精品解析：2025年山东省淄博市桓台县中考二模数学试卷

初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1． 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码． 2． 第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3． 第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4． 保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5． 不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数的定义，解题关键是熟练掌握倒数的定义． 【详解】解：． ∴的倒数是． 故选：D． 2. 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 校 B. 安 C. 平 D. 园 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”， 故选：A． 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 4. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（ ） A. 中位数是31，方差是14 B. 众数是31，标准差是 C. 平均数是31，方差是 D. 极差是4，标准差是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、标准差、极差和平均数，二次根式的性质，根据众数、中位数、方差、极差、标准差（标准差是方差的平方根）和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、方差、标准差和平均数的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：在数据32，33，31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32，32，33． 中位数计算：由于有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次． 平均数计算：平均数为； 方差为：； 标准差为：； 极差为：； 故选：C． 5. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 6. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质． 根据圆内接四边形对角互补可求得，然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的2倍即可得到结论． 【详解】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵与所对的弧都是， ∴． 故选：D． 7. 如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作轴于M，过B作轴于N，设，证明，求出，，则，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式与二次根式有意义的条件可得答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 12. 一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率公式进行求解是解题的关键；因此此题可根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 该班每一位学生获奖的概率是； 故答案为． 13. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 首先配方得到，然后得出抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，然后根据二次函数的图象只经过三个象限，得到，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 二次函数的图象只经过三个象限， 二次函数的图象经过第一，二，三象限 ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是______ 【答案】20 【解析】 【分析】设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s，根据当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平，列出方程组，即可求出烧杯的底面积． 【详解】解：设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s 由图1、图2分析可得：当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平． 由此可得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是读懂函数图象中每个拐点的实际意义． 15. 已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）x1=,x2=1（2）-4＜x＜3 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）分别求出各不等式的解集，即可求出其公共解集． 【详解】（1）解方程： ∴2x-3=0或x-1=0 解得x1=,x2=1; （2）解 解不等式①得x＜3 解不等式②得x＞-4 ∴不等式组的解集为-4＜x＜3． 【点睛】此题主要考查方程与不等式的求解，解题的关键是熟知其解法． 17. 如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】略 18. 某校开展了“校园读书月”活动．为了解活动效果，随机抽取了部分学生在活动期间的读书情况（本数）作为样本，将收集的数据整理分为读0本书、1本书、2本书、3本书、4本书五个组别．并绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次抽样调查的样本容量是 ，中位数是 ； （2）读4本书所在扇形的圆心角的度数是 °； （3）按照上面调查结果，试估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生中阅读3本书以上（包含3本）的有多少人？ 【答案】（1）40，2 （2） （3）900人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、样本容量，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据读0本书的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后计算得出读2本书、4本书的人数，即可求解； （2）用乘以读4本书的占比即可； （3）用2000乘以阅读3本书以上（包含3本）的占比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为：， 读2本书的人数（人），读4本书的人数（人）， 中位数是第20、21的位置，都是读2本书，则中位数是2， 故答案为：40，2； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校2000位学生中阅读3本书以上（包含3本）的有900人． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为轴上一点，若的面积为1，请求出点的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集为 ． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系等，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，即可求出反比例函数的解析式．将点代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入一次函数即可求出一次函数解析式； （2）设，待定系数法求出直线的解析式为．过点A作轴于点C，交于点D，则，根据的面积为1求出n的值，即可解答； （3）观察函数图象，找出一次函数的图象在反比例函数图象上方所对应的x的值即为所求． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∵一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设，直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点A作轴于点C，交于点D，则， ∴， ∵， ∴或， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：由图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集为或． 20. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 【答案】（1）的长约为 （2）下降的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点F作，垂足为I，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得 ，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ， 的长约为； 【小问2详解】 过点F作，垂足为I， ∵点F为钢丝中点，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴下降的高度约为 21. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 （2）购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 22. 如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且． （1）求的度数． （2）①求证：． ②若，求的值， （3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】（1） （2）①证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ① 略 ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； 【小问3详解】 解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 已知抛物线：，交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴． （1）若，，． ①求抛物线的解析式． ②若在对称轴右侧抛物线上，且为锐角三角形，求的取值范围． （2）如图，D在y轴上点C的下方，过D的直线与抛物线都只有唯一公共点E、F，交y轴于Q，轴交y轴于N，轴交于M，求． 【答案】（1）①；②． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，解题关键是利用直线与抛物线交点个数与系数的关系，设参数表示线段从而求解． （1）①根据可得点C坐标为，由待定系数法即可求出解析式； ②求出当为直角三角形时的特殊位置，再根据图形即可得出，的取值范围即可； （2）根据直线与抛物线只有一个交点，设点坐标为，，，根据直线与抛物线有唯一交点求出，从而求出与的长，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，． ∴点， 将，，，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； ②如图： ∵，，， ∴， ， 当时；， ∴， 整理得： 解得：（与点A重合，舍去）或， 当时；， ∴， 整理得： 解得：（与点C重合，舍去）或， ∴为锐角三角形，的取值范围 【小问2详解】 设点坐标为，，， 点在点下方， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线与抛物线有唯一交点， 中， ， 直线与抛物线有唯一交点， 中， ， ， 或，或或 点E在第二象限，点F在第四象限，点C在点D上方， ， 直线的解析式为， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1． 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定位置，并核对条形码． 2． 第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3． 第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4． 保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5． 不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 农历2025年是乙巳蛇年，数字的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 校 B. 安 C. 平 D. 园 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（ ） A. 中位数是31，方差是14 B. 众数是31，标准差是 C. 平均数是31，方差是 D. 极差是4，标准差是 5. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是______________． 13. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______． 14. 如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是______ 15. 已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）解不等式组： 17. 如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 18. 某校开展了“校园读书月”活动．为了解活动效果，随机抽取了部分学生在活动期间的读书情况（本数）作为样本，将收集的数据整理分为读0本书、1本书、2本书、3本书、4本书五个组别．并绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次抽样调查的样本容量是 ，中位数是 ； （2）读4本书所在扇形的圆心角的度数是 °； （3）按照上面调查结果，试估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生中阅读3本书以上（包含3本）的有多少人？ 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为轴上一点，若的面积为1，请求出点的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集为 ． 20. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 21. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 22. 如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且． （1）求的度数． （2）①求证：． ②若，求的值， （3）如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 23. 已知抛物线：，交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴． （1）若，，． ①求抛物线的解析式． ②若在对称轴右侧抛物线上，且为锐角三角形，求的取值范围． （2）如图，D在y轴上点C的下方，过D的直线与抛物线都只有唯一公共点E、F，交y轴于Q，轴交y轴于N，轴交于M，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $