2025年湖南省长沙市雅礼集团新苗杯数学素养创新选拔七年级数学试题

1 2025 年数学创新素养大赛七年级试题 考试时间：120 分钟 满分：140 分 一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．已知实数 a满足 | 2025 | 2026a a a    ，那么 22025 1a   的值为 ( ) A．1 B．2025 C．2026 D．2027 2．关于 x的方程 2 4 1 x x a    的解为正整数，且关于 x的不等式组 1 28 2 , 6 3 0 x x a x        有解且最多有 7个整数解， 则满足条件的所有整数 a值之和为 ( ) A． 3 B． 2 C．2 D．3 3．在代数式 2xy z中，若 x与 y的值各减少 25%， z的值增加 25%，则代数式的值 ( ) A．减少 121 256 B．减少 135 256 C．减少 3 4 D．减少 1 2 4．设 2 3 am a    ， 1 2 an a    ， 1 ap a   ． 若 3a   ，则 ( ) A ．m n p  B ． n p m  C ． p n m  D ． p m n  5．关于 x的一元一次方程 2020 2022 2024 2026 2019 2021 2023 2025 x x x x       的解 ( ) A．是一个大于 1000的数 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于 0且小于 2的数 D．不存在 6．用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为 ( ) A．最多需要 8块，最少需要 6块 B．最多需要 8块，最少需要 7块 C．最多需要 9块，最少需要 6块 D．最多需要 9块，最少需要 7块 7．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序 以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第 一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开 始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” ，以此类推．2025年是乙巳年，高斯 出生于 1777年，该年是 ( ) A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年 2 8．雅礼中学数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k棵树种植在点 (k kP x ， )ky 处，其中 1 1x  ， 1 1y  ，当 2k 时， 1 1 1 21 5([ ] [ ]) 5 5 1 2[ ] [ ] 5 5 k k k k k kx x k ky y                ，[ ]a 表示非负实数 a的整数部分，例 如[2.6] 2 ， [0.2] 0 ．按此方案，第 2025棵树种植点的坐标为 ( ) A． (5,2025) B． (1,2025) C． (1,405) D． (5,405) 二．填空题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 9．已知 0a b c d e     ， 0abcde  ，则 | | | | | | | | | | + + + + + a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d               的值为 ． 10．一批衣服进价为 50元，打算以 30%的利润卖出，卖了 70%后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不 打折售卖利润 74%，则打了 折． 11．如图，线段 AD、CE、BF两两相交，M、N、P为交点，则 A B C D E F      的度数为 ． 12．已知关于 x， y的方程组   2 1 2 2 1 3 ax y a x a y        无解，则 a的值为 ． 13．已知 0a b c   ， 2 3a b c  ，则 c a 的取值范围是 ． 14．已知关于 x的方程 | 5 4 | 0x a   无解， | 4 3 | 0x b   有两个解， | 3 2 | 0x c   只有一个解，则化简 | | | | | |a c c b a b     的结果是 ． 15．如图，在△ABC中，D、E分别为 AC、BC边上的点，若 : 2 : 3AD CD  ， : 3 : 2BE CE  ，则△ACF与 △BCF的面积之比为 ． 16．对于给定实数 a，记M （a）是三数 a， 6 a ， 2 4a  中最小的数，则在数 ( 2025)M  ， ( 2024)M  ， ( 2023)M  ，， ( 1)M  ， (0)M ，M（1），， (2023)M ， (2024)M ， (2025)M 中最大的数是 ． 3 三．解答题（共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分） 17．（本小题 15分）甲自 A向 B先走 5.5分钟后乙自 B向 A行走，每分钟比甲多走 30米．他们于途中C处 相遇．甲自 A到C用时比自C到 B用时多 4分钟，乙自C向 A用时比自 B向C用时多 3分钟．请问甲 从 A到C用了多少分钟？ A、 B两处的距离是多少米？ 18．（本小题 15分）对于任意一个三位数 p，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称 这个三位数 p为“新苗数”．例如： 112p  ，因为1 1 2  ，所以 112是“新苗数”； 253p  ，因为 2 5 3  ， 所以 253不是“新苗数”； （1）判断 147，358是否是“新苗数”？说明理由； （2）对于“新苗数” p，去掉个位上的数字得到的两位数记为m，去掉百位上的数字后将十位与个位的数 字交换得到的两位数记为 n，若m n 能被 24整除，求所有的 p． 19．（本小题 15分）观察按下列规则排成的一列数： 1 2 ， 2 1 ， 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ， 1 6 ， 2 5 ， 3 4 ， 4 3 ， 5 2 ， 6 1 ， 1 8  （1）第 100个数为 ．（不要写过程，直接写答案） （2）从左起第m个数记为 ( )F m ，当 2( ) 2001 F m  时，求m的值和这m个数的积 mT ． （3）未经约分且分母为 2 的数记为 c ，它后面的一个数记为 d ，是否存在这样的两个数 c 和 d ，使 2001000cd  ，如果存在，求出 c和 d：如果不存在，说明理由． 4 20．（本小题 15分）如下，设 A是由 n n 个有理数组成的 n行 n列的数表，其中 (ija i， 1j  ，2，3，， )n 表示位于第 i行第 j列的数，且 ija 取值为 1或 1 ．对于数表 A给出如下定义：记 ix 为数表 A的第 i行各 数之积， jy 为数表 A的第 j列各数之积． 令 1 2 1 2( ) ( )n nS x x x y y y      ，将 S称为数表 A的“积和”． 11a 12a  1na 21a 22a  2na     1na 2na  nna （1）当 4n  时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）是否存在一个 5 5 的数表 A，使得该数表的“积和” 0S  ？并说明理由； （3）求 n n 的数表 A “积和”S的绝对值的最小值． 1 2025 年数学创新素养大赛七年级试题解析 考试时间：120分钟 满分：140分 一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．已知实数 a满足 | 2025 | 2026a a a    ，那么 22025 1a   的值为 ( ) A．1 B．2025 C．2026 D．2027 【解答】解：由题意得： 2026 0a   ， 2026a  ， 2025 0a   ， | 2025 | 2026a a a    ， 2025 2026a a a     ，  2026 2025a   ， 22026 2025a   ， 22025 2026a   ， 22025 1 2027a    ． 故选：D． 2．关于 x的方程 2 4 1 x x a    的解为正整数，且关于 x的不等式组 1 28 2 , 6 3 0 x x a x        有解且最多有 7个整数解， 则满足条件的所有整数 a值之和为 ( ) A． 3 B． 2 C．2 D．3 【解答】解：一次方程的解为： 8 3 x a   ， 由一次方程解为正整数，得到 3 1a   ，2，4，8， 解得： 2a   ， 1 ，1，5， 将 2a   ， 1 ，5，代入不等式组，得出只有 2a   ， 1 ，1符合题意，所以整数 a值之和为 2 ． 故选： B． 3．在代数式 2xy z中，若 x与 y的值各减少 25%， z的值增加 25%，则代数式的值 ( ) A．减少 121 256 B．减少 135 256 C．减少 3 4 D．减少 1 2 【解答】解：由已知条件得：x与 y的值都变为原来的 75%，即为原来的 3 4 ，z的值变为原来的125%即 5 4 ，  3 3 3 5 135 4 4 4 4 256    ， 135 1211 256 256    ， 代数式的值减小 121 256 ． 故选： A． 2 4．设 2 3 am a    ， 1 2 an a    ， 1 ap a   ． 若 3a   ，则 ( ) A ．m n p  B ． n p m  C ． p n m  D ． p m n  【解答】解： 3a   ， 3 0a   ， 2 0a  ， 1 0a   ， 法 1： 2 1 1 0 3 2 ( 3)( 2) a am n a a a a             ，即m n ， 1 1 0 2 1 ( 2)( 1) a an p a a a a           ，即 n p ， m n p   ． 法 2： 2 1=1 3 3 am a a      ， 1 =1 2 1 2 an a a      ， =1 1 1 1 ap a a     3 2 1a a a     ， 1 1 1 3 2 1a a a       ， m n p   ． 故选：C． 5．关于 x的一元一次方程 2020 2022 2024 2026 2019 2021 2023 2025 x x x x       的解 ( ) A．是一个大于 1000的数 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于 0且小于 2的数 D．不存在 【解答】解：通过视察法发现当 1x  时方程两边都等于 2， 即方程的解为 1x  ， 结合选项可得C正确． 故选：C． 6．用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为 ( ) A．最多需要 8块，最少需要 6块 B．最多需要 8块，最少需要 7块 C．最多需要 9块，最少需要 6块 D．最多需要 9块，最少需要 7块 【解答】解：有两种可能； 由主视图可得：这个几何体共有 3层， 由俯视图可得：第一层正方体的个数为 4，由主视图可得第二层最少为 2块，最多的正方体的个数为 3块， 第三层只有一块， 最多为 3 4 1 8   个小立方块，最少为个 2 4 1 7   小立方块． 故选：B． 7．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序 以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第 一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开 始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子” ，以此类推．2025年是乙巳年，高斯 出生于 1777年，该年是 ( ) A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年 3 【解答】解：天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期． 1777年与 2024年相隔 2025 1777 248  年， 248 24 10 8   ，即天干有 24个周期，余 8年； 248 12 20 8   ，即地支有 20个周期，余 8年． 故乙往前数 8年为丁，巳往前数 8年为酉， 故 1777年为丁酉年． 故选： A． 8．雅礼中学数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k棵树种植在点 (k kP x ， )ky 处，其中 1 1x  ， 1 1y  ，当 2k 时， 1 1 1 21 5([ ] [ ]) 5 5 1 2[ ] [ ] 5 5 k k k k k kx x k ky y                ，[ ]a 表示非负实数 a的整数部分，例 如[2.6] 2 ， [0.2] 0 ．按此方案，第 2025棵树种植点的坐标为 ( ) A． (5,2025) B． (1,2025) C． (1,405) D． (5,405) 【解答】解：当 1 1x  ， 1 1y  时， 1 (1,1)P  ， 2 1 1 01 5[ ] 5[ ] 5 5 x x     ， 3 2 2 11 5[ ] 5[ ] 5 5 x x    ， 4 3 3 21 5[ ] 5[ ] 5 5 x x    ， 当 2 5k  时， 2P ， 3P ， 4P ， 5P 的坐标分别为 (2,1)、 (3,1)、 (4,1)、 (5,1)； 当 6k  时， 6 (1,2)P  ， 当 7 10k  时， 7P ， 8P ， 9P ， 10P 的坐标分别为 (2,2)、 (3,2)、 (4,2)、 (5,2)； 当 11k  时， 11 (1,3)P  ， 当12 15k  时， 12P ， 13P ， 14P ， 15P 的坐标分别为 (2,3)、 (3,3)、 (4,3)、 (5,3) 通过以上数据可以得出： 2025P 的横坐标为 5，纵坐标为 405．故选： D． 二．填空题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 9．已知 0a b c d e     ， 0abcde  ，则 | | | | | | | | | | + + + + + a b c d e b c d e a c d e a b d e a b c e a b c d               的值为 ． 【解答】 1 3 或 ． 10．一批衣服进价为 50元，打算以 30%的利润卖出，卖了 70%后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不 打折售卖利润 74%，则打了 折． 【解答】8 4 11．如图，线段 AD、CE、BF两两相交，M、N、P为交点，则 A B C D E F      的度数为 ． 【解答】360° 12．已知关于 x， y的方程组   2 1 2 2 1 3 ax y a x a y        无解，则 a的值为 ． 【解答】解：由①得， 2 (1 )y a ax   ，③ 将③代入②得， ( 2)( 1) ( 2)( 2)a a x a a     ，④ 当 ( 2)( 1) 0a a   且 ( 2)( 2) 0a a   时，即 1a   时，方程④无解，因此原方程组无解； 答案为： 1 ． 13．已知 0a b c   ， 2 3a b c  ，则 c a 的取值范围是 ． 【解答】解： 0a b c   ， 2 3a b c  ， 0a  ，b a c   ， 则 2 2 3a a c c    ， 由 2 2a a c   可得 3 2 c a   ， 由 2 2 3a c c   可得 2 5 c a   ， 综上， 23 2 5 c a     ， 故答案为： 12 2 c a     ． 14．已知关于 x的方程 | 5 4 | 0x a   无解， | 4 3 | 0x b   有两个解， | 3 2 | 0x c   只有一个解，则化简 | | | | | |a c c b a b     的结果是 ． 【解答】解：方程 | 5 4 | 0x a   无解， 0a  ， | 4 3 | 0x b   有两个解， 0b  ， | 3 2 | 0x c   只有一个解， 0c  ， 则 | | | | | | 0a c c b a b a b a b          ， 故答案为：0． 15．如图，在△ABC中，D、E分别为 AC、BC边上的点，若 : 2 : 3AD CD  ， : 3 : 2BE CE  ，则△ACF与 △BCF的面积之比为 ． 5 【解答】∵AD:CD=2:3, : 2 : 3ABF CBFS S   ∵BE:CE=3:2, : 2 : 3ACF ABFS S   2 2 4: 3 3 9 ACF ABF ACF CBF ABF CBF S SS S S S             故答案为： 4 9 ． 16．对于给定实数 a，记M （a）是三数 a， 6 a ， 2 4a  中最小的数，则在数 ( 2025)M  ， ( 2024)M  ， ( 2023)M  ，， ( 1)M  ， (0)M ，M （1），， (2023)M ， (2024)M ， (2025)M 中最大的数是 ． 【解答】答案为：M （3） 三．解答题（共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分） 17．（本小题 15分）甲自 A向 B先走 5.5分钟后乙自 B向 A行走，每分钟比甲多走 30米．他们于途中C处 相遇．甲自 A到C用时比自C到 B用时多 4分钟，乙自C向 A用时比自 B向C用时多 3分钟．请问甲 从 A到C用了多少分钟？ A、 B两处的距离是多少米？ 【解答】解：设甲每分钟走 x米，那么乙的速度为 ( 30)x  米 /分，设乙从 B走到C花了时间 t分钟 根据题意得， 5.5 ( 30) 4 5.5 3 30 x tx t x x x x tx t x           ，……………………8分 解方程组得： 90 4.5 x t    ， ……………………12分 经检验 90x  ， 4.5t  是原方程组的解， 90x  ， 4.5t  ， ……………………13分 所以甲从 A到C花时间为 5.5 4.5 10  分钟， AB距离是 5.5 90 4.5 90 4.5 120 1440      （米 )． ……………………15分 18．（本小题 15分）对于任意一个三位数 p，若个位上数字等于百位上的数字与十位上的数字之和，则称 这个三位数 p为“新苗数”．例如： 112p  ，因为1 1 2  ，所以 112是“新苗数”； 253p  ，因为 2 5 3  ， 所以 253不是“新苗数”； （1）判断 147，358是否是“新苗数”？说明理由； （2）对于“新苗数” p，去掉个位上的数字得到的两位数记为m，去掉百位上的数字后将十位与个位的数 字交换得到的两位数记为 n，若m n 能被 24整除，求所有的 p． 6 【解答】解：（1） 1 4 7  ， 147 不是“新苗数”； 3 5 8  ， 358 是“新苗数”； ……………………4分 （2）设这个数的百位为 a，十位是 b，个位是 (c a、b、 c均为正整数，且b可以为 0)， 10m a b   ， 10n c b  ， 10 2 10m n a b c    ，……………………6分 又 24 ( 1m n k k   ，且 k为整数）， c a b  ， 10 2 10 24a b c k    ， ……………………8分 5 5 12a b c k   ， 5 5 5 12a b a b k    ， 10 6 12a b k  ， 5 3 6a b k  ， ……………………10分 当 1a  ， 2a  时，没有满足条件的 b的值； 当 3a  时， b可以是 1，3，5，此时“新苗数” p为 314，336，358； 当 4a  ， 5a  时，没有满足条件的b的值； 当 6a  时， b可以为 0，2，此时“新苗数” p为 606，628； 当 7a  ， 8a  ， 9a  时，没有满足条件的 b的值． 综上所述， p可以为 314，336，358，606，628． ……………………15分 19．（本小题 15分）观察按下列规则排成的一列数： 1 2 ， 2 1 ， 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ， 1 6 ， 2 5 ， 3 4 ， 4 3 ， 5 2 ， 6 1 ， 1 8  （1）第 100个数为 ．（不要写过程，直接写答案） （2）从左起第m个数记为 ( )F m ，当 2( ) 2001 F m  时，求m的值和这m个数的积 mT ． （3）未经约分且分母为 2 的数记为 c ，它后面的一个数记为 d ，是否存在这样的两个数 c 和 d ，使 2001000cd  ，如果存在，求出 c和 d：如果不存在，说明理由． 【解答】解：（1） 1( 2 ， 2) 1 ， 1( 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4) 1 ， 1( 6 ， 2 5 ， 3 4 ， 4 3 ， 5 2 ， 6) 1 ， 1 8 ， 2 4 6 18 90    ， 所以第 100个数为第 10组第 10个数：10 11 ， ……………………4分 （2） 1000 (2 2000)(2 4 2000) 2 2 1001002 2 m         ． ……………………6分 这m个数的积 6 5 4 3 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) 2 1 4 3 2 1 6 2002 2001 2002 2001 2003001m T                  ． ……………………9分 （3）设 2 nc  ， 1 1 nd  ， 则 1 2001000 2 1 n n    ，则 2000n  ， ……………………11分 则 2000 2 c  ， 2001 1 d  ． ……………………13分 因为这一列数中当分母为 1时，分子应该为偶数，数字 d不符合这个规律， 所以不存在这样的数字 c和 d． ……………………15分 7 20．（本小题 15分）如下，设 A是由 n n 个有理数组成的 n行 n列的数表，其中 (ija i， 1j  ，2，3，， )n 表示位于第 i行第 j列的数，且 ija 取值为 1或 1 ．对于数表 A给出如下定义：记 ix 为数表 A的第 i行各 数之积， jy 为数表 A的第 j列各数之积． 令 1 2 1 2( ) ( )n nS x x x y y y      ，将 S称为数表 A的“积和”． 11a 12a  1na 21a 22a  2na     1na 2na  nna （1）当 4n  时，对如下数表 A，求该数表的“积和” S的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）是否存在一个 5 5 的数表 A，使得该数表的“积和” 0S  ？并说明理由； （3）求 n n 的数表 A “积和”S的绝对值的最小值． 【解答】解：（1）由题意可知， 1 1x  ， 2 1x   ， 3 1x  ， 4 1x  ， 1 1y   ， 2 1y   ， 3 1y  ， 4 1y   ， 2 ( 2) 0S     ； ……………………4分 （2）假设存在，一个 5 5 的数表 A，使得该数表的“积和” 0S  ， 则 1 2 3 1 2 34 5 4 5( ) ( ) 0S x x x x x y y y y y           ， 1x 、 2x 、 3x 、 4x 、 5x 、 1y 、 2y 、 3y 、 4y 、 5y 的值只能取 1或 1 ，……………………6分 1x 、 2x 、 3x 、 4x 、 5x 、 1y 、 2y 、 3y 、 4y 、 5y 中只能有 5个 1或 5个 1 ，……………………7分 设 5 5 的数表 A中 25个数的乘积为 t， 则 4 51 2 3 1 2 3 4 5t x x x x x y y y y y  ， 4 5 2 1 2 3 1 2 4 53 1t x x x x x y y y y y    ， 这与 2 0t  矛盾， 故假设不成立， 不存在一个 5 5 的数表 A，使得该数表的“积和” 0S  ；……………………9分 8 （3）依题意可知： 1 2 3 1 2 3n nx x x x y y y y、、 、 …… 、 、 …… 的取值不是 1就是-1， 不妨设 n行 n列的数表 A中的数均为 1，此时 1 2 3 1 2 3= == = =1= == = =n nx x x x y y y y…… …… ，S=2n 若将 11a 的值由 1变为-1，则新的 n行 n列的数表中 1 1 2 3 2 31, = = = = == = = = =1n nx y x x x y y y …… …… ， 此时 2 4S n  ， 由此发现，当 211 332 nna a a a、 、 、…… 中有 i个数由 1变为-1，则 2 4S n i  ， 故当 n为偶数时， min 0S  ；当 n为奇数时， min 2S  .……………………15分