山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试

高二数学

2025.04

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，请将答题卡上交．

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知函数，则（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 设，且，则（   ）

A. 1 B.  C.  D.

3. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数是（   ）

A. 120 B. 240 C. 360 D. 480

4. 随机变量的分布列为，若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ）

A. 0 B. 1 C.  D. 2

6. 过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 若恒成立，则的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 牛顿法Newton's method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值，重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，若给定，则的二阶近似解（   ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在展开式中，奇数项的二项式系数的和为32，则（   ）

A.  B. 的系数为20

C. 常数项为64 D. 第4项的系数最大

10. 甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则（   ）

A. 所有不同的报法种数有34种

B. 若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种

C. 若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种

D. 若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种

11. 已知函数，则（   ）

A. 为奇函数

B. 在区间上单调递增

C.

D. 若在区间上恰有4个零点，则

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在的展开式中，的系数是__________.

13. 已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为___________．

14. 盒子中有大小形状完全相同的1个白球，2个黑球．每次从该盒中取出1个球，若取出的是白球，则把它放回盒中；若取出的是黑球，则该黑球不放回，并且另外补1个白球放入盒中，则第2次从盒中取出白球的概率是___________；重复上述过程次后，盒中白球个数的数学期望是___________．

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

15. 老师要从8篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某位同学只能背诵其中的6篇．

（1）求抽到他能背诵的课文的数量的分布列和均值；

（2）求他能及格的概率．

16. 已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）求在区间上的最大值．

17. 春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人．

（1）求这个人患流感的概率；

（2）设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：；

（3）若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小．

18. 已知函数．

（1）若，求的极值；

（2）若有两个极值点．