广西壮族自治区柳州市部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2025年5月高二阶段检测卷 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 吾年 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一、二、三册。 理 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 物 1.某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京,已知当天动车的车次有2个,高铁的车次有 10个,则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有 A.2种 B.10种 C.12种 m D.20种 2.已知某商店1~7月份月利润y(单位:万元)关于其对应的月份代码x(1~7月份的月份代码 K 依次为1~7)的经验回归方程为-0.525x十ā,且y-3.6,则 = A.3.6 B1.5 C1.4 D.1.8 E 3.直线l:x+y+m=0与圆O:x2+y{-16交于A,B两点,若lABl-4v2,则m= B.士2/2 A.士2 C.士4 D.士4/2 4.某中学4位任课老师和班上10位学生站成一排,则4位任课老师站在一起的排法种数用排 列数表示为 A.AAl B.All 班 C.AA D.AAl 5.给定一个数列(a.),记b.一a.+1一a.,则把数列(b。)称为(a.)的一阶差数列.若数列(c。)的 一阶差数列(t.)的通项公式为t.-n十2”,c1-1,则c。= A.556 B.557 C.292 D.291 6.已知F是抛物线C:x2-4y的焦点,M是C上一点,lMF|-3,则M到y轴的距离为 C.2/2 A.2 B.3 D.32 7.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容,我们常用曲率来刻画空间弯曲性,规定:多面体 顶点的曲率等于2n与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面角的角度用孤度制).例如: n.若正四校锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为v2,则四楼锥S-ABCD在顶点S处 ^ 的曲率为 A B._t 【高二数学 第1页(共4页)】 8.若(x-1)”(n<N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512,则(x十1)*(x-1)”的展开式中 x11的系数为 A.-56 B.56 C.-70 D.70 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知各项均为正数的等比数列(a.)的前4项和为30,且a.一3a;十2a.,则 A.a-2 B.公比为2 C.a-8 D.a-8 10.某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况,其中有60名学生的短跑成绩合 格,这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时,60名短跑成绩合格的学生中 有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训, 已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后,学生的短跑成绩合格的概率 技巧培训,依据小概率。一0.005的x②}独立性检验,零假设为H。:学生短跑成绩合格与每周 锻炼时间相互独立,则下列结论正确的是 参考公式与数据:x2- n(ad-bc)2 (a十b)(c十d)(a十c)(+d) ,其中n-a十b十c十d. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A.可以推断H。成立,即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B.可以推断H。不成立,即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 D.学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为7 27 A.当P为C上的动点时,|PF1+|PFl的取值范围是[4,+oo) B.当P为C上的动点时,1|PF-|PF1|的取值范围是[0,4] C.存在直线l:y=mx一3(m3),使得/与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D.存在直线/:y=mx-3(m>2),使得1与C的所有交点的横坐标之和为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.某林业科学院培育新品种草,新培育的草荐单果质量(单位:g)近似服从正态分布 N(50,4),现有该新品种草蕴10000个,估计其中单果质量超过52g的草荐有 △ 个.(结果保留整数) 附:若X~N.),则P(-。<$<+o)=0.6827.P(-2<$<+2)=0.9545. 13.设随机变量~B(3,p),且P(z=1)-5P(t-2),则=△;若随机变量n满足=2 十1,则的方差为△. 【高二数学 第2页(共4页)】 14.《九章算术·商功》中,将底面为直角三角形的直三校柱称为堵.在堵ABC-A.BC.中, AB-3/2,AB=AC,则堵ABC-A.B.C.体积的最大值为△. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图,在正三校柱ABC-A.B.C.中,AA.-3AB-6,D为CC.的中点. (1)求点B到直线A.D的距离; (2)求异面直线AB.与BD所成角的余弦值 B. 16.(15分) 已知数列(a。)的前n项和S.满足2S.-3n②}-n,b为常数,且S-22 (1)求a。)的通项公式; (2)设b.=a。×2”,求数列(.)的前n项和T.. 17.(15分) 正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办,细节丰富,高度还原角色形象,已知某 店内共有20个正比例手办,其中有8个正比例手办采用树脂材质制成,有12个正比例手办 采用PVC材质制成,树脂材质的正比例手办中有2个是一比例手办,6个是比例手办, PVC材质的正比例手办中有4个是一比例手办,8个是一比例手办.该店举行了一个抽奖活 动,将这20个正比例手办编号为1,2,3,..,20,盒子内有编号分别为1,2,3,.,20的20张 小纸条,消费者抽到编号为i(i-1.2,3...1,20)的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办, 消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条,每位消费者只有一次机会 (1)记事件A为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”,求P(A). (2)若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同,则无奖励;若仅材质或仅比例 相同,则奖励100元;若材质与比例均相同,则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金 额为”元,请写出,的分布列及期望 【高二数学 第3页(共4页)】 18.(17分) AF1-3, AF-l-1. (1)求C的方程; (2)P是C上一点,且/F、PF-,求△F PF。的面积; (3)已知M,N是C上不同的两点,直线AM,AN的斜率分别为k,k,且kih:-3,证明:直 线MN过定点. 出 19.(17分) 定义:若函数f(x)与g(x)在公共定义域内存在x。,使得f(x。)十g(x。)=0,则称f(x)与 g(x)为“契合函数”,x。为“契合点”. 2 (1)若f(x)一一lnx一1与g(x)=ax为“契合函数”,且只有一个“契合点”,求实数a的取 值范围. (2)若p(x)=e一xlnx与g(x)-bx-1为“契合函数”,且有两个不同的“契合点”x1,x2. ①求b的取值范围; t ②证明:xx<1. 智 【高二数学 第4页(共4页)】2025年5月高二阶段检测卷 数学参考答案 1.C由分类加法计数原理，得小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有2十10=12种 2.B由题意得工=号×1+2+3十4+5+6+7)=4，因为y=3.6,所以该经验回归直线经过 样本点的中心(4,3.6).由3.6=0.525×4+a,得a=1.5. 3C圆0的圆心为原点0，半径，=4，圆心到直线1的距离d=号，所以(%)'+(22 =16,解得m=士4. 4.A由捆绑法可得4位任课老师站在一起的排法种数为AA. 5.C根据题意可得c+1一cm=n十2”，则cg一c8十c8一c,十…十c2一c1=tg十…十t1= (1+8)×8,1-2 2 1-2 =291,则c4=292. 6.C设M(xo,ya),MF=yo+1=3,解得yo=2,所以x=4×2=8,故M到y轴的距离为 2√2. 7.D如图，设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平而ABCD.取BC 的中点M,连接OM,SM.在正四棱锥S-ABCD中，∠SMO为侧 面与底面的夹角，则an∠SM0光=2.设OM=1,则S0月 V2,BM=2BC=1,则SM=5,SB=2,所以正四棱锥S-ABCD 的每个侧面均为正三角形，则顶点S的每个面角均为胥，故正四棱锥S-ABCD在顶点S处 的曲*为2x一4X号-至 8.A(x一1)"(n∈N“)的展开式各项系数的绝对值之和等于(x十1)”(n∈N)的展开式各项 系数之和，则(1十1)"=512，得n=9,则(x十1)8(x一1)”=(x2-1)(x一1). 因为(x一1)的展开式中没有x的项，所以(.x+1)(x一1)”的展开式中x"的系数为(x2 一1)"的展开式中x0的系数，即C(一1)=-56. a1十a1g十a1q十a1q3=30, a1=2, 9.ABD设等比数列{am}的公比为q,则 解得 故ag=a1g= a1g=3a1q+2a1, q=2, 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 4,a3=a1g2=8. 10.BC表格如下： 单位：人 短跑成绩 每周的锻炼时间 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时问不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为H。:学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立， 根据表中的数据，可得X=100X(35×30-25×10)2_3200 60×40×45×55 297 ≈10.774>7.879=xu005, 根据小概率值α=0.005的X2独立性检验，可以推断H。不成立，即认为学生短跑成绩合格 与每周的锻炼时间超过5小时有关 设事件A=“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件B,=“学生甲每周的锻炼时 间超过5小时，短跑成绩不合格”，B2=“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不 合格”则PB,)8PB,)-沿PAB)=名PAB,)= 所以PA)-PB)PAB+PB,PA1B,)-×名+号x是- 所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，学生甲 短跑成线合格的气率为 1.AD由十号y.得r产+号1或y=0,则C由稀圆2+苦1与直线y=0组成 易知F,(0,-2.F,0,2)为椭圆r+号-1的两个焦点，所以PF,+PF,的取值范图 是[4，十o∞)，A正确.当点P在直线y=0上时，||PF,1一|PF2|=0,当点P在椭圆x2十 苦=1上时.PF,-PE=2a-PE:-PF1=2a-PE,1=25-PF,,由 |PF:|∈[a-c,a+c]=[5-2w5+2,得|PF1|-|PF2|∈[0,4]，B正确.将y=m.x -3代入x2+ =1,得(m2十5)x2一6m.x十4=0，设该方程的两个根为x1,x2,则△=20m2 5 中51一m千5由y=mx-3=0,得x=多，假设存 6m 4 -80>0,即m2>4,且x1+x2= 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 在直线1：y=mx-3,使得1与C的所有交点的横坐标之和为2，则6n十3= m2+5 mm ,解得 3 m2=10>4,D正确.当m>3时，介于x1,x2之间，假设存在直线l:y=m.x一3，使得l与 C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，则x1x2=( 3),即4=9 m2+5m,得5m2+45 0,显然该方程无实数解，C错误. 12.1587由N(50,4)可知u=50,g=2.P(X>52)=2[1-P(g-0≤X≤+a]= 0.15865,故估计其中单果质量超过52g的草莓有10000×0.15865≈1587个. .日：号易得Cp1-p)=5Cp21-p),解得p=名则D(E)=3×名×(1-)=2 13.63 55 因为=27十1，所以刀=2-2，则D()=4D()=4×2=3 14.66当AB=AC时，由堑堵的定义可知AB⊥AC.设AA,=a,则A AB=,18-a,所以堑堵ABC-A.B,C的体积Va)-AB·AA, =18-a)a=号1a-a)0<a<32.则V(a)=号18 3a2),当0<a<√6时，V'(a)>0,当6<a<3√2时，V'(a)<0,所以 V(a)ms=V(6)=6/6. 15.解：取BC的中点O,连接OA,以O为坐标原点，OB,OA所在直线分别为x,≈轴，建立如图 所示的空间直角坐标系O-xy2, 由AB=2,知A(0,0,3),B(1,0,0),B1(1,6,0), A1(0,6,3),D(-1,3,0).…3分 1)设点B到直线A,D的距离为d,因为BD=(一2， 3,0),A1D=(-1,-3,-√3)， …5分 所以d=, A DI V13-2v390 13 13 …8分 (2)因为AB1=(1,6,-√3)，BD=(-2,3,0), 所以cos(ABi,BD) AB·BD 16 4√130 |AB11IBD√I3X2√1IO 65 …12分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 所以异面直线AB,与BD所成角的余弦值为面 65 …13分 16.解：(1)因为S:=22,所以44=3X16一4k,解得k=1.…1分 当n=1时，21=2S1=3-1=2,解得a1=1.…3分 当n≥2时，由2Sn=3n2-n,得2S。-1=3(n-1)2-(n-1),…4分 两式相减得2aw=3n2-3(n-1)2-1=6n一4， …5分 所以n=3n一2.… 6分 a1=1满足am=3n一2，… 7分 故{am}的通项公式为an=3n一2.…8分 (2)由(1)可得bn=(3n一2)X20,……9分 则Tn=1X2十4X22十…十(3n一2)X2”,… …10分 2T。=1X22十4X23+…十(3n-2)X2m1,… 11分 两式相减得-T,=2+3×2+3×2+…+3×2-(3m-2)×2+1=2+3×21-2) 1-2 (3n-2)×2+1=(5-3n)X2n+1-10,… 14分 所以T.=(3n一5)×2"+1+10. …15分 17.解：(1)由题意可知P(A)= C号+C号+C+C850 5 C 19019 …4分 (2)记事件B为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，事件C为“消费 者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”， 5 则由(1)得P(7=200)=P(A)= 19' 5分 P(7=100)=P(B)= CC+CIC+CC!+CIC 100 10 C 19019' 8分 P(7=0)=P(C) CC8+CC_16+24_4 C 190 191 11分 则7的分布列为 0 100 200 P 10 5 19 19 …13分 则E=0×号+10×8+200×号-2 52000 …15分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 18.(1)解：lAF1=c十a=3,… …1分 |AF2|=c-u=1,… 2分 解得a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,… 3分 故C的方程为2片1. …4分 (2)解：设PF1=r1,PF2=r2,由双曲线的定义可得|r1一r2|=2a,…5分 在△PFF2中，由余弦定理得4c2=ri+r-2r1r2cos∠FPF2=r片+r-r1r2=(r1-r) 十r1r2=4a2十r1r2,… 6分 所以r1r2=4c2-4a2=4b2=12,… …8分 FPF2的面积S=)rurssin/F PF,=号X12X号=33. (3)证明：易知A(1,0),设M(x1y),N(x2,y),显然直线MN不与y轴垂直，则设MN 的方程为x=my十n,且n≠1. (x=my+n, 联立 消去x得(3m2-1)y2+6m2y+3n2-3=0, 3m2-3 所以y1十y2 -61n 3n2-1y1y2 3m2-1' 12分 因为马马3 所以y1y2=3(.x1-1)(x2-1)=3(my1+n-1)(my2十n-1),…13分 化简得(3m2-1)y1y2+3n(n-1)(y1十y2)十3(n-1)2=0, 即3m213n2-3》_18m2nn-D+30m-1）2=0.…15分 3m2-1 3m2-1 又n≠1，化简得n=0,所以直线MN过定点(0,0).…17分 19.(1)解：因为f(x)与g(x)为“契合函数”， 所以存在x∈(0，十∞，使f(x)+g(x)=-lnx-1+ax=0,即关于x的方程a血x+士 有根.……2分 设m)h中，则me)-三当xE0,1时，m>0,mx)单调递指，当x (1,十o∞)时，m'(x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)m=m(1)=1.…4分 因为f(x)与g(x)只有一个“契合点”，且当x>1时，m(x)>0,当x<时，m(x)<0, 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 所以☑∈（一o∞，0]U{1}.…5分 (2)①解：因为(x)与q(x)为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”x1,x2, 所以存在x1x:∈(0，十∞)，使得e一xlnx十bx-1=0,即关于x的方程b=1nx+】 二有两个相异正根xx2,一 …6分 i设)=nx+1g6x>0则'r)=二1_cD_-1D1-e2.…7分 因为x>0,所以1一e<0 当x∈(0,1)时，h'(x)>0,h(.x)单调递增：当x∈(1，十∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减 故h(x)mmx=h(1)=1一e,即实数b的取值范围为（一o∞，1一e).…10分 ②证明：不妨设西，<x,则0<x,<1<.设F(x)=h(x)-h(）,则F'(x)=h(x)+ )---042.a- (x-1)(1-e-x+xe2) r? …12分 () 令e(x)=1-e-x+xe,则g'(x)=-e-1+e-1e=-g-1+1e, 当x∈(0,1)时，'(x)<0,所以o(x)在(0,1)上单调递减， 所以当x∈(0,1)时，o(x)>9(1)=0,所以当x∈(0,1)时，F'(x)<0,所以F(x)在(0,1) 上单调递减.…14分 当x∈(0,1D时，F(x)>F1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)>h(),所以h()> () …15分 因为h(红)=hx:,所以h(x:)>h() 因为x2,∈(1，十o∞)，且h(x)在(1，十o∞)上单调递减，所以x<,即x1x2<1.…17分 ▣ 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】