2025届甘肃省天水市部分学校高三第三次联考（三模）数学试题

1 天水八中、九中、十中、新阳中学、麦积职中、新梦想复读学校 2025届高三级五月份联考 数学解析 说明：1、此卷严格参考 2024 年全国新课改试卷题型命制，试题难度适中； 2、参考了今年 4 月份以来全国各地模拟试卷，如 2025 年重庆地区模拟卷、2025 年湖北省（市） 模拟卷、2025 年陕西省（市）模拟卷等、2025 年贵州省（市）模拟卷等； 3、本试卷未出现偏、难、怪题目，个别题目依然有陷阱，需要强调学生认真审题，认真琢磨； 4、某些常考知识点如：三角函数图像问题、二项式定理、解斜三角形解答题、概率与统计的一些 细节问题、正态分布、导数的隐零点问题等由于题型覆盖问题没有涉及到； 5、不知不觉已经是五月中旬，在这个重要的阶段，本卷是一套很适合学生学情的模拟卷，请老师 在考后讲解过程中引导学生认真总结和归纳，最重要的是要引导学生认真审题、用心计算、规范书写、用 积极的心态去迎接高考。 一、单选题（共 8小题，每题 5分，共 40 分） 1．D 解：由于一个为数集，一个为点集，因此 M∩N＝∅． 故选：D． 2．A 解：化简得 ，令 ，解得 a＞1或 a＜﹣1， 故选：A． 3．A． 4．C 5. D 解：如图： 设∠AOB＝α， 由题意，劣弧 与弦 AB围成的图形面积 ＝ ， 解得 ，所以圆心 O到直线 l的距离为 1，即 ， 得 ． 故选：D． 6．C 解：由题意可知，两个函数图像都在 x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调 递增，判断可知，虚线部分为 y＝f′（x），实线部分为 y＝f（x），则 A，B显然错误， 对于 C，D而言， ，由图像可知 2 单调递增，x∈（0，+∞）， 单调递减，所以函数 在 x＝ 0处取得最大值为 1． 故选：C． 7．C 解：椭圆C： ＝1与双曲线E： ＝1的离心率分别为 e1＝ ．e2＝ ， 3e1＝e2，可得 ，a＞b＞0， 得 ＝ ， 则渐近线方程为：2x y＝0． 8. 说明：许多学生对此题有畏难心态，本题作为实际应用问题，考查学生的分析能力，只要学生认真 审题，此题很容易得分，给学生一种暗示：有可能此题并不难，在在这个特殊的阶段，树立学生信心 非常有必要，但也有可能部分学生依然会放弃。 D 解：根据题意设 ， 当 W＝2，f＝210，解得： ， 则当 f＝70，则 ， 所以 W＝54． 故选：D． 二、多选题（共 3小题，每题 6分，共 18 分） 9．BCD 解：对于 A，因为 12×60%＝7.2， 所以甲组数据的第 60百分位数是 253，故 A错误； 对于 B，因为 10×50%＝5， 所以乙组数据的中位数是 ，故 B正确； 对于 C，由题意可知，甲组中跳远成绩在 250厘米，以上的有 5人，乙组中跳远成绩在 250厘米以上 的有 2人， 所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在 250厘米以上的概率为 ，故 C正确； 对于 D，由题意可知，甲组的平均成绩为 厘米， 乙组的平均成绩为 厘米， 所以将甲组中跳远成绩为 248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故 D 正确． 故选：BCD． 3 10.AD 解：A选项，∵sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或 2A+2B＝π， ∴A＝B或 ，∴△ABC为等腰或直角三角形，故 A选项正确； B选项，∵cosA＝sinB，∴ ， ∴ 或 ，∴ 或 ， ∴△ABC不一定是直角三角形，故 B选项错误； C选项，∵ ，∴ ， ∴cosC＜0，∵0＜C＜π，∴C为钝角， ∴△ABC是钝角三角形，故 C选项错误； D选项，∵sinA＞sinB，∴2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得 a＞b， ∴A＞B，故 D选项正确． 故选：AD． 11．BCD 解：根据题意可知，f（x+2）是偶函数，所以 f（x+2）＝f（﹣x+2）， 又因为 f（x）是奇函数，所以 f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），所以 f（x+2）＝﹣f（x﹣2）， 所以 f（x+4）＝﹣f（x）， 所以 f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以 f（x）的周期为 8，故 A选项错误； 又当 x∈[0，2]时，f（x）＝x2+2x， 所以 f（﹣3）＝f（5）＝﹣f（1）＝﹣3，故 B选项正确； f（2024）＝f（8×253+0）＝f（0）＝0，故 C选项正确； f（2025）＝f（8×253+1）＝f（1）＝3，故 D选项正确． 故选：BCD． 三、填空题（共 3小题，每题 5分，共 15 分） 12．2046 解：在数列{an}中，已知 ， 则{an}的前 10项和为（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+（a7+a8）+（a9+a10） ＝ ． 13. 168 解：根据题意，八中校长、九中校长都单独 1人去某一个地方培训，剩下 4人分为两组，去其他 的两个地方培训，故有 （ + ） ＝168种不同方案． 14．600π 4 解：由图象知，以直线 EF为轴旋转，弧 AO，CO和线段 AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体 是两个半径均为 10的半球，可合为一个完整的球， 故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积， 即 S＝4πR2+2πR2＝6πR2＝6π×102＝600π． 四、解答题（共 5小题，共 77 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 说明：解答题目步骤分值请各位老师按照实际情况酌情给分。 15．（本题 13分） 解：（1）证明：如图，取 PB的中点 G，连接 EG，GF． 因为 E，G分别是 PA，PB的中点， 所以 EG∥AB，且 ． 又因为 DF∥AB，且 ， 所以 EG∥DF，且 EG＝DF， 所以四边形 EGFD为平行四边形， 故 DE∥FG． 又 DE⊄平面 PBF，FG⊂平面 PBF，所以 DE∥平面 PBF； （2）以 A为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）， ，D（0，2，0）， 所以 ， ， ． 设平面 PBF的法向量为 ， 则 ，则有 ， 取 z＝4，则 x＝4，y＝1，所以 ， 则直线 PD与平面 PBF所成角的正弦值即为： ， 所以直线 PD与平面 PBF所成角的正弦值为 ． 5 16.（本题 15分）解：（1）根据这 10日数据： (i)x = 1 10 ×(1+ 2+ …+ 10)= 5.5， y= 1 10 ×(4.88+ 9.68+ 15.87+ 23.19+ 31.32+ 39.76+ 48.43+ 54.92+ 60.78+ 66.20)= 35.503； (ii)因为 10 ∑ i= 1 x 2 i −10x 2 = 385−10×5.52 = 82.5， 所以根据题目的数据及公式可得 ̂ b = 594.495 82.5 = 7.206， 所以 ̂ a = y− ̂ b x = 35.503−7.206×5.5≈−4.13， 所以y关于x 的回归方程为 ̂ y = 7.206x−4.13； （2）由（1）可得当x = 180时， ̂ y = −4.13+ 7.206×180≈1292.95， 预测结果不合理，因为票房增长不可能长期线性增长，实际会随着时间放缓甚至下降， 所以回归模型在此范围外的预测不可靠． 17.（本题 15分） 解： （1）函数 2( )f x x lnx ，则 ( ) 2f x xlnx x   ，则 f （e） 3e ，又 f （e） 2e ． 所以 ( )f x 的图象在点 (e， f （e） )处的切线方程为 2 3 ( )y e e x e   ， 即 23 2y ex e  ． （2） 因为 ( ) 2 (2 1)f x xlnx x x lnx     ， 令 ( ) (2 1) 0f x x lnx    ，则 1x e  ， 又 1(0, )x e  ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 1( , )x e   ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 所以 ( )f x 的极小值为 1 1( ) 2 f ee   ，无极大值． （3） 证明：令 1( ) 1t x xlnx x    ，可得 2 1( ) 1t x lnx x     ， 令 2 1( ) 1m x lnx x    ， 则 3 1 2( )m x x x    ， ( ) 0m x  ， ( )m x 单调递增，m（1） 0 ， (0,1)x ， ( ) ( ) 0m x t x   ， ( )t x 单调递减； (1, )x  ， ( ) ( ) 0m x t x   ， ( )t x 单调递增； 所以 ( )mint x t （1） 0 ，所以 1( ) 1 (1) 0t x xlnx t x      ， 11xlnx x   ，即得 x2lnx≥x﹣1，证得 f（x）≥x﹣1． 6 18．（本题 17分）解：（1）根据题目：椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2， 上顶点为 M（0，1），离心率为 ．得 b＝1， 由椭圆 C的离心率为 ，得 ，解得 ， 所以椭圆 C的方程为： ． （2）证明：由题：过点（﹣1，﹣1）的直线交椭圆 C于 A，B两点，设直线 MA，MB的斜率分别 为 k1，k2， 当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 y＝k（x+1）﹣1，k≠2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 消去 x得：（2k2+1）x2+4k（k﹣1）x+2（k﹣1）2﹣2＝0， Δ＝16k2（k﹣1）2﹣8（2k2+1）[（k﹣1）2﹣1]＝8（k2+2k）＞0，解得 k＜﹣2或 k＞0， ， ， 因此 ， 当直线 AB斜率不存在时，由 ，得 ， 不妨令 ，则 ， 综上可知：k1与 k2的和为定值 2． 7 19．（本题 17分） 解：（1）证明：∵ ，∴ ， 即 ，又 ， ∴数列 是以 2为首项，1为公差的等差数列， ∴ ， ． （2） ， ∴ ， 由 ，得 ， ∴ 恒成立， ， 当且仅当 时取等，此时解得 n＝2， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，7]． （3）由 ， ， ∴ ， 数列 {bn}的奇数项是以 2为首项，4为公比的等比数列， 偶数项为以 2为首项，4为公比的等比数列， ∴ ， 则 ， 设 ， ， 两式相减得 ， ∴ ， 所以 ． 天水八中、九中、十中、新阴中学、麦积职中，新梦想复读学校 已知>>0，同么号卡1与限自线岳号光-1的商心*分别为，者6一 2025届高三级五月份联考数学试卷 则双由线的荒近线程为 A.x±/5y=0B2士=0 C.2x±5y=0D.√5x±2y=0 一、单送（共8小息，可思5分，共0分。四个达说中，只有一项是符合题日显裳的） L已要e塔号，培学，则n= 8.科学家叙早就提出关于深度强民民恩，随看现民生后节奏的如快，睡黑成了严重影响生语的问恩， 经研究，壁鼠中恒温动物的款持率f(单位：心桃次数：=的)与体蜜？（单位，）的上次方成反 A5,别 B.【(5,0),(03)》 比.若本B为两个经果中的面温冷物，4的体重为2、脉湖率为210次一山'，8的款神率是0 罩 C【-5,5】 D.3 次：a”,则B的修重为 2.夜aR。五31，其中1为皮数单位.则”>1“是“lz>0”的《) A.6Ks B.BKg C18 D.54Kg 略 二，多法是〔年题6分。共8分。全部选对的得6分，都分速对的御#分分，有选错的得0分) L克分不必要条件 D。必墨不充分条件 9,为壮遗话动甲，乙两个体育社田小组成员的某次立定装送成捷（单位：里米》知下 C,充要条件 D。既不充分也不》煲条件 甲组：244,245.25,246.248,251,251,253,251,255,257,23 3若an(a受)印则co2的恒为 乙组：239,211,243,25,245,247,28,249,251,252 财下列说法正确的是 人君 队子 e号 A.甲烟景椰的第0看分位数是252 B.乙图数援的中位数是246 长 4已知F(0=八4~4若情是rg子C1则#的取值指为 C.从甲、乙两组各脑机球政一个成负，丙人跳远皮销均在250盛米议上的特率为子 60 D。甲超中存在这样韵成员，将他谓据到乙组后，甲，乙两坦的%好平均成徐都有提商 4心是 <<>清 10.在△AC中，角4品C的对达分脑为，A,C有如下命恩，其神正确的是() 6.0心<是成> D.>1 A若sin2A-sin2品则△4C为等显或直角三角形， B.若cos4-si露则△4为直角三角形 互宜线h-+2=0(>0》与阳G4=2相交于么B丙点，差劣滋祁与弦想围 C.若2.a>0图△4是锐桶三角形 D.若as,则APB 皮的图彩面积为牙-山，则。一 《) 11已知f(x功是R上的奇函数，f(+2》是R上的保数，且当eo,2时，f()“2红则 2 下列说法正确的是 A.2V2 五.V6 G.2 D.V3 A。F()量小正周期为4 B.r(-3)m-3 6.在同一平面直角坐标系为，函数=f《)及其导金数=广《)的图像知图所承， C.F(2024)=0 D.r(202s)=3 已知两图像有且仪有一个公共点，其坐标为《0,1)，测 三、填星题（共3小题，每题5分，共15分） A。近数=f(》+的最大值为1 12.在数列中，已知：+4。=3：2。则的前10项和为 D.函数f()·d的最小恒为1 13.20圆年为我省新高考障合改革实南第二年。为进一步银升高考客考业务德力，写虑漫人中，九中、 C.函数y-)的最大辄为1 十巾、新阳、取中、新梦想大所学校的校长去江苏省、河北省、湖成省、窟庆市四个地方培调，每 D函效y的最小值为1 个地方空少有一名校长去培的，包八中校长和九中校长不使在同一个地方结翼，则不网的分配方案 有 种. 高三效学共4页《第1真】 高三草学共4页（第2页） 14.如图。正方那四的读轮为2D,分别以边因和G②的中点昌F为原心弧A0则C么以直线空 物考公式：昼的国自方程y,b+a斜率和结添的登小二录估计公式分别为 为射旋辣，落和四和线段4品四整转一网形成的面所国成的几何体的表面积是 Σ-6- 一，a=r-b7 10 参考数稀：∑365.08.∑(-6y--591.195, 因、解容器（共5小恩。共疗分：请写出文字说明、正过程减南步） 15.(本题13分)如图。在四楂胜PD中，队L平面A风爱底面为矩形。EF分别为P以 17.(本思15分)已知函数f(》=r 位的中点。 (1)常f()的面像在点(mF()处的切执方程： 《1》正明：楚g平而球 (2)米函数f(r)的摄值： (2》若P=AB=1,C=2,求直级型与平面F所成角的正弦值. (3)证明：对任爱的rG(0,=,有f()>x-1: 1眼体题7分)相国6号子>>0)的左、右痛点分防后后上项为 D 0,山高心率为浮 剖 B( 《1》求标圆C的方程 1低（本夏15分）2025年存节上我的国产功西电影《速氏之置魔周海)观已登原全球动百电影票房， 并制新多项世基展内杞录，下表线取了坡电影上晚后10日的单日黑计房： (2》过点《-1，·1》的宜线交椭图C于A,B两点，设直线4，⑧的算率分别为桑 k,证明：去与所的和为定值。 日期 1月291月301月312月12月22月32月42月62月62月7 日羽代明： 9 19.(体817分)已知兼到d的首项宁且流是1a品可ae)'园 路 9 的首a京和为￡ 黑计深肉y 4.88 9.68 15.87231931.3239.76 4a.4354.92 60786.0 (亿元) 1)证明数列是等笼数开。并求数列{a的语项公式 (1)请服据这0目数据 ②当>2时。，六>成立求实数表的取红范。 日计算r:的平均值，n {出求关于：的闻归方程 (3)在数列圆中，4=2，求效列的通项公式及定-也aC (2)用上面求出的趋粒同白方程西测该电影上候半年后的原房。到的结保金耀码？为什么？ 附： 两学号 高三数华共4页《第3页) 高三数学共4页（第页》