湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年八年级下学期新苗杯初赛数学试卷

1 2024-2025-2雅礼八年级新苗数学创新赛试卷 第 I卷（选择题） 一、单选题（每小题 5分，共 40分） 1.已知 64 2525 64 为某正整数 N的完全平方，则 N的位数为（ ） A．60 B．66 C．68 D．135 2.甲、乙两个班组织同学们参加学科兴趣小组，其中有 75％的学生参加物理小组，80％的学生参加生物小 组， 90％的学生参加化学小组， 95％的学生参加数学小组， 则四个小组都去参加的学生至少占两个班的 百分比是 ( ) A . 25％ B .30％ C .35％ D . 40％ 3.如果三角形的边长都是正整数，并且最长边的长是 5，那么这样的三角形共有 ( ) A．8 B．9 C．10 D．11 4.如图， ABC 中， 54BAC  ， AD平分 BAC ， AC AB BD  ，则 B 的度数为（ ）． A．84° B．80° C．76° D．70° 第 4题图 第 5题图 第 6题图 5. 如图，正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 上一点，连接 BP，过 P作 PQ BP⊥ ， PQ交 CD于Q，若 1AP CQ  ，则正方形 ABCD的面积为（ ） A．3 2+ B．4 C．3 2 2+ D．8 6.如图，四边形 ABCD中， AC BD、 是对角线， ABC△ 是等边三角形． 30ADC  ∠ ， 8AD  ， 17BD  ， 则CD的长为（ ）． A．9 B． 210 C． 310 D．15 7.黑板上写有 1 1 11 2 3 2025 ，　，　 ， ，　 共 2025个数字．每次操作先从黑板上的数中选取 2个数 a b， ，然 后删去 a b， ，并在黑板上写上数 a b ab  ，则经过 2024次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． A．4052 B．2026 C．2025 D．2024 2 8. 208906 22  xxxx 的最大值为（ ） A． 25 B． 36 C． 27 D． 103 第 II卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5分，共 30分） 9.已知 abba 322  ，则 ba ba   的值为 ． 10.某商店出售 A、B、C三种元旦贺卡，在元旦节期间共售出这三种贺卡 110张，销售这 110张贺卡共获 得 250元的收入，经初步统计后发现 B种贺卡至多卖了 79 张．已知 A种贺卡每张 1 元， B种贺卡每张 2 元，C种贺卡每张 3元．则卖出的 110张贺卡中C种贺卡有 张． 11.对于任意正整数 n， 1)2)(1( 22  nnn 恒为一正整数，则此正整数为 (用 n表示)。 12.已知三个关于 x的一元二次方程 02025 3323  cxbxa ， 02025 3323  axcxb ， 02025 3323  bxaxc ，恰有一个公共实数根，则 222222 202520252025 ac b cb a ba c  的值为 ． 13.已知 01112  xx ，则 2025 2025 1 x x  的个位数为 . 14.如图，在平行四边形 ABCD中，点 E是 AB上靠近 A的三等分点，点 F是 BC上靠近点 C的四等分点， 连接 AF、CE交于点 G，则  BEGF AGCD S S 四边形 四边形 3 三、解答题（15、16题每题 15分，17、18题每题 20分） 15．（本题 15分）在 t ABCR △ 中， 90C  ∠ ，a b c， ， 分别为 A B C∠ 、∠ 、∠ 所对的边, ABC△ 的周长是 40， (1)若 ABC△ 的面积为 20，求斜边 c的长度； (2)求 c的取值范围； 16．（本题 15分）如图，在 t ABCR △ 中， 3 3AC  ， 30ACB  ∠ , P为 ABC△ 内部一点，求 3AP BP PC  的最小值． 4 17.（本题 20分）已知关于 x的一元二次方程 08)614()34( 22  xkxkk 的两根均为整数，求所 有满足条件的实数 k 的值. 18.（本题 20分）如图，在等边 ABC△ 外有一点 D， 120ADC  ∠ ，延长 AD交 BC的延长线于点 F ，点 E 在边 AB上， BE CF ，连接CE 交 BD于点G，当 5DG  ， 12AF  时，求 BD的长． 1 2024-2025-2 雅礼八年级新苗数学创新赛试卷·参考答案 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1.已知 2564 6425  为某正整数 N 的完全平方，则 N 的位数为（ ） A．60 B．66 C．68 D．135 【答案】C 【详解】解：根据幂的运算法则 mnnm aa ）（ 可得 1501282566422564 25256425  ）（）（ ， 根据乘法交换律和结合律以及幂的运算法则 nmnm aaa  可得 150128 25  211642212822128128 210210225 ）（  故正整数 641164 102048210 N 所以 N 的位数为 68644  位 故选：C． 2.甲、乙两个班组织同学们参加学科兴趣小组，其中有 75% 的学生参加物理小组，80%的学生参加生物 小组，90%的学生参加化学小组，95%的学生参加数学小组， 则四个小组都去参加的学生至少占两个班 的百分比是 ( ) A . 25% B . 30% C . 35% D . 40% 【答案】D 【详解】解： 假设全班有 100 名同学， 则有 75 人参加物理小组， 80 人参加生物小组， 90 人参加化学小组， 95 人参加数学小组 ． 设四个都参加的人为 x人， 则 根据容斥原理， 至少有75 80 100 55   人同时参加物理和生物两个小组， 至少有 55 90 100 45   人同时参加物理，生物和化学三个小组， 那么 45 95 100x    ， 同时参加四个小组的人至少有 40 人， 所占的百分比为： 40 100 100% 40%   ． 故选：D． 3.如果三角形的边长都是正整数，并且最长边的长是 5，那么这样的三角形共有 ( ) A．8 B．9 C．10 D．11 2 【答案】 B 【详解】解：当 2 边长都为 5 时， 0 第 3 边 5„ ，可取 1，2，3，4，5 共 5 个数； 当 2 边长分别为 5，4 时，1第 3 边 5 ，可取 2，3，4 共 3 个数； 当 2 边长为 5，3 时， 2 第 3 边 5 ，可取 3，4 共 2 个数； 当 2 边长为 5，2 时， 3  第 3 边 5 ，可取 4 一个数； 当 2 边长为 5，1 时， 4 第 3 边 5 ，此时无解； 去掉重合的 5，4，2；5，4，3；这 2 组， 这样的三角形共有 5 3 2 1 2 9     （组 )． 故选： B． 4.如图， ABC 中， 54BAC  ， AD平分 BAC ， AC AB BD  ，则 B 的度数为（ ）． A．84° B．80° C．76° D．70° 【答案】 A 【详解】解：如图，在 AC上截取 AE AB ， AD 平分 BAC ， BAD CAD   ， 在 ABD 和 AED 中， AE AB BAD CAD AD AD       ， ( )ABD AED SAS   ， BD DE  ， B AED   ， AC AE CE  ， AC AB BD  ， CE BD  ， CE DE  ， C CDE   ， 即 2B C   ， 在 ABC 中， 180BAC B C    ， 3 54 2 180C C       ， 解得 42C  ， 2 42 84B     ． 故选： A． 5. 如图，正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 上一点，连接 BP， 过 P 作 PQ⊥BP，PQ 交 CD 于 Q，若 AP ＝CQ＝1，则正方形 ABCD 的面积为（ ） A．3 2+ B．4 C．3 2 2+ D．8 【答案】C 【详解】解：如图，过 P 分别作 PE、PF、PG 垂直于 AB、CD、AD，垂足分别为 E、F、G． 易证 Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP， 所以 FQ＝FD＝EP＝ 2 2 ， 因此正方形 ABCD 的边长为1 2+ ， 所以面积为 2(1 2) 3 2 2+ = + ． 故选 C． 6.如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形． 30ADC  ，AD = 8，BD = 17， 则 CD 的长为（ ）． 4 A．9 B． 210 C． 310 D．15 【答案】D 【详解】解：如图，以 CD 为边作等边△CDE，连接 AE. 由于 AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为 30ADC  ，所以 90ADE   . 在 Rt△ ADE 中， 17 8AE AD， ，  于是 DE= 2 2 15AE AD  ，所以 15 = DE = CD 故选：D． 7.黑板上写有 1 1 11 2 3 2025 ，　，　 ， ，　 共 2025 个数字．每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数 a b， ，然 后删去 a b， ，并在黑板上写上数 a b ab  ，则经过 2024 次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． A．4052 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【详解】解：因为 1 ( 1)( 1)a b ab a b      ，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加 1 后的乘 积不变． 设经过 2024 次操作后黑板上剩下的数为 x，则 1 1 11 (1 1)( 1)( 1) ( 1) 2 3 2025 x       ， 解得 1 2026x   ， 2025x  ． 故选：C． 5 8. 208906 22  xxxx 的最大值为（） A． 25 B． 36 C． 27 D． 103 【答案】C 【详解】解：原式可化为求 2222 2)4(93  xx ）（ 的最大值 即为求平面直角坐标系中，动点 )0,(xM 到 )2,4()9,3( BA 与 的距离之差 如图，当 M 在 AB 延长线与 x 轴交点时, 原式有最大值 272943 22  ）（）（AB 故选：C． 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9.已知 abba 322  ，则 ba ba   的值为 ． 【答案】 5 5  【详解】 5 1 52 2 ( )( 22 22 2 2       ab ab baba baba ba ba ）  , 5 5     ba ba . 10.某商店出售 A、B、C三种元旦贺卡，在元旦节期间共售出这三种贺卡 110 张，销售这 110 张贺卡共获 得 250 元的收入，经初步统计后发现 B种贺卡至多卖了 79 张．已知 A种贺卡每张 1 元， B种贺卡每张 2 元，C种贺卡每张 3 元．则卖出的 110 张贺卡中C种贺卡有 张． 【答案】30 【详解】解：设 A、 B、C三种贺卡售出的张数分别为 x， y， z， 6 则由题意得： 110 2 3 250 x y z x y z ① ②        ， 由② ①得， 2 140y z  ，即 140 2y z④  ， 将④代入①得， 140 2 110x z z    ，即 30x z  ， 0x … ， 79y  ，  030 792140   z z 解得 5.3030  z z 为整数， 30z  ． 故答案为：30． 11.对于任意正整数 n， 1)2)(1( 22  nnn 恒为一正整数，则此正整数为 (用 n 表示)。 【答案】 12  nn 【详解】解：原式 1)2)(1(1  nnnn ）（ 1)(2 22  nnnn ）（ 1)(2 222  nnnn ）（ 22 1）（  nn n 为正整数. 012  nn 此正整数为 12  nn 故答案为： 12  nn ． 12.已知三个关于 x 的一元二次方程 02025 3323  cxbxa ， 02025 3323  axcxb ， 02025 3323  bxaxc ，恰有一个公共实数根，则 222222 202520252025 ac b cb a ba c  的值为 ． 【答案】0 【详解】解：设 0x 是它们的一个公共实数根，则 02025 30 32 0 3  cxbxa ， 02025 30 32 0 3  axcxb ， 02025 30 32 0 3  bxaxc ． 把上面三个式子相加，并整理得 0)2025)(( 0 2 0 333  xxcba ． 7 因为 0 4 32024) 2 1(2025 200 2 0  xxx ，所以 0333  cba ．于是 0)(2025202520252025 222 333 222222    cba abc ac b cb a ba c ． 故答案为：0． 13.已知 01112  xx ，则 2025 2025 1 x x  的个位数为 . 【答案】8 【详解】解： 2 11 1 0x x   ， 11 1  x x 2 2 2 2 1 1( ) 2 11 2 119x x x x         ， 可设 n n n x xa 1 ， 则 1 1 1 1 1111(      n n n n n n x x x x x x x x ）（） 1 111 ,n n na a a    1 111n n na a a    下列表格找 na 个位数的规律 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 na 1 9 8 9 1 2 1 9 8 可发现 na 个位数每 6 个为一周期， 333762025   2025a 与 3a 个位数相同为 8. 故答案为：8． 14.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 上靠近 A 的三等分点，点 F 是 BC 上靠近点 C 的四等分点， 连接 AF、CE 交于点 G，则  BEGF AGCD S S 四边形 四边形 【答案】 7 17 8 【详解】连接 BG,设 ，平行四边形 1ABCDS 点 E 是 AB 上靠近 A 的三等分点，点 F 是 BC 上靠近点 C 的四等分点， 可设 ySSxSS CFGBFGAEGBEG 3322   ， ABCDABCCBEABCDABCABF SSSSSS 平行四边形平行四边形 3 1 3 2, 8 3 4 3         8 333 3 142 yx yx 解得      12 1 24 1 x y 24 732   yxSSS BFGBEGBEGF四边形 12 7 24 14 12 131   CBGABGABCDAGCD SSSS 平行四边形四边形 2 BEGF AGCD S S 四边形 四边形 . 三、解答题（15、16 题每题 15 分，17、18 题每题 20 分） 15．（本题 15 分）在 ABCR t 中，  90C ， cba ,, 分别为 CBA  ,, 所对的边, ABC 的周长是 40， (1)若 ABC 的面积为 20，求斜边 c 的长度； (2)求 c 的取值范围； 【答案】(1) 19c ；(2) 2040240  c ； 【详解】(1) ,90C 20 2 1   abS ABC 又 ，40 cbaC ABC   cbaab  4040 由勾股定理可知 222 cba  即 22 2 cabba  ）（ 9 22 40240 cc  ）（ 19c ；…………………………5 分 (2) ，40 cba cba  40 由三角形三边关系可知 cba  cc 40 20c …………………………10 分 由（1）可知 ccccbaab 40800 2 )40( 2 2222      ）（ 又 cba  40 所以可以将 ba、 看作一元二次方程 040800)40(2  cxcx 的解 0)40800(1440 2  cc）（ 01600802  cc 3200)40( 2  c 40240 c 2040240  c ；…………………………15 分 16．（本题 15 分）如图，在 ABCR t 中， 33AC ，  30ACB , P为 ABC 内部一点，求 3AP BP PC  的最小值． 【答案】 3 13 【详解】在Rt ABC 中， 30ACB   ， 可设 2 2BC AB x  3 3AC  2 2 2(3 3) (2 )x x   ， 3x  ， 3, 6,AB BC   …………………………5 分 将 APC 绕点C顺时针旋转120得到△ A P C  ，连接 PP， A B ，过点 A作 A H BC  于H ，过点C作 CK PP 于 K，如图 10 则 P C PC  ， 120PCP ACA      ， P A PA   ， 3 3AC AC   ， 由三线合一可知CK 平分 PCP  60 ,PCK P CK      在Rt PKC 中， 30CPK ，   1 2 CK PC  ，  2 2 2 21 3( ) 2 2 PK PC CK PC PC PC     ，  2 3PP PK PC   ，  3PA PB PC P A PB PP       ， 当 B、 P、 P、 A在同一条直线上时， P A PB PP    取最小值，即 3PA PB PC  取最小值，其最小 值为 A B 的长度，……………………10 分 30ACB   ， 120ACA   ， 30A CH  ，  1 1 3 3 2 2 2 A H AC AC     ，  2 2 2 2 2 (3 )3) 3 3 9( 2 HC A C A H      ，  9 216 2 2 BH BC CH     ，  2 2 2 221 3 3( ) ( ) 3 13 2 2 A B BH A H      ，  3PA PB PC  的最小值为 3 13 .………………15 分 17. （本题 20 分）已知关于 x 的一元二次方程 08)614()34( 22  xkxkk 的两根均为整数，求所 有满足条件的实数 k 的值. 【答案】 . 3 752 ，，k 【详解】由题可知： 08)614()1)(3( 2  xkxkk 11    04)1(2)3(  xkxk 此方程是关于 x 的一元二次方程 3k 且 1k 则有： k x k x     1 4 3 2 21 ， ，……………………5 分 变形得： 2 2 1 1 423 x xk x xk  ， 2 2 1 1 423 x x x x     ，整理得： 02 2121  xxxx 2)2)(1( 21  xx ……………………10 分 21 xx， 均为整数， 2,1,1,211  x …………15 分(列出 2x 也给分) 01 x 3,2,11  x ， 又 1 1 23 x xk  ，将 1x 的值分别代入得： . 3 752 ，，k ……………………20 分 18.（本题 20 分）如图，在等边 ABC 外有一点 D，  120ADC ，延长 AD交 BC的延长线于点 F ，点 E在边 AB上， BE CF ，连接CE 交 BD于点G，当 5DG  ， 12AF  时，求 BD的长． 【答案】 11BD 【详解】法一：如图 1 作 BH AD 于点H ， BI DC 交DC的延长线于点 I , 在四边形 BHDI 中 ,9090120  BIDBHDADC ，， 12 ,609090120360360  BIDBHDADCHBI ,60 HBCCBI ABC 是等边三角形, ,60,  CABBCAABCACCBAB ,60 HBCABH ,CBIABH  在 ABH 与 CBI 中， B AB AH H B CIB A CB CBI          ， ( )ABH CBI AAS ，   ，BIBH  又 ， 120ADC ， 60CDBADB ……………………5 分 由 8 字模型可知 BCADBCADBCAD   60BCAADB DBCCAD  (学生用四点共圆证明亦可) 图 1 如图 2，作 / /EN DC 交 BD于 N，在DF上截取DM DC ． 120ADC   ， 60CDM  ， DM DC ， DMC 是等边三角形， CM CD DM   ， 60DMC DCM    ， 13 DCABCADCAMCD  MCA DCB   ( )MCA DCB SAS   MA DB  120FMC  ， / /CD EN ， 60CDG ENG    ， 120ENB  ， CMF ENB   ， 60CAD F    ， 60DBC EBN   ， F EBN   ， CF BE ， ( )CFM EBN AAS   ，……………………10 分 FM BN  ， EN CM CD  ， / /EN CD ， CDG GNE   ， DGC EGN   ， ( )DGC NGE AAS   ，………………15 分 5DG GN   ， 10DN  设 xBNFM  MA DB AF FM DN BN    又 12AF  12 10x x    ， 1x  10 1 11BD DN BN      ．……………………20 分 14 图 2 法二：如图 3，将 BC绕点C逆时针旋转 60 至CP，连接 AP 由手拉手全等 ( )BCE ACP SAS   可得 CFBEAP  ……………………5 分 进一步导角证明 FCQ APQ BEG     ………………15 分 6 BGAQFQ 1156  DGBGBD ……………………20 分 图 3