重庆市第一中学校2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

试卷第 1页，共 4页 秘密★启用前 重庆一中高 2026届高二下期中数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．若集合𝐴 = 1,2,3,4,5,9 ，𝐵 = 𝑥 𝑥 + 1 ∈ 𝐴 ，则𝐴 ∩ 𝐵 = A． 1,2,3 B． 3,4,9 C． 1,2,3,4 D． 2,3,4,5 2．已知随机变量 X，Y均服从两点分布，若𝑃(𝑋 = 1) = 1 3 ，𝑃(𝑌 = 0) = 1 3 ，且𝑃(𝑋 = 𝑌) = 2 3 ， 则𝑃(𝑋𝑌 = 0) = A． 2 3 B． 1 6 C． 1 3 D． 4 9 3．若( 3 + i)99 = 𝑥 + 𝑦i，则𝑥 + 2𝑦 = A. 2100 B. 299 C. 250 D. 249 4．从重量分别为 1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各 2 个）中选出若干个，使其总 重量恰为 9克的方法总数为𝑚，下列各式的展开式中𝑥9的系数为𝑚的选项是 A． 1 + 𝑥 1 + 𝑥2 1 + 𝑥3 ⋯ 1 + 𝑥10 B． 1 + 𝑥 1 + 2𝑥 1 + 3𝑥 ⋯ 1 + 10𝑥 C． 1 + 𝑥 2 1 + 𝑥2 2 1 + 𝑥3 2 1 + 𝑥4 2 ⋯ 1 + 𝑥10 2 D． 1 + 𝑥 2 1 + 𝑥 + 𝑥2 2 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 2 ⋯ 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥10 2 5．已知𝑀 = 𝑥, 𝑦 |𝑦 = 𝑥 + 𝑡 𝑥2 − 𝑥 ,1 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑡 ≤ 1 是平面直角坐标系中的点集.设𝑑 是𝑀中两点间距离的最大值，𝑆是𝑀表示的图形的面积，则 A．𝑑 = 3，𝑆 < 1 B．𝑑 = 3，𝑆 > 1 C．𝑑 = 10，𝑆 < 1 D．𝑑 = 10，𝑆 > 1 试卷第 2页，共 4页 6． C29 0 1×2 + C29 1 2×3 + C29 2 3×4 +⋅⋅⋅+ C29 29 30×31 = A． 230−31 930 B． 231−32 930 C． 230−31 870 D． 231−32 870 7．已知关于 x的方程 𝑥3+𝑥 3 + 𝑎 3 + 𝑥3+𝑥 3 + 𝑎 + 3𝑎 = 3𝑥在区间 0,2 上有解，则实数 a的最 大值为 A． 6 9 B． 4 6 27 C． 6 3 D． 6 2 8．已知实数𝑎, 𝑏, 𝑐. A．若|𝑎2 + 𝑏 + 𝑐| + |𝑎 + 𝑏2 + 𝑐| ≤ 1，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 < 100 B．若|𝑎2 + 𝑏 + 𝑐| + |𝑎2 + 𝑏 + 𝑐| ≤ 1，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 < 100 C．若|𝑎 + 𝑏 + 𝑐2| + |𝑎 + 𝑏 − 𝑐2| ≤ 1，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 < 100 D．若|𝑎2 + 𝑏 + 𝑐| + |𝑎 + 𝑏2 − 𝑐| ≤ 1，则𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 < 100 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．在𝑛重伯努利试俭中，每次试验事件𝐴发生的概率为𝑝(0 < 𝑝 < 1)，事件𝐴发生的次数超过 一半的概率为𝑃 𝐵 ，则 A．若𝑝 = 1 2 , 𝑛为奇数时，𝑃 𝐵 > 1 2 B．若𝑝 = 1 2 , 𝑛为偶数时，𝑃 𝐵 < 1 2 C．若 0 < 𝑝 < 1 2 , 𝑛为奇数时，𝑃 𝐵 随着𝑛的增大而增大 D．若 0 < 𝑝 < 1 2 , 𝑛为偶数时，𝑃 𝐵 随着𝑝的增大而增大 10．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上､下､左､右四个方向移动 1个单位长度，移动 6次，则 A．蚂蚁始终未远离原点超过 1 个单位长度的概率是 1 64 B．蚂蚁移动到点 3,3 的概率为 5 512 C．蚂蚁回到原点的概率为 25 256 D．蚂蚁移动到直线𝑦 = 𝑥上的概率为 5 16 试卷第 3页，共 4页 11．记𝑆𝑛为数列 𝑎𝑛 的前𝑛项和，且 𝑎1 = 1 2 ，2𝑆𝑛 − 1 = 𝑆𝑛−1 𝑛 ≥ 2 ，现定义𝑇𝑛 1 = 𝑆𝑛， 𝑇𝑛 𝑚 = 𝑖=1 𝑛 𝑇𝑖 𝑚 − 1∑ (𝑚 ≥ 2)，则 A．𝑆𝑛 = 2 3 1 − 1 4𝑛 B．2𝑛 ⋅ 𝑇𝑛 3 = 2 𝑛−1 𝑛2 − 𝑛 + 2 − 1 C．𝑇𝑛 𝑚 + 2 > 𝑇𝑛 𝑚 + A𝑛+𝑚−1 𝑚+1 𝑚+2 ! D．𝑇𝑛 𝑚 + 2 + 𝑇𝑛 𝑚 + 1 = C𝑛+𝑚 𝑛−1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。 12．若数据𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5，𝑥6，𝑥7，𝑥8，4，6 的方差为 5，则数据𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5， 𝑥6，𝑥7，𝑥8，3，7 的方差为 ． 13．设整数𝑛 ≥ 4，从编号 1,2, ⋅⋅⋅ , 𝑛的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若 1，2 均出现或 3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为 ． 14．已知𝐴 ⊆ 1,2,⋯, 2625 ，且𝐴中任意两个数的差的绝对值不等于 4，也不等于 9，则 𝐴 的最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取 10件作为样本，测得其质量如下（单 位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，记样本均值为𝑥，样本标准差为𝑠. （1）求𝑥, 𝑠； （2）将质量在区间 𝑥 − 𝑠, 𝑥 + 𝑠 内的零件定为一等品. ①估计这台机器生产的零件的一等品率； ②从样本中的一等品中随机抽取 2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过 0.3克的概率. 16．（15分）已知𝐹′、F分别是椭圆𝐶: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑎 > 𝑏 > 0 的左、右焦点，点𝐴 1, 3 2 在椭 圆 C上，且△ 𝐴𝐹𝐹′的面积为 3 2 . （1）求椭圆 C的标准方程； （2）过点𝑇 4,0 的直线 l与线段 AF相交于 S，与椭圆交于 P、Q两点. 若𝑆△𝐴𝑄𝑆 = 𝑆△𝑃𝐹𝑆， 求点 P的坐标. 试卷第 4页，共 4页 17．（15分）设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为𝑛，这些三角形的个数为𝑎𝑛. （1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式； （2）在 1,2, ……, 100中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率. 附：1 + 22 + … + 𝑛2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 18．（17分）已知函数𝑓 𝑥 = 𝑥e𝑥 − 𝑎，𝑎 ∈ 𝑅. （1）讨论𝑓 𝑥 零点的个数； （2）若 𝑓 𝑥 > 𝑎𝑥 ln𝑥 + 1 ，求实数𝑎的取值范围. 19．（17分）编号为 1,2,3, ⋯, 𝑛 𝑛 ≥ 2, 𝑛 ∈ 𝑁* 的𝑛个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设 编号为奇数的黑色球的个数为𝑋，编号为偶数的白色球的个数为𝑌，记事件“𝑋 > 𝑌”为 𝐴𝑛, 𝑃 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛． （1）求𝑎2, 𝑎3, 𝑃 𝐴3|𝐴2 ； （2）当𝑛 = 2𝑘 + 1 𝑘 ∈ 𝑁* 时，求𝑎𝑛； （3）当𝑛 = 2𝑘 𝑘 ∈ 𝑁* 时，设𝜉 = 𝑘 + 𝑋 − 𝑌 ，证明：𝐸 𝜉 = 2𝑘 1 − 𝑎2𝑘 ．