精品解析：浙江省新力量联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期温州新力量联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 命题学校：温十四高 审题学校：温61中 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 温州景山公园有3个大门，现要求从一个门入，从另外一个门出，则不同的走法种数是（ ） A 12个 B. 9个 C. 6个 D. 3个 2. 已知函数，为的导函数，则的值为 A. 1 B. C. D. 3. 将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（ ） A B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 函数区间上单调递增 C. 是函数最小值点 D. 曲线在处切线的斜率小于零 5. 某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（ ） 附：若，则，. A. 23 B. 46 C. 159 D. 317 6. 已知事件A、B满足，，则（ ） A B. C. 事件相互独立 D. 事件互斥 7. 已知为实数，随机变量，的分布列如下： 0 1 0 1 若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ） A. B. C. D. 8. 设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 的展开式中项的系数为56 C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中常数项的系数为1 10. 某母牛养殖基地有品种牛126头、品种牛84头、品种牛42头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是（ ） A. 12头牛中品种牛、品种牛、品种牛的数量分别为6头、4头、2头 B. 客户甲从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头品种牛的概率为 C. 客户乙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是品种牛，则第3次挑选出的是品种牛的概率为 D. 客户丙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选品种牛头、品种牛1头的概率为，则 11. 已知函数为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在区间单调递减 B. 当时，恒成立 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有且仅有2个零点 非选择题部分 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为___________． 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直.设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点，，，的点，记.若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点个数为______.（用具体数字作答） 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，其图象在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值． 16. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： （1）若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ （2）若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ （3）若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 17. 国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)； （2）通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值. 18. 已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品 （1）如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率 （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品 （i）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率 （ii）已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期温州新力量联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 命题学校：温十四高 审题学校：温61中 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 温州景山公园有3个大门，现要求从一个门入，从另外一个门出，则不同的走法种数是（ ） A. 12个 B. 9个 C. 6个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理可求不同的走法种数. 【详解】由题设，入门有3种选法，出的门有2种选法，故不同的走法种数为6， 故选：C. 2. 已知函数，为的导函数，则的值为 A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘法的求导法则对函数进行求导，将代入导函数，求得正确选项. 【详解】依题意，故，所以选B. 【点睛】本小题主要考查两个函数相乘的导数的运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题. 3. 将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全排列得到五个数随机排成的数列总数，再列举出满足要求的2个数列，计算出概率. 【详解】1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，共有种情况， 其中为单调数列的有2个，即1，2，3，4，5和5，4，3，2，1， 所以概率为. 故选：A 4. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 曲线在处切线斜率小于零 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断； 【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 故选：B 5. 某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（ ） 附：若，则，. A. 23 B. 46 C. 159 D. 317 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，结合，得到答案. 【详解】，故， 又，故， ， 所以估计不合格的学生人数约为23人. 故选：A 6. 已知事件A、B满足，，则（ ） A. B. C. 事件相互独立 D. 事件互斥 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件概率求法得，结合已知即独立事件的充要条件判断C，由于未知其它选项无法判断. 【详解】由题设， 所以，即相互独立，同一试验中不互斥， 而未知，无法确定、. 故选：C 7. 已知为实数，随机变量，的分布列如下： 0 1 0 1 若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围. 【详解】解：由知， ，即 ，又 ，所以； 因为 ，所以 ，解得.又 ， 且，相互独立，，所以. 故选:B. 【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出 的取值范围. 8. 设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以， 令，故，当时，为常数函数， 此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，则，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A B. 的展开式中项的系数为56 C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中常数项的系数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用二项式定理求解判定AB；利用二项式系数的性质计算判定C；仿照二项式定理的组合意义，研究三项式的展开中的常数项，即可判定D. 【详解】第3项对应 ，第7项对应 ，根据组合数的性质 ，解得 .因此选项A正确；  展开式中  项的系数为 ，而选项B中给出的系数为56，因此选项B错误； 奇数项的二项式系数和为 ，当  时，和为 ，因此选项C正确； 在  的展开式中，常数项仅在所有括号中都选择1时产生，因此常数项系数为 ，选项D正确. 故选： ACD. 10. 某母牛养殖基地有品种牛126头、品种牛84头、品种牛42头，根据发展需要，拟用分层抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是（ ） A. 12头牛中品种牛、品种牛、品种牛的数量分别为6头、4头、2头 B. 客户甲从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头品种牛的概率为 C. 客户乙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是品种牛，则第3次挑选出的是品种牛的概率为 D. 客户丙从向外出售的12头牛中的品种牛、品种牛中随机挑选品种牛头、品种牛1头的概率为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，先求出抽取的比例，然后结合分层抽样的知识即可得出结果； 对于B，分别求出从6头牛中挑选4头的选法及挑选出的4头牛中含有B品种牛3头或4头的选法，然后利用古典概型的概率计算公式求解； 对于C，根据条件概率的计算公式求解； 对于D，由古典概型的概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】对于A，由题可得抽取的比例为， 所以A品种牛抽取（头），B品种牛抽取（头），C品种牛抽取（头），所以A正确； 对于B，从6头牛中挑选4头的选法有种，其中至少含有B品种牛3头的选法有种， 故所求概率，所以B不正确； 对于C，设事件为“第1次挑选出的是B品种牛”，事件为“第3次挑选出的是A品种牛”，则在发生的条件下， 发生的概率，所以C正确； 对于D，从A品种牛、C品种牛中随机挑选头牛的选法有种， 其中A品种牛头、C品种牛1头的选法有种，根据题意得， 则，所以， 整理得，解得或，所以D不正确． 故选：AC． 11. 已知函数为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在区间单调递减 B. 当时，恒成立 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有且仅有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性； 对B 选项，当时，，可选用特殊值代入判断； 对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可； 对D选项，借助C选项得到的单调性的结论，采用隐零点的方法来解决. 【详解】当时，令， 当时，在上递减.A正确. 当时，若，则错误. 当时，， 令，则， 令，则， 当时，递增，又， 所以在上存在唯一的零点， 则当，，递减，当，，递增， 是在区间上的唯一极小值点正确. 由上可知递减，， 在递增，存在，使， 当时，递减，当时，递增， 又，得在上有一个零点. 当时，递增，为其一个零点. 当时，， 在上不存在零点D正确. 故选：ACD. 非选择题部分 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 因此展开式中含的项为，故所求系数为. 故答案为：24. 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，对任意的，，由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在上单调递减， 故对任意的，，可得， 设，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直.设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点，，，的点，记.若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点个数为______.（用具体数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】设，分到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且，两种情况，结合对称性，列举出满足题设的所有点，即可得答案. 【详解】设，情况如下： ①到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且， 由具有对称性，不妨讨论，， 满足题意的应同时在线段的中垂线面和三棱锥表面上， 即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，此时，满足要求，如图两点， 同理，，，，和，，也各有2个满足题意的点，故共6个； ②到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且， 若到的距离一样，即，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图和（舍），此时，满足要求； 若到的距离和到中的两个距离一样，由具有对称性， 不妨讨论，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图， 同理，和也各有1个满足题意的点，共4个； 综上，共有10个满足题意的点. 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，其图象在点处的切线方程为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为20，最小值为0 【解析】 【分析】（1）先求出，得出；再根据题目条件列出方程组，解出即可解答. （2）先利用导数判断函数的单调性，得出极小值和极大值；在计算端点处的函数值， ，与极大值和极小值进行比较即可解答. 【小问1详解】 由可得：. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为0，且， 所以，即，解得， 所以． 【小问2详解】 由（Ⅰ）知， 则. 令得或3， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因为， ， 所以在上的最大值为20，最小值为0． 16. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）： （1）若两个小品类节目不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？ （2）若歌舞类节目必须排在一起，和排在一起，并且在中间，一共有多少种排法？ （3）若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）特殊元素优先考虑，先排，再排其余四个节目，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）相邻问题利用捆绑法； （3）不相邻问题利用插空法，先排3个歌舞类节目，再分小品节目和1个相声节目互不相邻及有一个相邻两种情况讨论. 【小问1详解】 因为总共有六个位置，两个小品类节目不能排在第一位和最后一位， 先将排好，则有种排法，剩下四个节目四个位置，则有种排法， 故共有种排法. 【小问2详解】 先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为，并排列，故有种排法， 必须排在一起共有种排法，在中间共有种排法， 故共有种排法. 【小问3详解】 分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目，则有种排法； 第二步，再用插空法安排小品节目和1个相声节目： ①若小品节目和1个相声节目互不相邻，则有种排法； ②若与中的其中一个相邻，则有种排法. 故共有种排法. 17. 国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)； （2）通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值. 【答案】（1）150，151，150.9； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】(1)频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5. (2)根据超几何分布的概率计算方法计算分布列，根据均值的方法计算均值即可. 【小问1详解】 众数：150； 第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05， 平均数：， 设中位数为，则中位数在第3组，则，； 【小问2详解】 用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份， ∴的可能取值为0，1，2， ∴，，， ∴的分布列为： 0 1 2 ∴. 18. 已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品 （1）如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率 （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品 （i）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率 （ii）已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）记事件=“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，再借助全概率公式计算作答. （2）记事件=“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为，再利用全概率、条件概率公式求解作答. 【小问1详解】 令事件=“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2， 则， 因此， 所以第2次取到次品的概率是. 【小问2详解】 （i）令事件=“从乙箱取一个正品”，事件=“从甲箱中取出两个正品”，事件=“从甲箱中取出一个正品一个次品”， 事件=“从甲箱中取出两个次品”，互斥，且， ，， 则， 所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是. （ii）依题意，从甲箱中取出的是2个正品的概率即是在事件发生的条件下事件发生的概率， 则， 所以从甲箱中取出的是2个正品的概率是. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围判断函数的单调性即可. （2）根据函数极值的个数求出的范围，求出的解析式，根据函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 由，得． 令，则， ①当，即时，恒成立，则， ∴在上是减函数． ②当，即时，，则， ∴在上是减函数． ③当，即或． （i）当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为， 则恒成立，从而，∴在上是减函数． （ii）当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为， 则函数有两个零点：（显然）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，f（x）单调递减． 综上，当时，减区间是； 当时， 的增区间是，减区间是． 【小问2详解】 由（1）知，当时，有两个极值点， 则是方程的两个根， 从而．由韦达定理，得． 又，∴． ． 令， 则． 当时，;当时，， 则在上是增函数，在上是减函数， 从而，于是． 【点睛】利用导数求解函数（含参）的单调区间，关键要对参数进行分类讨论，本题中分子为二次函数，所以构造二次函数，利用判别式可分为来讨论的根和正负情况，从而确定的正负. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$