精品解析： 安徽省淮南市西部地区2024－2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024~2025学年度第二学期八年级期中适应性作业设计数学试卷 （考试时间：100分钟，试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母填在下面的括号中） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 6. 已知a为整数，且<a<，则a等于　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，矩形ABCD，作图痕迹，则下列结果说法错误的是（ ） A. 四边形BHDG是菱形 B. C. 若，则 D. DG平分 8. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 10. 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 11. 命题“如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²＝c²”的逆命题为：_____． 12. 如图，在中，于点，于点，若，，，则的周长为_____，面积为_____． 13. 当时，化简的结果是_____． 14. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，则________． 15. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______． 16. 如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 三、计算与解答（本大题共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图1，图2都是边长为1的全等菱形组成的网格图，网格的交点称为格点，AB是端点落在格点上的线段，请仅用无刻度直尺作出符合下列要求的格点四边形． （1）请在图1中作出一个以AB为边的平行四边形（非矩形）． （2）请在图2中作出一个以AB为边的矩形． 20. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 21. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）连接，若，，求的长． 22. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 23. 综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形中，是的中点，，与正方形外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系，并加以证明． （1）同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题； （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图②，在正方形中，为边上一动点（点不与点重合），是等腰直角三角形，，连接． ①求的度数； ②直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期八年级期中适应性作业设计数学试卷 （考试时间：100分钟，试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母填在下面的括号中） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围．根据二次根式的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得：， 故选：B． 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 下列各组线段 中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，22+32=13≠42，不符合题意； 选项B，32+42=25≠62，不符合题意； 选项C，52+122=169=132，符合题意； 选项D42+62=52≠72，不符合题意． 由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形， 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的运算法则计算各个选项，再判断． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 5. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 6. 已知a为整数，且<a<，则a等于　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案． 【详解】∵a为整数，且<a<， ∴a=2． 故选． 【点睛】考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键． 7. 如图，矩形ABCD，作图痕迹，则下列结果说法错误的是（ ） A. 四边形BHDG是菱形 B. C. 若，则 D. DG平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹，EG垂直平分BD，BF平分∠ABD，证明△OHD≌△OGB，推出HD=BG，可证明四边形BHDG为菱形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断各选项． 【详解】解：根据作图痕迹，EG垂直平分BD， ∴BO=OD，BH=HD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠ADB=∠CBD，∠OHD=∠OGB， ∴△OHD≌△OGB， ∴HD=BG， ∴四边形BHDG为平行四边形， ∵BH=HD， ∴平行四边形BHDG为菱形，故选项A正确； 根据作图痕迹，BF平分∠ABD， ∴∠ABH=∠HBD， ∵BH=HD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴∠ABH=∠HDB=∠HBD， ∵四边形ABCD为矩形，∠A=90°， ∴∠ABH+∠HDB+∠HBD=90°， ∴∠ABH=30°，故选项B正确； 在Rt△BDA中，∠ADB=30°，DB=6， ∴AB=3， 在Rt△BHA中，∠ABH=30°， ∴AH=， ∵四边形ABCD为矩形，四边形BHDG为菱形， ∴CG=AH=，故选项C错误； ∵四边形ABCD为矩形，四边形BHDG为菱形， ∴∠ABD=∠CDB，∠HBD=∠GDB， ∴∠ABH=∠CDG=∠GDB =∠HDB=∠HBD， ∴DG平分∠CDB，故选项D正确； 故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 8. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°， AC⊥BD，可求∠ABD=65°，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD， ∴∠ABD=65°， ∵DH⊥AB，BO=DO， ∴HO=DO， ∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 10. 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分） 11. 命题“如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²＝c²”的逆命题为：_____． 【答案】如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】命题都能写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题． 【详解】解：根据逆命题的定义得： 命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题是：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12. 如图，在中，于点，于点，若，，，则的周长为_____，面积为_____． 【答案】 ①. 20 ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由平行四边形的性质得 ，，，由平行线的性质得，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，据此求解即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 的周长是：， 面积是：． 故答案为：20；． 13. 当时，化简的结果是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的性质，根据绝对值和二次根式的性质化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB=30°，再判断出△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB=AB，再求出OB=BE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，再根据∠AOE=∠AOB+∠BOE计算即可得解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴∠AEB=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=BE， ∵∠CAE=15°， ∴∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°， ∴∠BAO=90°-30°=60°， ∵矩形中OA=OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴OB=AB，∠ABO=∠AOB=60°， ∴OB=BE， ∵∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°， ∴∠BOE=（180°-30°）=75°， ∴∠AOE=∠AOB+∠BOE， =60°+75°， =135°． 故答案为135°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 15. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______． 【答案】北偏西60° 【解析】 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：甲的路程：， 乙的路程：， ， 甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， 甲客轮沿着北偏东， 乙客轮的航行方向是北偏西60°， 故答案为：北偏西60°． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 16. 如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质和勾股定理等． （）利用正方形的性质可得，利用折叠的性质可证，即得，进而得到，即可求解； （）设，则，得到，进而可得，即得，代入计算即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、计算与解答（本大题共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式，二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 18. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，根据 、分别是、的中点，可证得且，从而得到结论． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， 且 四边形是平行四边形． 19. 如图1，图2都是边长为1的全等菱形组成的网格图，网格的交点称为格点，AB是端点落在格点上的线段，请仅用无刻度直尺作出符合下列要求的格点四边形． （1）请在图1中作出一个以AB为边的平行四边形（非矩形）． （2）请在图2中作出一个以AB为边的矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）根据矩形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图1中，四边形即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图2中，矩形即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键是掌握平行四边形，矩形的判定． 20. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）（n为正整数），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【小问1详解】 解：结合以上规律容易得出第四个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 结合规律猜想第n个等式： （n为正整数）， 证明：左＝＝右 即 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． 21. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得四边形是平行四边形，再证得四边形是矩形，得，即可证得平行四边形是菱形； （2）先证得是等边三角形，得，利用勾股定理求得，结合矩形的性质可得、，再通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由（1）可得：四边形是矩形， ，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 22. 十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离与到该生头顶的距离相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离等于多少米？ （2）若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，，设迎宾门铃距离地面，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）为该生向前走后的位置，则，，由（1）可知，，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 过点作于点，如图1， 则，， 设迎宾门铃距离地面，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：． 答：迎宾门铃到地面的距离等于； 【小问2详解】 解：为该生向前走后的位置，如图2， 则， ， 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 23. 综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形中，是的中点，，与正方形外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系，并加以证明． （1）同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题； （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图②，在正方形中，为边上一动点（点不与点重合），是等腰直角三角形，，连接． ①求的度数； ②直接写出与的数量关系． 【答案】（1）图和解答见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据的中点，得，连接．根据正方形的性质，证明即可得证； （2）①过点P作交的延长线于点M，证明，可以证明，于是得证； ②根据，可以得到． 【小问1详解】 解：与之间的数量关系为．理由如下： 如图2，∵正方形中，是的中点，的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴ ∴， ∵与正方形外角的平分线交于点． ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①解：过点P作交的延长线于点M， ∵正方形中， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角的平分线，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $