精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（D）

·A10联盟2023级高二4月期中考 数学试题D 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 20 B. 35 C. 120 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数公式计算求解. 【详解】． 故选：B． 2. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系解得参数的值，再根据的关系得可得焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以，解得， 因此，双曲线的焦距为. 故选：D. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由，可得，解得：，由， 则，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：B. 4. 已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线恒过定点，根据定点在圆内可得答案. 【详解】直线， 令，得，即直线恒过定点． 由知，点A在圆内，故直线恒与圆相交， 所以直线与圆的公共点个数为2个. 故选:C． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式即可求解. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（，1，…，5）， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为． 故选：D． 6. 已知离散型随机变量X的分布列为下表，且，则（ ） X 0 1 P A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分布列求出的期望和方差，再利用线性关系求即可. 【详解】由题意得，， 则， 因为，所以． 故选:B． 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 8. 设数列满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，当时，利用递推关系式，得到（）,数列的各项裂相求和，然后在加上首项即得所求. 【详解】当  时，. 当时，利用递推关系：, 因此，（）. 当  时，项为 , 当时，项为, , 将的项与剩余项相加：. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲、乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有16种 D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A根据分步计数原理即可求解，对于B恰有一项工作无人去参加，首先从3项工作中选1项无人参加有，再将4人安排到两项工作即可，对于C每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组和不同组即可求解，对于D每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配即可. 【详解】对于A：安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确； 对于B：恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，再将4人安排到两项工作有种， 故一共有种安排方法，故B正确； 对于C：每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，若甲、乙同组，则有种， 若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加A项工作，则安排不含甲、乙的一组参加工作A， 剩下的两组安排参加B，C两项工作，则种，综上，一共有种安排方法，故C错误； 对于D：每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配， 则不同的安排方法有种，故D正确． 故选：ABD． 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C 中最大 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 11. 已知点P为曲线C：（a，b，n为常数且）上任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. 若，，则 C. 若，，，则曲线C与直线无交点 D. 若，，，则曲线C与直线有且只有一个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A用，代替方程中即可判断，对于B有得，，由即可判断，对于C有，在直线取一点验证点与的位置关系即可，对于D有，由是曲线C的一条渐近线，即可判断与曲线C的交点. 【详解】对于A：用，代替方程中方程不变，所以曲线关于原点中心对称，故A正确； 对于B：由，，得，所以，，，，故B错误； 对于C:由，，，得，为上一点，由， 得Q在曲线内，所以直线与曲线C有两个交点，故C错误； 对于D：由，，，得，是曲线C的一条渐近线， 与曲线C有且只有一个交点，故D正确． 故选：AD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合直线的方向向量，由向量垂直的坐标表示可得. 【详解】由题意可得. 故答案为：2. 13. 现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式结合组合数公式求解即可. 【详解】设事件为小明报名参加足球社团，事件为两名同学参加足球社团， 则. 故答案为： 14. 数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第末位于位置的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：事件质点在第末位于位置，可理解为次移动中有次向负方向、次向正方向，利用古典概型概率公式求结论； 方法二：设前质点向正方向移动的次数为，由条件可得，事件质点在第末位于位置，可表示为，结合二项分布概率分布列求解. 【详解】方法一，若质点在第末位于位置，则次移动中有次向负方向、次向正方向， 由已知前所有的移动方式有种，符合要求的移动方式有种， 故其概率为． 方法二，设前质点向正方向移动的次数为，则， 质点在第末位于位置，则， 所以概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者. （1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？ 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 不喜欢担任 合计 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）若某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）之间具有较强的线性相关性，求回归直线方程，并预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量. 数据统计如表： 志愿者人数x（人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y（千克） 24 29 41 46 60 参考数据，附：， 【答案】（1）表格见解析，有关 （2），93.4千克. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出列联表，再根据公式计算，对照临界表中的数据，比较即可得到答案； （2）由表中数据和参考数据，根据参考公式求得回归直线方程为，再将代入，即可求出结果． 【小问1详解】 零假设：居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别无关根据题意，列出的2×2列联表如下： 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 10 15 25 不喜欢担任 20 5 25 合计 30 20 50 则， 依据小概率值的独立性检验，不成立， 因此认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 由表中数据可知，，， ，又， 则，， ∴回归直线方程. 当时，， 所以当志愿者为10人时，垃圾分拣量大约为93.4千克. 16. 某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖名同学，其中高一年级名，高二年级名，高三年级名，现从中任选人作为代表发言． （1）求选出的人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； （2）设表示选出的人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）分人中高一年级人、高二年级人和人中有高一年级2人、高二或高三年级人两种情况，分别求出取法的种数，再利用古典概率公式，即可求解； （2）由题知的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件， 选出的人中高一年级人、高二年级人，有种取法； 选出的人中有高一年级2人、高二或高三年级人，有种取法； 所以． 【小问2详解】 由题意得，的所有可能取值为， 又，， ，， 则分布列为 ． 17. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【小问1详解】 因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 【小问2详解】 由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）线段上存在点，是中点 【解析】 【分析】（1）作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立的空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解. （2）结合（1），再由向量夹角余弦值公式即可求解. （3）“线段上存在点，使得平面”，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，，待定系数即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，，平面平面，所以平面， 作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，，解得， 到平面的距离为 【小问2详解】 由（1）知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 “线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，． 由（2）知平面的法向量为， 所以．解得． 所以线段上存在点，即中点，使得平面． 19. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点．线段FT的垂直平分线l和半径ET相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线AM，BM分别交曲线C于另外的点P，Q．求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆，得到、，从而求出. （2）设，，，，表示出、的方程，联立直线与椭圆方程，即可求出、点坐标，则，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由题意知，， 由椭圆的定义得，点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 则长轴长，焦距， 所以，因此曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，， 由椭圆对称性，不妨设，，，， 直线的斜率，直线的斜率， 直线方程为， 直线的方程为． 由，消去y得， 由韦达定理得，即，所以． 由，消去得， 由韦达定理得，即，所以． 则四边形面积为 ． 设，，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知在上单调递增， 则，， 因此当时，四边形的面积最大，最大值为6，此时点的坐标为， 由对称性知，当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ·A10联盟2023级高二4月期中考 数学试题D 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 20 B. 35 C. 120 D. 210 2. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知圆，直线，则直线与圆公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 6. 已知离散型随机变量X的分布列为下表，且，则（ ） X 0 1 P A. B. C. D. 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 8. 设数列满足，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲、乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有16种 D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C 中最大 D. 11. 已知点P为曲线C：（a，b，n为常数且）上任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. 若，，则 C 若，，，则曲线C与直线无交点 D. 若，，，则曲线C与直线有且只有一个交点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则a的值为______． 13. 现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为___________. 14. 数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第末位于位置的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者. （1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的.根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？ 性别 合计 男性 女性 喜欢担任 不喜欢担任 合计 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 （2）若某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）之间具有较强的线性相关性，求回归直线方程，并预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量. 数据统计如表： 志愿者人数x（人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y（千克） 24 29 41 46 60 参考数据，附：， 16. 某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖名同学，其中高一年级名，高二年级名，高三年级名，现从中任选人作为代表发言． （1）求选出的人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率； （2）设表示选出人中高二年级的人数，求的分布列和数学期望． 17. 已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求出； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 19. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点．线段FT的垂直平分线l和半径ET相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线AM，BM分别交曲线C于另外的点P，Q．求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $