2025年江苏省常州市初中学业水平考试数学模拟练习试卷

2025年江苏省常州市初中学业水平考试数学模拟练习试卷1 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，是负数的是 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：选项，，故该选项不符合题意； 选项，，故该选项不符合题意； 选项，，故该选项不符合题意； 选项，，故该选项符合题意． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】A.，故本选项不合题意； B.，故本选项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.，正确，故本选项符合题意． 故选：． 分别根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可． 本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 3.把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看等．下列方法得到的平面图形是长方形的是． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意； 选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意； 选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：． 4.下列中，属于轴对称图形的是(    ) A. 郑州银行 B. 河南博物院 C. 郑州大学 D. 郑州地铁 【答案】B  【解析】解：，，选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 5.如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达点的概率是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据图形可知，小球最终可能到达的点有，，，，即共有种等可能的结果，其中小球最终到达点的结果有种，小球最终到达点的概率为故选B． 6.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为，则弦长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：作直径，连接，如图， 为直径， ， ， ． 故选：． 作直径，连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 7.抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由图象可得， 该函数图象与轴交于正半轴，则，故选项A错误，不符合题意； ，，则，故选项B错误，不符合题意； 图象与轴两个交点，则，故选项C错误，不符合题意； 对称轴为直线， 和时对应的函数值相等， 时，， 时，，故选项D正确，符合题意； 故选：． 根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否成立． 本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键明确题意，利用二次函数的性质解答． 8.如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点已知，，小婵同学得到如下结论：是等边三角形；；；动点，分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称最短路线问题，含角的直角三角形等知识． 由“筝形”的性质可得，，根据等边三角形的判定即可得出结论，故可判定证明，根据全等三角形的性质可得，，由直角三角形的性质即可得出与的数量关系，故可判定由面积关系可求出四边形的面积，故可判定根据轴对称最短路径可判定． 【解答】 解：四边形是“筝形”， ，， ， 是等边三角形，故结论正确 ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，故结论正确 ， ， ， 故结论错误 作关于的对称点，关于的对称点，连接、，，分别交于点，交于点，交于点， ，，，， ， ，， 的周长， 当、、、共线时，最小，即的周长最小为， ，， ，在直角三角形中，， ， 的周长最小值为， 结论正确， 正确的结论有个． 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.写出一个的整数值：______，使二次根式有意义． 【答案】答案不唯一，整数即可  【解析】解：根据二次根式有意义的条件可得， 解得：， 故答案为：答案不唯一，整数即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可求得的范围，即可写出的值． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 10.若正方形边长由减小到，则面积减小了________用含的式子表示． 【答案】  【解析】解：正方形边长由减小到， ． 面积减小了． 故答案为：． 11.分解因式：          ． 【答案】．  【解析】解：． 12.年月日，正式发布模型，中国在人工智能领域研究取得重大突破，是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，截至年月日，的日活跃用户数已突破万，达到万将万用科学记数法表示为______． 【答案】  【解析】解：万． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 13.把图中边长为的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为，将这四个直角三角形拼成如图所示的正方形，则图中的阴影的面积为            ． 【答案】  【解析】解：因为菱形的一条对角线长为， 所以它的一半是， 因为菱形的边长为，且菱形对角线互相垂直， 根据勾股定理得另一条对角线长的一半为， 所以图所示的阴影的正方形边长为， 所以图中的阴影的面积为． 故答案为． 根据菱形的性质对角线互相垂直，利用勾股定理可得另一条对角线长的一半为，所以图所示的阴影的正方形边长为，进而可得结论． 本题考查正方形的性质，菱形的性质，以及勾股定理． 14.如图，若，与，分别相交于点，，，的平分线与相交于点，，则__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及垂线定义．解题的关键是注意两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用． 由垂线定义得出，结合已知可直接求得，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知，根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 15.如图，在▱中，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，过作交延长线于若，，则____． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质有关知识，由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，过作于，根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】 解：如图 由作图知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 过作于， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 16.如图，在▱中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段，的延长线交于点若，，，则的长为______． 【答案】  【解析】解法一：过点作于，延长与的延长线交于，如图所示： 四边形为平行四边形， ，，，， 又， 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， ， ∽， ：：， 即， ， ， ， ∽， ：：， 即， ， ． 故答案为：． 解法二：过点作，交的延长线于，如图所示：   四边形为平行四边形， ，，，， 又 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 在中，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ∽， ：：， 即：：， 解得：， ， 故答案为：． 17.如图，为正方形的对角线，点为的中点，点为上的动点不与端点重合，连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，连接，若四边形的面积为，则正方形的边长为______． 【答案】  【解析】解：连接、，如图， 由题意可得：，，，，， ≌， ， ，即随着点的运动，点始终在过点且与垂直的直线上运动， ， ， 则， ． 故答案为：． 连接、，证明≌，推出，得到，即随着点的运动，点始终在过点且与垂直的直线上运动，根据列式计算即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 18.如图，在矩形中，将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为则           ． 【答案】  【解析】先证明是直角三角形，设，则，由，求得，再证明，设，则，利用勾股定理求得，，据此求解即可． 【详解】解：由折叠可知：，， ， ， 是直角三角形， 设，则， 由折叠可知：，， ，， ， ， ， ，即， ， 矩形中，， ， 由折叠可知：， ， ， 设，则， ，即， 解得，则， ． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.解下列方程、不等式组         【答案】解：移项，得， 开方，得， 解得：，； 去分母，得， 去括号，得， 解得：； 检验：时，， 是增根，该方程无解； 由， 解得：， 由， 去分母得：， 去括号得，， 解得：， 不等式组的解为：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 【答案】原式当时，原式．  【解析】见答案 21.本小题分 蚌埠“一带一路”国际龙舟邀请赛期间，小青所在学校组织了一次“龙舟”故事知多少比赛小青从全体学生中随机抽取部分同学的分数得分取正整数，满分为分进行统计，以下是根据抽取同学的分数制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图，请根据图表，回答下列问题： 组别 分组 频数 频率 根据上表填空：______，______，______． 若小青的测试成绩是抽取的同学成绩的中位数，那么小青的测试成绩在什么范围内？ 若规定：得分在的为“优秀”，若小青所在学校共有名学生，从本次比赛选取得分为“优秀”的学生参加决赛，请问共有多少名学生被选拔参加决赛？ 【答案】  ，  ，  ； 全班共有名学生，中位数是第、个数据的平均数，第、个数据在第组， 所以小青的测试成绩在范围内； 人． 答：共有名学生被选拔参加决赛．  【解析】解：人． ，，． 故答案为：，， 见答案． 根据频数、频率、总数之间的关系一一解决问题即可； 根据中位数的定义即可判断； 用样本估计总体的思想解决问题即可． 本题考查频数分布直方图、样本估计总体的思想、频数分布表、中位数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，所以中考常考题型． 22.本小题分 哪吒自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． 从中任意抽取一个张卡片，恰好是“哪吒”的概率为          ； 将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片没有放回，请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】解：从中任意抽取一个张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的概率为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 23.本小题分 尺规作图问题： 如图，点是▱边上一点不包含，，连接用尺规作，是边上一点． 小明：如图以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦我明白了 请证明小明的做法是正确的通过小明的作法证明； 指出小丽作法中存在的问题． 【答案】证明：根据小明的作法知，， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ； 解：以为圆心，为半径画弧，交于点，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意． 故小丽的作法有问题．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.本小题分 第九届亚洲冬季运动会已于年月日至月日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．商场购进“滨滨”和“妮妮”共个，总共花费元，其中一个“滨滨”进价元，一个“妮妮”进价元． 求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ 某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价元、元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 【答案】解：设商场购进“滨滨”个，购进“妮妮”个， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进“滨滨”个，“妮妮”个 设该校从商场购买“滨滨”个，则购买“妮妮”个， 由题意得：， 解得：， 设该校花费总额元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 该校从商场购买“滨滨”个时花费总额最少．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 25.本小题分 如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结． 求的面积． 若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标． 【答案】；  点的坐标为或  【解析】解：反比例函数图象过点， ， ， 直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点， ，， ； 如图， 设直线的解析式为，代入点坐标可得： ，解得， ， ， 设直线的解析式为，代入点坐标可得：， 直线的解析式为， 联立方程组得，解得，， 点的坐标为或 待定系数法求出值，再利用解析式求出点、坐标，代入三角形面积公式计算即可． 先求出直线的解析式得到值，根据两直线垂直得到，待定系数法求出直线解析式再与反比例函数解析式联立方程组即可求出点的坐标． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形面积的计算，熟练掌握交点坐标求法是解答本题的关键． 26.本小题分 定义：有两边之比为：的三角形叫做智慧三角形． 如图，在智慧三角形中，，，为边上的中线，求的值； 如图，是的内接三角形，为直径，过的中点作，交线段于点，交于点，连接交于点． 求证：是智慧三角形； 设，，若的半径为，求关于的函数表达式； 如图，在的条件下，当：：时，求的余弦值． 【答案】解：是的中线， ， ， ， ； 如图，连结，设， ， ，   ， ，   ， 是的中点， ， ， ， 即 是智慧三角形． 如图，过点作交于点，    ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即； 如图，过点作交于点，   ， ， 设，则， 由可得，， ， ， ， ， ， 在中， ， 即．   【解析】本题考查的是新定义问题，相似三角形的性质与判定，列二次函数关系式，圆周角定理，垂径定理的应用，锐角三角函数定义有关知识， 先计算，结合公共角证明，再利用相似三角形的性质可得答案； 如图，连结，设，证明，证明，可得结合，证明，从而可得结论；如图，过点作交于点，证明可得，可得，由，通过变形可得答案； 如图，过点作交于点， 证明，设，则，利用，求解，，从而利用余弦定义可得答案． 27.本小题分 在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】如图，，，，求的值； 【拓展延伸】如图，与交于点，，，，求的值． 【答案】解：四边形为正方形， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， 过点作于点，过点作交延长线于点，连，， 则由一线三垂直以及可得， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， 易得∽， 延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，，则， 由，得 由 ，， ， 易得∽ ， ， ， ∽，相似比为， ， ∽，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 28.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． 求的值； 若：：，求的值； 如图，在的条件下，设动点对应的位置是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】解：在抛物线上， ， 解得； 由可知抛物线解析式为，令可得， ， ， ， 轴， ∽， ，即， ， 在抛物线上， ， ：：， ：：， ， 解得或舍去； 在轴上取一点，使，如图， 由可知，且， ，且， ∽， ， 当时，， ， 当、、三点在一条线上时，有最小值， ，， ，即的最小值为．  【解析】把点坐标代入可得到关于的方程，可求得的值； 由∽可用表示出，且可表示出，由条件可得到关于的方程，则可求得的值； 在轴上取一点，使，可证得∽，则可求得点坐标，则可把化为，利用三角形三边关系可知当、、三点在一条线上时有最小值，则可求得答案． 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形三边关系等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是中构造三角形相似，难度较大． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省常州市初中学业水平考试数学模拟练习试卷1 试卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1.下列四个数中，是负数的是 A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看等．下列方法得到的平面图形是长方形的是． A. B. C. D . 4.下列中，属于轴对称图形的是(    ) A. 郑州银行B. 河南博物院C. 郑州大学D. 郑州地铁 5.如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达点的概率是  (    ) A. B. C. D. 6.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为，则弦长为(    ) A. B. C. D. 7.抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点已知，，小婵同学得到如下结论：是等边三角形；；；动点，分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9.写出一个的整数值：______，使二次根式有意义． 10.若正方形边长由减小到，则面积减小了________用含的式子表示． 11.分解因式：          ． 12.年月日，正式发布模型，中国在人工智能领域研究取得重大突破，是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，截至年月日，的日活跃用户数已突破万，达到万将万用科学记数法表示为______． 13.把图中边长为的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为，将这四个直角三角形拼成如图所示的正方形，则图中的阴影的面积为          ． 14.如图，若，与，分别相交于点，，，的平分线与相交于点，，则__________． 15.如图，在▱中，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，过作交延长线于若，，则____． 16.如图，在▱中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段，的延长线交于点若，，，则的长为______． 17.如图，为正方形的对角线，点为的中点，点为上的动点不与端点重合，连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，连接，若四边形的面积为，则正方形的边长为______． 18.如图，在矩形中，将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为则          ． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19.解下列方程、不等式组       20.本小题分 先化简，再求值：，其中． 21.本小题分 蚌埠“一带一路”国际龙舟邀请赛期间，小青所在学校组织了一次“龙舟”故事知多少比赛小青从全体学生中随机抽取部分同学的分数得分取正整数，满分为分进行统计，以下是根据抽取同学的分数制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图，请根据图表，回答下列问题： 组别 分组 频数 频率 根据上表填空：______，______，______． 若小青的测试成绩是抽取的同学成绩的中位数，那么小青的测试成绩在什么范围内？ 若规定：得分在的为“优秀”，若小青所在学校共有名学生，从本次比赛选取得分为“优秀”的学生参加决赛，请问共有多少名学生被选拔参加决赛？ 22.本小题分 哪吒自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． 从中任意抽取一个张卡片，恰好是“哪吒”的概率为          ； 将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片没有放回，请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 23.本小题分 尺规作图问题： 如图，点是▱边上一点不包含，，连接用尺规作，是边上一点． 小明：如图以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题． 小丽：哦我明白了 请证明小明的做法是正确的通过小明的作法证明； 指出小丽作法中存在的问题． 24.本小题分 第九届亚洲冬季运动会已于年月日至月日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．商场购进“滨滨”和“妮妮”共个，总共花费元，其中一个“滨滨”进价元，一个“妮妮”进价元． 求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ 某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价元、元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 25.本小题分 如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结． 求的面积． 若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标． 26.本小题分 定义：有两边之比为：的三角形叫做智慧三角形． 如图，在智慧三角形中，，，为边上的中线，求的值； 如图，是的内接三角形，为直径，过的中点作，交线段于点，交于点，连接交于点． 求证：是智慧三角形； 设，，若的半径为，求关于的函数表达式； 如图，在的条件下，当：：时，求的余弦值． 27.本小题分 在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】如图，，，，求的值； 【拓展延伸】如图，与交于点，，，，求的值． 28.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． 求的值； 若：：，求的值； 如图，在的条件下，设动点对应的位置是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$