湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年九年级下学期新苗杯初赛数学试卷
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内容正文：
2025 年数学素养创新大赛九年级试题
考试时间：120分钟；满分 140分
第 I 卷（选择题）
1.已知一元二次方程 0492 cxx 的两根都是质数，则 c为( )
A．94 B．79 C．14 D．28
2.一位顾客到店里购买黄金,商店使用一架右臂有磨损的不等臂的天平称黄金.售货员先将10克的砝码放在
天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将10克的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放
在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,顾客实际购买的黄金（ ）
A．大于 20克 B．小于 20 克 C．等于 20 克 D．.不能判断
3.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设
其朝上的面上的两个数字之和除以 4的余数是 3的概率为 p,则 p的值（ ）
A．
4
1 B.
9
2 C.
6
1 D.
18
5
4.设有边长为 2025的正方形。若将正方形的四个角各剪去一个等腰直角三角形后成为一个正八边形，则此
正八边形的边长为（ ）
A． 2025
3
1
B. ）（ 122025 C． ）（ 222025 D．1013
5.如图，在 ABCRt 中,已知O是斜边 AB 的中点， ABCD ,垂足为 D， OCDE ,垂足为 E ，若
2015 BCAC ， ，则DE的长为( )
A．
4
13 B．
25
84 C.
9
28 D．
5
18
6.设非零的实数 cba 、、 满足
0202420252025
0202520262024
cba
cba
，则 222 cba
bcacab
的值（ ）
A、
2
1
B、
2
1
C、0 D、
2
1
7.多项式 ))()((3)()()( 333 bacacbcbabacacbcba 有因式( )
A． cba B． cba C. cba D． acbcab
8.如图，在等腰 ABC 中， BCADACAB , , ACDA 2 ,则 A 的度数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
9.季节变化，某班感冒的同学很多，某星期当中，周一有 9人请病假，周二有 7人请病假，周三有 11人请
病假，周四有 8人请病假，若这四天中共有 20 人请过病假，则这四天中，每天都缺席的学生最多有____
人.
10.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.25％，使得利润率增加了 8个百分点，那么经
销这种商品原来的利润率是________。
11.如图，正方形 ABCD，点 P是射线CA上一点，连接 BP，过点 P作 PQ BP ，PQ交CD于点Q，若 4AB ，
且点C、D、Q中一点为其余两点的中点，则 AP的长等于__________
12.如图， P是 ABC 内任意一点，过 P作 / /DE BC , / /FG AC , / /HI AB，且
，，， 741 PGEPFIPDH SSS 则 ._____ABCS
13.已知二次函数 mmxxy 222 ，自变量 x和实数 vu、 满足 1222 xuvvu ， ，并且 y的最小
值为 4 ，求m的值
14.实数 x， y， z满足 zyx ，且 1xyz ， 0 zxyzxy ．则不等式 zkyx 恒成立时实数 k的
最大值为_______．
三、解答题（15、16 题每题 15 分，17、18 题每题 20 分）
15.已知正整数 cba 、、 满足
0
15
83
092
15
2
2
2
cba
cba
求 abc的值
16.如图，点 A为 O 上任意一点，点 B、C是直径DE上的三等分点，连接 AC ， AB，圆的直径为 1 ，
求证：
10
3
AB AC ≤
17.如图，在等边三角形 ABC 中， BDC 是顶角为120的等腰三角形，点M 、 N分别在 AB、 AC 上
，且 60MDN 求证： 1
4
BM CN
MA AN
＝
18.记 1 2nS n ，则在 202521, SSS 中有几个是 2025的倍数，求出对应 n的值.
2025 年数学素养创新大赛九年级试题解析
考试时间：120分钟；满分 140分
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题 5分，共 40分）
1.已知一元二次方程 0492 cxx 的两根都是质数，则 c为( )
A．94 B．79 C．14 D．28
答案：A
解：由 4921 xx ，两根是质数， 21 xx， 其中一个为 2，另一个为 47，所以 94472 c
2.一位顾客到店里购买黄金,商店使用一架右臂有磨损的不等臂的天平称黄金.售货员先将 10克的砝码放
在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡:再将10克的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金
放在天平左盘中使天平平衡:最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（ ）
A．大于 20克 B．小于 20 克 C．等于 20 克 D．.不能判断
答案：A
解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为 a，右臂长为b，则 ba
设先称得黄金为 x克，则 xba 10 ，
b
ax 10
设后称得黄金为 y克，则 yab 10 ，
a
by 10
20101021010
a
b
b
a
a
b
b
ayx
因此，顾客购得的黄金大于 g20 选 A
3.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设
其朝上的面上的两个数字之和除以 4的余数是 3的概率为 p,则 p的值（ ）
A．
4
1 B.
9
2 C.
6
1 D.
18
5
答案: D
解：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5) （5，6）
（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
满足两个数字之和除以 4的余数是 3：（1，2）（1，6）（2，1）（2，5）（3，4）（4，3）
（5，2）（5，6）（6，1）（6，5）共计 10个，
18
5
36
10
p
4.设有边长为 2025的正方形。若将正方形的四个角各剪去一个等腰直角三角形后成为一个正八边形，则此
正八边形的边长为（ ）
A． 2025
3
1
B. ）（ 122025 C． ）（ 222025 D．1013
答案：B
5.如图，在 ABCRt 中,已知O是斜边 AB 的中点， ABCD ,垂足为 D， OCDE ,垂足为 E ，若
2015 BCAC ， ，则 ED的长为( )
A．
4
13 B．
25
84 C.
9
28 D．
5
18
答案：B
因为 ABCRt 中, 2015 BCAC ， 可得 25AB
由 CDABBCACS ABC 2
1
2
1
,可得 12CD ;
因为 ABCRt 中, 12CD ，CO=
2
25
可得
2
7
DO ;
由 DECODOCDS CDO 2
1
2
1
,可得
25
84
DE ;
6.设非零的实数 cba 、、 满足
0202420252025
0202520262024
cba
cba
，则 222 cba
bcacab
的值（ ）
A、
2
1
B、
2
1
C、0 D、
2
1
答案：B
解：由已知得 0)202520262024(202420252025 cbacbacba
0)( 2 cba 所以 bcacabcba 222222 ，所以
2
1
222
cba
bcacab
7.多项式 ))()((3)()()( 333 bacacbcbabacacbcba 有因式( )
A． cba B． cba C. cba D． acbcab
答案 C
因式分解：
])()())[(2
])22()22()22)[(
2
1
))()((3)()()(
222
222
333
accbbacba
accbbabacacbcba
bacacbcbabacacbcba
（
（
8.如图，在等腰 ABC 中， BCADACAB , , ACDA 2 ,则 A 的度数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
答案 D
解题思路：如图，作 DACECA 且 ACACECAD , ,
∴ ACDCAE , ,ACDEAC
∵ ACDBAC 2 , ACDEAC 2 ,
,, AEAEACAB ACEABE ,
∴ BCBE
∴ ECBCAD ,等边 BEC 。
ECABAC 设 ∴ 60
2
90ACB则
20BAC ,选 D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5分，共 30分）
9、季节变化，某班感冒的同学很多，某星期当中，周一有 9人请病假，周二有 7人请病假，周三有 11人
请病假，周四有 8人请病假，若这四天中共有 20人请过病假，则这四天中，每天都缺席的学生最多有____
人
答案：5
10、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.25％，使得利润率增加了 8个百分点，那么
经销这种商品原来的利润率是________。
答：20％。
解设原进价为 100元，设原利润率 %x ，
%)8%1(100%75.93%)1(100 xx 解得： %20% x
11、如图，正方形 ABCD，点 P是射线 CA上一点，连接 BP，过 P作 BPPQ ，PQ交 CD于 Q，若 4AB ，
且点 C、D、Q中一点为其余两点的中点，则 AP的长等于__________
答案： 222或者AP
图 1 图 2
解：第一种情况：如图 1，点 P在线段 CA上，点 Q是 CD的中点，DQ=CQ=2,过 P分别作 PE、PF、PG
垂直于 AB、CD、AD，垂足分别为 E、F、G．易证 Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以 FQ＝FD＝EP
＝1， 2AP ．
第二种情况：如图 2，点 P在 CA延长线上，点 D是 CQ的中点，DQ=CD=4,，过 P分别作 PE、PF垂直
于 BC、CD，垂足分别为 E、F．易证 Rt△EPB≌Rt△FPQ≌Rt△FPD，所以 FQ＝FD＝EB＝2， 22AP ．
12 、 如 图 ， P 为 ABC 内 任 意 一 点 ， 过 点 P 作 ABHIACFGBCDE ////// ，， ， 且
，，， 741 PGEPFIPDH SSS 则 ._____ABCS
答案： 7616 ABCS
解∵ ABHIACFGBCDE ////// ，，
∴ BCAEDAICHEPGIFPPDH ∽∽∽∽∽
设 SScABzGEyPIxPH ABC ，,,,
则 czyx ， ,7,4,1 2
2
2
2
2
2
c
z
Sc
y
Sc
x
S
即 ,7,2,1
c
z
Sc
y
Sc
x
S
相加得： 1721
c
zyx
S
，即 73S
∴ 7616)73( 2 SS ABC ．
13、已知二次函数 mmxxy 222 ，自变量 x和实数 vu、 满足 1222 xuvvu ，
并且 y的最小值为 4 ，求m的值
答案： 24 或m
解：由已 1222 xuvvu ， ，得 xuvuvvu 122)( 2 ，
即， xuvxvu 124 ，
即， vu、 为关于 t的方程 01242 xtxt 的两实数根
所以， 02)1(424 xxx
所以， 0x ；又因为， 024 x ，所以 20 x
二次函数的顶点坐标为 )2,( 2mmm
（1）若 0m ，当 0x 时 y 最小，即 42 m ，得 2m ；
（2）若 20 m ，当 mx 时 y 最小，即 42 2 mm ，得 )(2151 舍m ； )(0152 舍m
（3）若 2m ，当 2x 时 y 最小，即 424 m ，得 4m ．
综上， 24 或m ．
14、实数 zyx ，， ，满足 zyx ，且 1xyz ， 0 zxyzxy ．则不等式 zkyx 恒成立时实数 k的最
大值为_______．
答案：4
解：当 3 2 yx ，
2
23
z 时，实数 x， y， z满足题设条件，此时 k ≤4．
下面证明：不等式 zkyx 对满足题设条件的实数 x， y， z恒成立．
由已知条件知， x， y， z都不等于 0，且 0z ．
因为 01
z
xy ， 012 z
yx ，所以 0 yx ．
由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是关于 t的一元二次方程 0112
2
z
t
z
t
的两个实数根，于是 0414 zz
，所以
4
13 z ．
因此 zz
z
yxyx 441)( 2 ．
三、解答题（15、16 题每题 15 分，17、18 题每题 20 分）
15、已知正整数 cba 、、 满足
0
15
83
092
15
2
2
2
cba
cba
求 abc的值
答案： 99752025或abc
解:
0
15
83
092
15
2
2
2
cba
cba
消去 c，并整理得 156)8(6 22 baa .由 a为正整数及 15660 2 aa ，
可得 51 a .
若 1a ，则 149)8( 2 b ，无正整数解；
若 2a ，则 130)8( 2 b ，无正整数解；
若 3a ，则 99)8( 2 b ，无正整数解；
若 4a ，则 56)8( 2 b ，无正整数解；
若 5a ，则 1)8( 2 b ， 79 bb 或者 ；
情况 1：若 5a ， 9b 代入 0
15
83 2 cba ， 45c则 ，从而得到 2025452 abc ；
情况 2：若 5a ， 7b 代入 0
15
83 2 cba ， 285c则 ，从而得到 9975abc
16、如图，点 A为圆 O上任意一点，点 B、C是直径 DE上的三等分点，连接 AB，AC，圆的直径为 1 求
证：
3
10
ACAB
证明：延长 AO交圆 O点 D，连结 BD、CD（如图所示），又易证 O为 BC中点，所以四边形 ABFC 为平
行四边形，从而
9
10)
3
1(1)(2 22222 BCAFACAB
0)()()(2 2222 ACABACABACAB又
9
10)(2)( 222 ACABACAB
所以：
3
10
ACAB
17、如图，在等边三角形 ABC中， BDC 是顶角为 120°的等腰三角形，点 NM、 分别在 ACBC、 上，且
60MDN ，求证： 4
1
AN
CN
MA
BM
如图，连接MN ,作 BMCE ,
由“半角模型”, ENDMNDCEDBMD ≌，≌
得到： MNCNBM
作 AMNF ， ANANNFANANAF
2
360sin,
2
160cos
在 22222 )
2
3()
2
1( ANANAMFNMFMNFMNRt 中，
化简得： ANAMANAMMN 222
又∵ 22 )( CNBMMN
CNBMCNBMANAMANAM 22222 ...........①
又因为等边三角形：
BMCNNAMA
NACNMABM
将式子平方： CNBMCNBMANAMANAM 22
2222
...........②
①—②： CNBMANAM 4 ∴
4
1
AN
CN
MA
BM
18、记 1 2nS n ，则在 202521, SSS 中有几个是 2025的倍数，求出对应 n的值.
解：设 为正整数）ppnnSn (2025)1(2
1
，则 24 5324050)1( pnn
因为 互质与 1nn ，所以 1nn与 只能去如下三种情况：
)532( 2
24
1 kk ， ； )532( 2
2
1
4 kk， ； )352( 2
4
1
2 kk，
情况 1： )532( 2
24
1 kk ， ， 1|532| 2
24
1 kk ， 20252024或者n
情况 2： )532( 2
2
1
4 kk， ， 1|532| 2
2
1
4 kk ， 324n
情况 3： )352( 2
4
1
2 kk， ， 1|352| 2
4
1
2 kk ， 1700n
综上所述：有四个是 2025的倍数， n的值为 324，1700，2024，2025.
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