精品解析：2025年江苏省徐州市沛县五中联盟学区二模数学试题

五中九年级下学期二检模拟数学试卷 温馨提示：本试卷共有三大题26小题，本试题分值为140分，考试时间为90分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 截止年月日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 估计3的运算结果应在（　　） A. 14到15之间 B. 15到16之间 C. 16到17之间 D. 17到18之间 7. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______________． 11. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____． 12. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为_____________． 13. 如图，点在反比例函数的图像上，连接，取的中点，将点绕原点逆时针旋转得到点，若函数经过点，则的值为___________． 14. 如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则等于_________________． 15. 如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为________. 16. 菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共92分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程： （2）解不等式组 19. 为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 （1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次； （2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）； （3）该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 20. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 22. 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 23. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径长． 24. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 25. 定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． （3）如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 26. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接． （1）直接写出点B、C的坐标，B　　；C　　． （2）点P是y轴右侧拋物线上的一点，连接．若的面积，求点P的坐标． （3）设E为线段上一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，当点E的坐标是　　时，点M在整个运动中用时最少，最少用时是　　秒． （4）若点Q在y轴上，当取得最大值时，直接写出点Q的坐标　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五中九年级下学期二检模拟数学试卷 温馨提示：本试卷共有三大题26小题，本试题分值为140分，考试时间为90分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方以及同底数幂的乘法化简即可判断． 【详解】A、，故选项A不合题意； B．，故选项B不合题意； C．，故选项C符合题意； D．，故选项D不合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项、幂的运算以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解答本题的关键． 3. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数a，在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，． 4. 请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 5. 截止年月日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 6. 估计3的运算结果应在（　　） A. 14到15之间 B. 15到16之间 C. 16到17之间 D. 17到18之间 【答案】C 【解析】 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 【详解】解：3＝12+3， ∵， ∴， ∴， 即3的运算结果应在16到17之间． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的混合运算和估算问题，掌握无理数的混合运算法则和估算方法是解题的关键． 7. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 8. 如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示： 当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____． 【答案】k≤5 【解析】 【详解】解：由题意得，42-4×1×（k-1）≥0, 解之得 k≤5. 点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根. 12. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为_____________． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出的值即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 13. 如图，点在反比例函数的图像上，连接，取的中点，将点绕原点逆时针旋转得到点，若函数经过点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握中点坐标的计算，待定系数法求反比例函数解析式是关键． 设，则中点，根据旋转的性质，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得，则，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ∴设， ∵点为线段中点， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵将点绕原点逆时针旋转得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14. 如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则等于_________________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，根据切线的性质可得，进而可得的度数，然后根据圆周角定理即得答案． 【详解】解：切于点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为________. 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计算出正五边形的内角和，然后得到的度数，然后根据圆周角定理，求得答案． 【详解】解：五边形是正五边形， 其内角和为， ， ． 故答案为：． 16. 菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，中位线的判定和性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键．如图所示，延长到点，使得，连接，则是等边三角形，，在中，是线段的中点，是线段的中点，，当取得最大值时，取得最大值，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∴， ∴是等边三角形，， 在中，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵将线段绕点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，当共线，并经过的直径时，的值最大， ∴， ∴， ∴旋转一周的过程中线段的最大值是 故答案为： ． 三、解答题（本大题共有10小题，共92分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，实数的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算零次幂，算术平方根，负整数指数幂，绝对值，再合并即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. （1）解方程： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，求不等式组的解集，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解题的关键．注意分式方程要验根． （1）两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得； （2）先分别求出每一个不等式的解集，再确定其公共部分即可得． 【详解】解：（1）， 两边同时乘以，得 ， ， 检验：当时，， 所以原方程的根为：； （2）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 19. 为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访了该小区的10名居民，得到这10名居民一周内使用共享单车的次数统计表如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 （1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是______次，众数是______次； （2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是______（填“中位数”“方差”或“平均数”）； （3）该小区有2000名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 【答案】（1）13，16 （2）中位数 （3）23800次 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数分别求解可得； （2）由中位数不受极端值影响可得答案； （3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得． 【小问1详解】 解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次）， 众数为16次， 故答案为：13，16； 【小问2详解】 把数据“20”看成了“30”， 那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数， 故答案为：中位数． 【小问3详解】 ∵样本的平均数为：， ∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次． 【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键． 20. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 小慧选科普活动课程的概率是 ， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种， ∴小慧和小丽选同一个板块课程的概率为 21. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 （1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩? 【答案】（1）单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元 （2）原计划平均每天制作20个充电桩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，根据表格数据进行出方程组，再计算，即可作答． （2）设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，再根据实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，进行列式，即可作答． 【小问1详解】 解：设单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为a元，b元，由题意得： ， 解得： 答：单枪、双枪两款新能源充电桩的单价分别为800元，1000元． 【小问2详解】 解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每天制作20个充电桩． 22. 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，D是中点， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定,三角形中位线定理，正方形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，熟知菱形和正方形的判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明结论； （2）根据当菱形的一个内角是时，该菱形是正方形，则可推出是等腰直角三角形，则有. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴若四边形是正方形，则， 又∵是的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，当时，四边形是正方形． 23. 如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接，如下图所示， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵过半径的外端点B， ∴与相切； （2）的半径长为． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线； （2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 故的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 24. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：） 【答案】12米 【解析】 【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米，米，米， ∴，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， 答：城墙高12米． 25. 定义：如图①，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）已知点是线段的勾股分割点，若，求的长． （2）如图②，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点． （3）如图3，点是线段上的一定点如图所示．请在上画一点，使，是线段的勾股分割点（尺规作图） 【答案】（1）的长为或 （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）如图所示，点即为所求点的位置： 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据平行线截线段成比例得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，菱形的性质，平行线截线段成比例，尺规作垂线，垂直平分线的性质等知识的综合，理解勾股定理的计算，平行线截线段成比例的计算，垂直平分线的性质是解题的关键． 26. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接． （1）直接写出点B、C的坐标，B　　；C　　． （2）点P是y轴右侧拋物线上的一点，连接．若的面积，求点P的坐标． （3）设E为线段上一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，当点E的坐标是　　时，点M在整个运动中用时最少，最少用时是　　秒． （4）若点Q在y轴上，当取得最大值时，直接写出点Q的坐标　　． 【答案】（1）， （2）或或 （3），7 （4）或 【解析】 【分析】（1）分别令，，进行计算即可； （2）利用同底等高的三角形面积相等构造与平行直线，找到与抛物线的交点P； （3）如图，在x轴上取一点G，连接，使得，作于N．作于交于．由点M的运动时间，，推出点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N三点共线，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题； （4）构造以A、B为弦的圆，由圆周角定理，结合三角形的外角的性质，得到当圆与y轴相切时，取得最大值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当时，， 当时，， 解得：，， ∴，，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ∴，设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴直线解析式为：， 设x轴上点D，使得的面积， ， 解得：， ∴点D坐标为或，即D坐标为或， 当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 设直线l的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴， 令：， 解得：，， 则P点坐标为或， 同理当点D坐标为时，直线l的解析式为， 令， 解得：（舍弃），， 则点P坐标为， 综上满足条件P点坐标为：或或； 【小问3详解】 解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于． ， ， ，， ，， ∴， 同法可求：直线的解析式为， 点M的运动时间，， 点M的运动时间， 根据垂线段最短可知，当A，E，N三点共线，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少． 由（1）知：， ， ， 点M的运动时间的最小值为7秒， ∵，， ∴， ∴点在的中垂线上， ∴的横坐标为， ∵在直线上， ∴，即：． 【小问4详解】 解：以边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆F与y轴切于点Q时，取得最大值． 如图2：连接、、，作于点H，则：，平分， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴点Q坐标为， 根据对称性可知，当点Q在x轴下方时，点Q的坐标为， 故答案为：或； 【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质，解直角三角形，作辅助线构造圆是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $