2025年广东省汕头市濠江区中考一模数学试题

九年级学业质量检测--数学 第 1 页共 6 页 九年级学业质量检测--数学 第 2 页共 6 页 九年级学业质量检测--数学 第 3 页共 6 页 2024~2025学年度第二学期学业质量检测 九 年 级 数 学 说明： 本卷试题共6 页，满分为 120 分，考试用时为 120 分钟． 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位 号．用 2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2． 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以 上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题 10 题，每小题 3分，共 30 分）．在每小题列出的四个选项中， 只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．某市 2025 年 1 月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天 是（ ）． 1月 28 日（除夕） 1月 29 日（春节） 1月 30 日（初二） 1月 31 日（初三） 4 ~ 1 4℃ 晴 西北风<4 级 0~11℃ 多云 北风<4级 -2~11℃ 阴 北风<4级 -6~-4℃ 阴 北风<4级 A．1 月 28 日 B．1 月 29 日 C．1 月 30 日 D．1 月 31 日 2.DeepSeek（深度求索）是由中国某 AI公司开发的通用人工智 能系统,以搜索增强架构和混合专家模型为核心技术，具备跨 领域推理、实时信息处理与创造性输出能力。截至 2025年 3 月，DeepSeek的全球日活跃用户总量达到 2.3亿，将数据 2.3 亿用科学记数法表示是（ ） A． 7103.2  B． 71023 C． 8103.2  D． 91023.0  3.由 5 个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 4.实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． 0a b  B． 0ab  C． 2b  D． 1b   5. 随着5G时代到来，光纤通信越来越被大家熟知．如 图，是光信号在光纤中传输的一小段过程，图示中可 看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射 时，  3521 ，则 3 的度数为（ ） A． 100 B． 110 C． 135 D． 145 6.科学家记录了四种花卉的平均开花 天数（天数越短开花越快）和方差（方 差越小开花越稳定），数据如右图表。 开花最快且最稳定的是（ ）． A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 7.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，CE：EF：FD=1：2：1，AE，BF 相交于点 G．设 △EFG 和△ABG 的面积分别为 EFGS ， ABGS ，则 :EFG ABGS S △ △ （ ） A．4：9 B．1：2 C．1：3 D．1：4 （第 7题图） （第 8题图） （第 9题图） 8.如图，函数 11  xy 和函数 x y 22  的图象相交于点 )1,(mM ， )2,( nN ，若 21 yy  ， 则 x的取值范围是（ ） A． 1 2x   B． 1 0x   或0 2x  C． 1x   或0 2x  D． 1 0x   或 2x  9.我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推 广取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作 EF 将矩形窗框 ABCD 分为上下两 部分，其中 E为边 AB 的黄金分割点，即 ABAEBE 2 ，已知 AB 为 2 米，则线段 AE 的长为（ ）米． A．3 5 B．3 5 C． 5 1 D． 5 1 10.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 P是 BC 边上的一个 动点（点 P与点 B，C都不重合），现将△PCD 沿直线 PD 折叠， 使点 C落到点 F处；过点 P作∠BPF 的角平分线交 AB 于点 E， 设 BP= x，BE= y，则下列图象中，能表示 y与 x的函数关系 的图象大致是（ ） A． B C． D． 二、填空题（本大题 5题，每小题 3分，共 15 分）．请将下列各题的正确答案填写 在答题卡相应的位置上． 11．一个袋子中有 2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外 都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是 5 3 ，则 袋子中有 个黑球． 12．如图，⊙O 的直径 AB 平分弦 CD（不是直径）.若  35D ， 则 C 。 13．计算： 3 9 3 2    aa a = ； 14．若抛物线 2y x x c   （ c是常数）与 x轴没有交点， 则 c的取值范围是 ． 15．如图，在△ABC 中，  90C ，AC=4，BC= 36 ，以 AB为边向下作等边△ABD，则 CD的长为 ． 三、解答题（二）（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21 分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．计算：     9120242025 3 1 20250 1        . 17．如图，在△ABC 中，D，E分别是 AB，AC的中点，连 接 DE． (1)实践与操作：作出线段 BC的中点 F（尺规作图，保留 痕迹，不写作法）； （第 5题图） （第 17 题图） （第 15题图） （第 12 题图） 九年级学业质量检测--数学 第 4 页共 6 页 九年级学业质量检测--数学 第 5 页共 6 页 九年级学业质量检测--数学 第 6 页共 6 页 (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接 DF，CD．若 AB=10，BC=13，CD=12，求 证：四边形 DECF是菱形． 18．某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐 最低处 B离地面高度 AB=1.5 米．接 着一人站在球罐最高点 C处，看到 斜梯末端 F处恰好被斜梯顶端 E遮 挡（此时 EF 与⊙O相切），已知过 切点 B恰有一水平横梁交于斜梯末 端 F 处． (1)连接 OE，求证：∠DOE=∠BFD； (2)若眼睛D与点C的距离为1.5米， 5 4sin D ，求斜梯 EF 的长． 四、解答题（一）（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27 分）．解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．） 19．2025 年央视春晚节目《秧 BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广 受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了 50 名现场观众和 5000 名 线上观众的评分（满分 10 分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据 的平均数、中位数、众数如下： (1)直接写出 a，b，m的值； (2)请你计算出线上观众评分不低于 8分 的总人数； (3)小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的 说法吗？简要说明理由． 20.“五一”期间，王帅一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自 驾出游．根据以下信息，解答下列问题： (1)设租车时间为 x小时，租用甲公司的车所需费用为 1y 元，租用乙公司的车所需费 用为 2y 元，分别求出 1y ， 2y 关于 x的函数表达式： (2)请你帮助王帅计算并选择哪个出游方案合算． 21.综合与实践 【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门． 线段 PQ表示球门， PAQ 、 PBQ 为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球 的可能性越大．如图 1， PAQ _____ PBQ .（用“”、“”或“”填空） 【实践探索】（1）假设运动员沿着直线 l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图 2， 以线段 PQ为弦作⊙O，恰与直线 l相切，切点为 A．若点 M是 l上一个异于点 A的动 点，求证：当运动员跑动到切点 A处时，射门张角最大，即 PAQ PMQ  ． 【迁移应用】（2）如图 3，点  2,0P ，点  6,0Q ，点 A为 y轴正半轴上的一个动 点，当 PAQ 最大时，请求出点 A的坐标． 五、解答题（三）（本大题共 2小题，第 22题 13 分，第 23题 14 分，，共 27分）．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，在矩形 ABCD 中， 6AB ， 8BC ，以点 C为旋转中心，将矩形 ABCD 沿 顺时针方向旋转，得到矩形 EFCG，点 A，B，D的对应点分别是点 E，F，G． 【知识技能】（1）如图①，当点F落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，求线段AF 的长； 【数学理解】（2）如图②，当点 F落在矩形 ABCD 的对角线 BD 的延长线上时，求△ CDF 的面积； 【拓展探索】（3）如图③，将矩形 ABCD 旋转一定角度后，连接 BF，DG 交于点 H， 连接 BG，DF，求 22 DFBG  的值． 23．【问题背景】已知抛物线 kxay  2)1( （ a，b为常数， 0a ）的顶点为 P， 对称轴与 x轴相交于点 D，点 )1,(mM 在抛物线上， 1m ,O 为坐标原点. 【构建联系】 （1）如图 1，当 1a  ，与 y交于点 (0, 1) 时，求该抛物线顶点 P的坐标； （2）如图 2，当 2 13 OPOM 时，求 a的值； 【深入探究】 （3）如图 3，若 N是抛物线上的点，且点 N在第四象限，  90MDN ，DM =DN， 点 E在线段 MN 上，点 F在线段 DN 上， DMNFNE 2 ，当 MFDE  取得最小值 为 15时，求 a的值. 平均数 中位数 众数 现场 a 8 8 线上 7.6 b 7 （第 1页，共 7页） 濠江区 2025 中考模拟试题 数学 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题 10 题，每小题 3分，共 30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一 个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C C D A B B D C A A 二、填空题（本大题 5题，每小题 3分，共 15 分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡 相应的位置上． 11 . 3 ； 12 . 55 ； 13 . 3a ； 14 . 4 1 c ； 15 . 14 ； 【15 题详解】 [方法一]构建“手拉手”模型解决问题 如图，以 AC 为边向外作等边△ACE，连接 BE， 过点 E作 EF⊥BC于 F， ∵ △ABD、△ACE 均为等边三角形； ∴ AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠ECA=∠BAD=60°； ∴ ∠EAC+∠CAB=∠BAD+∠CAB， 即：∠EAB=∠CAD ∴ △EAB≌△CAD（SAS） ∴ EB=CD ∵∠ECA=60°，∠ACB=90°， ∴∠ECF=180°-∠ECA-∠ACB=180°-60°-90°=30° ∴ 24 2 1EC 2 1EF  ， 322-4EF-ECCF 2222  ； ∴ 383236FCBCBF  ； 14238EFBFBE 2222  ）（ ； ∴ CD=EB=14； [方法二]构建平面直角坐标系（建系）解决问题 如图，取 AB 的中点为 O，以 O为坐标原点建立平面直角坐标系如 图所示；过点 C作 CE⊥AB，则△CEF∽△DOF， ∵在 Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC= 36 ， ∴ 312364BCACAB 2222  ）（ 31AB 2 1COAO  ， 2 93AB 2 3OD  ， ），（ 2 930D ∵ CEAB 2 1BCAC 2 1S ABC  ， ∴ 31 9324 31 364 AB BCACCE  ， 124 4029 2 93 31 9324CE-COOE 22 22              — （第 2页，共 7页） ∴ ），（ 2 93 124 4029-C ， ∴ 14 2 93 31 93240- 124 4029-CD 22              （提示：利用两点间的距离公式求线段长） 三、解答题（二）（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21 分）．解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 16.     9120242025 3 1 20250 1        . 解：原式= 3113  ）（ ……………………4分 =-2 ……………………7分 17.证明：（1）解：如图，点 F即为所作；………………………3 分 （2）证明：连接 EF． ∵D，E分别是 AB， AC的中点， ∴DE BC∥ ， 1 2 DE BC ， ∵线段 BC的中点是 F， ∴ 1 2 CF BC ， ∴DE FC∥ ，DE FC ， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵D是 AB的中点， ∴ 1 5 2 BD AB  ， ∵ 13BC  ， 12CD  ， ∴ 2 2 2BC CD BD  ， ∴ BCD△ 是直角三角形，且 =90BDC ，即BD CD ， ∵E是 AC的中点，线段 BC的中点是 F， ∴ EF AB∥ ， ∴ EF CD ， ∴四边形DECF是菱形．………………………7分 18.解：（1）解：由题意得： BF，EF均与⊙O相切， 90OEF OBF    ， 又四边形OBFE内角和为360， 180BOE BFD    ， 又 180BOE DOE    ， DOE BFD   ；…………………4分 （第 3页，共 7页） （2）解：设⊙O半径为 r，在Rt DOE△ 中， 4sin 5 D  ， sinOE OD D   ，即  4 1.5 5 r r  ，解得 6r  ， 在 Rt△DBF 中， 1.5 6 6 13.5BD     （米）， 4sin 5 D  ， 4tan 3 D  tan 18BF BD D    米 根据切线长定理可知 18EF BF  米． 答：斜梯 EF的长为 18 米。…………………7分 四、解答题（一）（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27 分）．解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．） 19. 解：（1） 12,7,6.7  mba …………………3分 详解：现场对《秧BOT》打分样本数据的平均数 9 6 12 7 21 8 6 9 2 10 7.6 50 a           ， 线上评分 6分人数为 5000 12% 600  人， 线上评分 7分人数为 50 40% 2000  人， 线上评分从小到大排列第 2500 名，第 2501 名的评分均为 7 分， ∴线上评分的中位数 7 7 7 2 b   ， 线上评分 9分所占百分比 % 1 12% 6% 40% 30% 12%m       ，即： 12m  ， （2）线上观众评分不低于 8分的总人数为：  5000 30% 12% 6% 2400    人， 答：线上观众评分不低于 8分的人数为 2400 人；…………………6分 （3）同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性．…………………9分 20.（1）解：设 1 1 80y k x  （ 01 k ）， 把点  1,95 代入，可得： 195 80k  ，解得 1 15k  ， ∴  1 15 80 0y x x   ；…………………2分 设 2 2y k x （ 02 k ）， 把  1,30 代入，可得： 230 1k  ，即 2 30k  ， ∴  2 30 0y x x  ； …………………4分 （2）解：当 1 2y y 时，15 80 30x x  ，解得： 16 3 x  ； 当 1 2y y 时，15 80 30x x  ，解得： 16 3 x  ； 当 1 2y y 时，15 80 30x x  ，解得： 16 3 x  ；…………………7分 （第 4页，共 7页） ∴当租车时间为 16 3 小时，选择甲乙公司一样合算； 当租车时间小于 16 3 小时，选择乙公司合算； 当租车时间大于 16 3 小时，选择甲公司合算．…………………9分 21. 【素材】 PAQ PBQ   …………………1分 解：如图 1，设 PB交圆于点 C，连接CQ， ∵ ,PAQ PCQ PCQ PBQ BQC PBQ         ， ∴ PAQ PBQ   ； 【实践探索】 证明：如图 2，设 PM 交⊙O于 C， ∵ ,PAQ PCQ PCQ PMQ MQC PMQ      ， ∴ PAQ PMQ   ， ∵线段 PQ为弦作⊙O，恰与直线 l相切，切点为 A， 即当运动员跑动到切点 A处时，射门张角最大，此时 PAQ PMQ   ；…………………5分 【迁移应用】 解：如图 3，以 PQ为弦作⊙M，过点 M作MN PQ 于 N， 连接 ,MA MP， 由【实践探索】可知：当⊙M与 y轴相切，且切点为 A时， PAQ 最大， 此时 90OAM  ， ∵点  2,0P ，点  6,0Q ， ∴ 2, 6OP OQ  ， ∴ 4PQ  ， ∵MN PQ ∴ 2PN NQ  ， ∵ 90AON ONM OAM      ∴四边形 AONM 是矩形， ∴ 2 2 4AM ON PM     ， 由勾股定理得： 2 24 2 2 3MN    ， ∴点 A的坐标为  0, 2 3 ．…………………9分 五、解答题（三）（本大题共 2小题，第 22题 13 分，第 23 题 14 分，，共 27 分）．解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.解：（1）如图① ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠B= 90 ， 在Rt ACB△ 中， 2 2 2 26 8 10AC AB BC     ， （第 5页，共 7页） 由矩形旋转可知： 8CB CF= = ，∴ 10 8 2AF AC CF      ， 则线段 AF 的长为2；…………………3分 （2）解：如图②，过点C作CH BD 于点H ， 在 Rt△BDC 中， 2 2 10BD BC CD   ， 由矩形旋转可知：CB CF ， CH BD ， 1 2 BH FH BF   ， 1 1 2 2BDC S BD CH BC CD    △ ， 24 5 CH  ， 在 Rt△BCH 中， 2 2 5 32BH BC CH   ， 64 5 BF  ， 14 5 DF BF BD    ， 1 1 2 2 5 5 25 14 24 168 CDFS DF CH      △ ， 则△CDF 的面积为 168 25 ；…………………8分 （3）解： 2 2BG DF 的值为200， 如图③， 连接 ,BD GF， 由矩形旋转可知：CB CF ，CD CG ， BCF DCG   ， CBF CFB   ， CDG CGD   ， CBF CDG   ， 四边形 ABCD是矩形， 90BCD  ， 则可证： BF DG ， 在 Rt△BGH 中， 2 2 2BG BH HG  ， 在 Rt△DFH 中， 2 2 2DF DH HF  ， 在 Rt△BDH 中， 2 2 2BD BH DH  ， 在 Rt△FGH 中， 2 2 2GF HF HG  ， 2 2 2 2BG DF BD GF    ， 2 2 2 210 10 200BG DF     ， 则 2 2BG DF 的值为200．…………………13 分 23. 解：（1）∵ 1a  ，与 y交于点 (0, 1) ， ∴  21 0 1 k    ， （第 6页，共 7页） 解得 2k   ， ∴该抛物线的解析式为  21 2y x   ， ∴该抛物线顶点 P的坐标为  1, 2 ；…………………3分 （2）解：过点  ,1M m 作MH x 轴，垂足为 1H m ， ， 则 90 1MHO HM OH m    ， ， ． 在 Rt△MOH 中，由 2 2 2 13 2 HM OH OM OM  ， ， 2 2 131 2 m           ．解得: 1 2 3 3 2 2 m m  ， （舍）． 点M 的坐标为 3 ,1 2       ． ∵  21y a x k   ， ∴抛物线的对称轴为 1x  ， 对称轴与 x轴相交于点D，则 1 90OD ODP  ， ． 在Rt OPD中，由 2 2 2 13 2 OD PD OP OP  ， ， 2 2 131 2 PD           ．解得: 3 2 PD   （正值舍去）． 由 0a  ，得该抛物线顶点 P的坐标为 31, 2      ． 该抛物线的解析式为  2 31 2 y a x   ． 点 3 ,1 2 M      在该抛物线上，有 23 31 1 2 2 a        ．  10a  ；…………………8分 （3）过点  ,1M m 作MH x 轴，垂足为 1H m ， ， 则 90 1MHO HM OH m    ， ， ． 1DH OH OD m     ． 在Rt DMH△ 中，  22 2 2 1 1DM DH HM m     ． 过点 N 作NK x 轴，垂足为K，则 90DKN  ． 90MDN DM DN    ， ，又 90DNK NDK MDH     ， NDK DMH ≌△ △ ． ∴ 1DK MH  ， 1NK DH m   ， ∴点 N 的坐标为  2,1 m ． 在Rt DMN△ 中， 45DMN DNM   ， 2 2 2 22MN DM DN DM   ，即 2MN DM ． 根据题意， 2NE NF DM  ，得ME NF ． 在 DMN的外部，作 45DNG DME   ，且NG DM ， （第 7页，共 7页） 连接GM ， 得 90MNG DNM DNG      ． GNF DME ≌△ △ ． ∴GF DE ． DE MF GF MF GM     ． 当满足条件的点 F 落在线段GM 上时，DE MF 取得最小值，即 15GM  ． 在Rt GMN△ 中， 2 2 2 23GM NG MN DM   ，  2 215 3DM  ．得 2 5DM  ．  21 1 5m    ．解得 1 23 1m m  ， （舍）． 点M 的坐标为  3,1 ，点 N 的坐标为  2, 2 ． 点    3,1 2, 2M N ， 都在抛物线  21y a x k   上， 得  21 3 1a k   ，  22 2 1a k    ， 解得 1a  ， 3k   ．…………………14 分