精品解析：北京市大兴区2024～2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

大兴区2024~2025学年度第二学期期中检测 初二数学 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 5．考试结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式 ，不符合题意； C.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意； D.被开方数含分母，不是最简二次根式 ，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各式化简错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、，A选项运算正确，不符合题意； B、，B选项运算正确，不符合题意； C、，C选项运算正确，不符合题意； D、，D选项运算错误，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C，D进行判断． 【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算正确，故C符合题意； D、，原计算错误，故D不符合题意； 故选：C． 4. 四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先把分子分母因式分解，再约分化简，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立， 故选：A． 7. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，即可推得，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得垂直平分，得出③结论正确；根据等边三角形的性质得出，平分，根据全等三角形的判定和性质得出，得出②结论正确；根据度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出，结合垂直平分线的判定和性质得出，即可得出④结论正确． 【详解】解：在矩形中，，， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， 故， 即，①结论正确； ∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分，③结论正确； ∵和是等边三角形， ∴，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，②结论正确； 在中，， ∴， 故， 又∵，， 即点、都在的垂直平分线上，故垂直平分， ∴， 即，④结论正确； 故结论正确的有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 10. 化简：=_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据化简二次根式的法则计算即可. 【详解】解：= 故答案为． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握化简二次根式的法则是解题的关键. 11. 计算：_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可. 【详解】解：9×2=18. 故答案为：18. 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 13. 实数、在数轴上的位置如图所示， 化简__． 【答案】-2b 【解析】 【分析】由数轴可知a＜0，-b＜0，a-b＜0，化简即可解答． 【详解】解： 由数轴可得：a＜0，-b＜0，a-b＜0， 故原式=-a-b-(b-a)=-2b， 故答案为-2b． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 14. 已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积公式是求解的关键．直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案是：． 15. 如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，即点与点之间的距离，再确定点对应的实数即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 故， 即， 当点在点的左侧时，点对应的实数为； 当点在点的右侧时，点对应的实数为； 故答案为：或． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，则的长__________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键，根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理得到，设，则，由勾股定理得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的加减混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质、二次根式的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先通过完全平方公式，平方差公式进行计算，然后再算加减即可． 【详解】解： ． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题的关键．先根据完全平方公式将原式整理得出，再将的值代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时， 原式 ． 21. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 22. 如图，在中，，点是边的中点． 求作：矩形，且点在边上，点在边上． （1）根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）． ①作线段的垂直平分线，垂足为点； ②连接； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ④连接． 则四边形是所求作的矩形． （2）完成下面的证明过程． 证明： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴___________． ∵， ∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）． 又∵， ∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图： （2）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理．熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据所给步骤，逐步作图即可求解； （2）根据平行四边形和矩形的判定定理，结合证明过程，即可写出依据． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：补充后的证明过程如下： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 又∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）___________； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， 由勾股定理同理可得 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理的两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式进行计算即可； （2）先利用勾股定理求出，进而得到，然后根据勾股定理逆定理证明为直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴； 【小问2详解】 略． 24. 如图，菱形的对角线相交于点，延长至点，使，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：菱形的对角线相交于点， ， ， 为中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形的中位线的判定和性质． 利用菱形的性质得出，根据给出的条件得出为中位线，进而得出，证出四边形是平行四边形和即可得出结果． 【详解】略 25. 如图，在四边形中，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形和勾股定理．熟练掌握等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，平行线性质，是解题的关键． 延长，交于点．证明，，得，由勾股定理得，得，即得 【详解】证明：延长，交于点． ， 在Rt中， 在Rt中，， 在Rt中，且， 26. 将一副斜边相等的三角板按图1所示摆放，得到四边形，过点作． （1）求证：； （2）如图2所示，将绕点顺时针旋转． ①延长交于点，求证：四边形是正方形； ②连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵在中，，， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． （2） ①证明：如图： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴矩形为正方形． ② 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据度所对的直角边是斜边的一半得出，即可证明； （2）①根据有三个角是直角的四边形是矩形即可证明四边形为矩形，再根据邻边相等即可证明； ②由正方形可知，，推得，进而利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：， 理由如下：连接，如图： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在中，． 故线段与之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，含度角的直角三角形的性质，矩形的判定，正方形的判定，正方形的性质，勾股定理等．熟练掌握直角三角形的性质和正方形的判定和性质是解题的关键． 27. 正方形的对角线，相交于点，点为直线上一点（点不与点，，重合），连接，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点． （1）如图1，当点在线段上． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并加以证明． （2）当点在线段的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） ①证明：连接．如图： ∵四边形是正方形， ∴，，，． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，根据正方形的性质得出，，，，根据垂直平分线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，结合四边形的内角和是和等角的补角相等推得，根据等边对等角得出，即可证明； ②根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据勾股定理得出，再结合等腰直角三角形的判定与性质得出，即，结合题意即可求解； （2）连接，根据正方形的性质得出，，，，根据垂直平分线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，结合对顶角相等和等角的余角相等得出，推得，根据等边对等角得出，推得；根据等角的补角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据勾股定理得出，再结合等腰直角三角形的判定与性质得出，即，结合题意即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②用等式表示线段，，之间的数量关系是：． 证明：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 在正方形中，，， 在中，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即：． 【小问2详解】 解：，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点． ∵四边形是正方形， ∴，，，． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 在正方形中，，， 在中，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的性质，等角的补角相等，等角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 28. 阅读以下材料： 在数学学习中，我们常常需要对具有特定结构的代数式进行深入探究．以非负实数范围内的代数运算为例，通过建立代数式与已有知识体系之间的联系，可以有效解决相关问题。 例如：化简时，我们知道对于任意非负实数，有． 因此，我们进行了如下分析，因为，，所以 ． 回答下列问题： （1）化简：； （2）在平面直角坐标系中，已知正方形的面积为，且点在轴正半轴上，点在第四象限，直接写出点的坐标，并用直尺和圆规画出正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） （2）； 如图：正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，二次根式的性质与化简，勾股定理，完全平方公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题 （1）根据例题，进行计算求解； （2）先结合例题，求出正方形的边长，结合题意即可得出点的坐标；结合勾股定理和圆规，先确定点的位置，再根据正方形的性质画图即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵正方形的面积为，且， 即正方形的边长为， 又∵点在轴正半轴上，点在第四象限， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 作图思路：如图： 第一步，作等腰直角三角形，使得，，， 则， 第二步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的正半轴交于点，则， 第三步，作直角三角形，使得，， 则， 第四步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的正半轴交于点，则， 此时，， 第四步，以点为圆心，的长为半径，画弧，与的负半轴交于点； 分别以点、点为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于点； 连接、、、，所得四边形即为所求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2024~2025学年度第二学期期中检测 初二数学 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 5．考试结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式化简错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 8. 如图，在矩形中，点，分别在，上，和都是等边三角形，连接交于点．有下列结论：①，②，③垂直平分，④．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 10. 化简：=_______. 11. 计算：_____． 12. 计算：________． 13. 实数、在数轴上的位置如图所示， 化简__． 14. 已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 15. 如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是___________． 16. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，则的长__________． 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 已知，求代数式的值． 21. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 22. 如图，在中，，点是边的中点． 求作：矩形，且点在边上，点在边上． （1）根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）． ①作线段的垂直平分线，垂足为点； ②连接； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ④连接． 则四边形是所求作的矩形． （2）完成下面的证明过程． 证明： ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴___________． ∵， ∴四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）． 又∵， ∴四边形是矩形（___________）（填推理的依据）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）___________； （2）求证：． 24. 如图，菱形的对角线相交于点，延长至点，使，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 25. 如图，在四边形中，．求的长． 26. 将一副斜边相等的三角板按图1所示摆放，得到四边形，过点作． （1）求证：； （2）如图2所示，将绕点顺时针旋转． ①延长交于点，求证：四边形是正方形； ②连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系． 27. 正方形的对角线，相交于点，点为直线上一点（点不与点，，重合），连接，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点． （1）如图1，当点在线段上． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并加以证明． （2）当点在线段的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 28. 阅读以下材料： 在数学学习中，我们常常需要对具有特定结构的代数式进行深入探究．以非负实数范围内的代数运算为例，通过建立代数式与已有知识体系之间的联系，可以有效解决相关问题。 例如：化简时，我们知道对于任意非负实数，有． 因此，我们进行了如下分析，因为，，所以 ． 回答下列问题： （1）化简：； （2）在平面直角坐标系中，已知正方形的面积为，且点在轴正半轴上，点在第四象限，直接写出点的坐标，并用直尺和圆规画出正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $