精品解析：贵州省铜仁市民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省铜仁市民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集的含义知. 故选：C. 2. “，，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性可得结论. 【详解】若，，，由不等式性质可得， 所以“，，”是“”的充分条件， 取，，满足，但不满足， 所以“，，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 4. ，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，解不等式，可求得的解析式，进而可求得的最大值. 【详解】①当时，，， 由，可得， 解得，又，所以， 所以当时，，所以， 当时，，所以， ②当时，由，可得， 解得，又，所以， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 综上所述：， 当时，，所以，所以， 当时，， 当，， 综上所述：，所以函数的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分类讨论，求得函数的解析式，再求得函数的最大值求解. 5. 若偶函数对任意都有，且当时，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的一个周期为6，结合函数为偶函数得到，代入求值，得到答案. 【详解】由得， 故，故的一个周期为6， 又为偶函数，故， ，，故. 故选：B 6. 已知是幂函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知函数．若不等式的解集为空集，则整数可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，求出不等式的解，再代入判断列式求解. 【详解】函数， 设，不等式为， 即，解得， 依题意无解， 即不等式无解，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：AC. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在区间内恰有一个零点，则 B. 若在区间内恰有一个零点，则或 C. 若在区间内有零点，则 D. 若在区间内有零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】把零点转化为两个函数的交点，画出函数图象，数形结合根据交点个数分别求参即可. 【详解】对A选项，B选项，在内恰有一个解． 当时，显然不是的解， 当时，可化为与，恰有一个交点． 设与恰有一个交点，由图知， 或， ∴或，故B正确，A错； 对C选项，D选项在有零点在内有解， 与有交点，由图得：，故D正确，C错． 故选：BD. 10. 某弹簧振子在振动过程中时间t（单位：s）与位移y（单位：m）满足解析式，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是（ ） A. 振幅为10 B. 周期为 C. 频率为 D. 初相为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据简谐运动的相关概念逐项分析判断. 【详解】∵， 故振幅为10，周期为，频率为，初相为， 故A、C正确，B、D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，，且，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 8 【解析】 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：1，8 12. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意可知：①方程在存在一个解，列出不等式解得实数的取值范围；②方程在存在两个解，列出不等式解得实数的取值范围.然后两个实数的取值范围求交集即可. 【详解】令，即有三个不同的解， ∴方程在存在一个解，即，即，解得或， 方程在存在两个解， 令，函数的对称轴是， 则，解得， ∴. 故答案为：. 13. 若为第三象限角，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，再利用诱导公式即可求解. 【详解】因为为第三象限角，，所以. . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设集合，． （1）若，试用区间表示集合、，并求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1） ，，. （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得. （2）根据列不等式即可求得答案. 【小问1详解】 当时，由得，所以. 由得，所以， 所以. 【小问2详解】 由得，所以， 由于，所以， 所以的取值范围是. 15. 已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件． （1）将该批产品的利润（万元）表示为的函数； （2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元? 【答案】（1）， （2）宣传费用为万元时，利润最大为万元． 【解析】 【分析】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式； （2）利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， ， ， 当即宣传费用为万元时，利润最大为万元． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1） （2） 函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 【解析】 【分析】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【小问1详解】 当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； 【小问2详解】 略 17. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 因为 ，故得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数新定义结合指数幂的运算可得； （2）由函数新定义结合指数幂的运算得证； （3）分离参数后再构造函数，分离常数换元令，再结合二次函数的单调性可求. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，在上恒成立， 即在上恒成立 ， 令，则. 令，因为，所以，所以， 所以，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 则，即的取值范围为. 18. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． （1）求； （2）求的最大值及此时的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并写出该函数的定义域； （2）由可求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （3）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【小问1详解】 根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，显然时，，此时. 【小问3详解】 由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省铜仁市民族中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “，，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. ，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 5. 若偶函数对任意都有，且当时，，则（ ） A. 8 B. C. 12 D. 6. 已知是幂函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知函数．若不等式的解集为空集，则整数可以为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在区间内恰有一个零点，则 B. 若在区间内恰有一个零点，则或 C. 若在区间内有零点，则 D. 若在区间内有零点，则 10. 某弹簧振子在振动过程中时间t（单位：s）与位移y（单位：m）满足解析式，则下列关于该简谐运动的说法中正确的是（ ） A. 振幅为10 B. 周期为 C. 频率为 D. 初相为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，，且，则______，的最小值为______． 12. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________． 13. 若为第三象限角，，则______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设集合，． （1）若，试用区间表示集合、，并求； （2）若，求实数的取值范围 15. 已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件． （1）将该批产品的利润（万元）表示为的函数； （2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元? 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明. 17. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． （1）求； （2）求的最大值及此时的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $