为初相即． 故选：C 3. 设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”： ×是一个向量，它的模，若，则（ ） A 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，现根据给的与的坐标，求解出它们的模，然后再计算其夹角，带入到给的定义中即可完成求解. 【详解】由已知可得，，， ，， ，所以， 由定义可得. 故选：A. 4. 已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为. 【详解】，， 与向量的方向相反的单位向量为. 故选：A 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 6. 为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（    ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】将化为，再根据三角函数的图象变换得到答案. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度， 故选：D. 7. 中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 8. 已知是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及零点，值域，指对数转化分别计算判定各个选项 【详解】均为单调增函数，故为单调增函数; 对A：因为，故，故A错误; 对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确; 对C：，故，则，则，故C错误; 对D：因为，故，则，故D错误． 故选：B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. D. 外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出和即得解. 【详解】解：设的外接圆的半径为, 因为，所以， 所以，则外接圆的面积为. 因为，所以 所以，所以. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 不等式的解集是 C. 的图象过定点 D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】对A、B、C，结合对数函数性质逐项判断即可得，对D，将函数图象交点个数转化为研究函数的零点个数，借助零点的存在性定理即可判断. 【详解】对A：当时，在上是增函数，故A正确； 对B：当时，，则，当时，，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：当时，，令， 有，， ， 故在及上都至少有一根， 即的图象与的图象在及上都至少有一个交点， 故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“五点法”求得的解析式，从而判断A，利用三角函数的平移规则可判断B，利用代入检验法可判断C，利用三角函数的最值性质可判断D，从而得解. 【详解】依题意可得，， 所以，又，解得，所以， 对于A：由图象知过点，即， 所以，则， 又，所以，所以，故A正确； 对于B：由的图象向左平移个单位长度 得到的图象，故B错误； 对于C：因为， 所以是函数图象的一条对称轴，故C正确； 对于D：若， 则取得最大（小）值且取最小（大）值， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案. 详解】由已知得，， . 故答案为：. 13. 若（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算，求得，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，复数， 又由复数为纯虚数，则，即，解得. 【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意可得为的一个对称中心，可得满足，再由单调区间可求解. 【详解】易知， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心； 所以，即； 又在区间上单调递减，所以，解得； 当时，此时，满足题意. 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．） 15. 设，是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：，，三点共线； （2）若，且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，即可得到，从而得证； （2）设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 小问1详解】 因为，，， 所以， 所以，即， 又与有公共点，所以，，三点共线． 小问2详解】 由（1）可知，又， 因为，设， ，又，是两个不共线的向量， 所以，解得． 16. 已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可； （2）利用同角三角函数的基本关系与余弦的和差角公式求解即可 【详解】（1）因为，为锐角，则，，， 则，， 而． （2）由，得： ，， 则． 17. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可； （2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可. 【小问1详解】 ，即， 函数的定义域为． 在上任取一个自变量， 则， 为奇函数； 【小问2详解】 任取， ， 由题设可得，， 故， ， 函数在上是增函数； ∵，为奇函数， ∴， 又函数在上是增函数， ∴， 解得：， ∴不等式的解集为. 18. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且. （1）求氢能源环保电动步道的长； （2）若___________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长； （2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积． 选②：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积． 【小问1详解】 解：．，， ，，由余弦定理得， ，． 【小问2详解】 解：若选①：，在中，由正弦定理得，． ，由（1）知．代入上式可得，解得， ， ， ，， 故， 花卉种植区域总面积为． 若选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去）， ．，， ，， 故， 花卉种植区域总面积为． 19. 如图，分别是矩形的边和上的动点，且. （1）若都是中点，求. （2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值. （3）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求. （2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值. （3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值. 【详解】 （1）以点A为原点建系，得,,， ∴. （2）由（1）知，设， ∴，， ∴ 当时，最大值. （3）设，则， ∴， 当且仅当时，等号成立，故最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$