精品解析：2025年四川省巴中市学业水平考试数学试题

巴中市2025年中考适应性考试数学 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．本试卷共6页，3个大题，24个小题． 2．答题前务必将自己的姓名、座位号、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置． 3．本试卷选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答非选择题时必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣的相反数是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣ D. 2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. “某同学任买一张电影票，票上的座位号是奇数”，这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 都不对 6. 将诸葛亮《诫子书》中“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“广”相对的字是（ ） A. 无 B. 学 C. 才 D. 以 7. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 10. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①； ②当时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3； ④当四边形为平行四边形时，． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知光在真空中的传播速度为千米/秒，1年约秒，如果一颗恒星距离地球2光年（1光年是光在1年中行进的距离），用科学记数法表示这颗恒星与地球的距离为________千米． 12. 已知关于x的方程有增根，那么________． 13. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，连接．若，则________． 14. 定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为________． 15. 在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上，若点的坐标为（2,0），且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为________． 三、解答题（本大题共9个小题，满分95分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a从中取一个你认为合适的数代入求值． 17. 已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． （1）求证：． （2）求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 18. 某校选取A．“南江光雾山地质博物馆”；B．“红四方面军总指挥部旧址纪念馆”；C．“光雾山自然资源研学实践基地”；D．“平昌县白衣古镇传统文化研学实践基地”四个基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的评价情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了________名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为________，并将上面的条形统计图补充完整； （2）若该校共有860名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数； （3）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率． 19. 某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上． （1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； （2）求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 21. 如图是直径，C是上异于A，B的一点，点D是延长线上一点，连接，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于E，交于F，连，若，求的值． 22. 已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 23. 通过研究数轴，我们发现许多重要规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： 【实践操作】 （1）若点P与表示的点的距离是5个单位长度，则a的值为________；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________；若数轴上比a小3的数用m表示，比a大9的数用n表示，则的最小值为________． 【灵活运用】 （2）解方程 【迁移拓展】 （3）已知，，，……，， 求式子的最小值． 24. 【发现问题】 北起望王山，经巴人广场，横跨巴河到江南，穿越张思训街，向上登攀直达南龛坡峰顶，这条纵贯南北、空间水平距离1.9公里的城市中轴线，堪称巴中市最具辨识度的全新城市地标之一．夜幕降临，华灯璀璨，中轴线两旁大型圆柱形大楼也绽放着绚丽光影．要点亮大楼外墙上特定图案的灯光，需要安装不同的灯光节点． 【提出问题】 工作人员在连接这些灯光节点时，不同的连接方式是否蕴含着什么数学道理呢？ 【分析问题】 该圆柱形大楼外墙可以近似看成圆柱体，外墙上的灯光节点在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的待点亮位置．这些灯光节点在侧面展开图上呈交错规律排列（如图1），每行有n个节点，每列有k个节点，行上相邻两节点、列上相邻两节点的间距都为d（n，k均为正整数，）． 工作人员设计了如下三种连接灯光节点的方案： （1）横向连接灯光节点示意图，若，，，每行连接的路径长为________，则连接全部节点的路径总长为________； （2）纵向连接灯光节点示意图，则连接全部节点的路径总长为________；（用含n，k，d的代数式表示） （3）斜着连接灯光节点示意图，求出该方案连接全部节点的路径总长．（用含n，k，d的代数式表示） 【解决问题】 （4）在三个方案中，哪种方案连接路径总长最短？请写出比较过程．（其中n，k均为正整数，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市2025年中考适应性考试数学 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．本试卷共6页，3个大题，24个小题． 2．答题前务必将自己的姓名、座位号、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置． 3．本试卷选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答非选择题时必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. ﹣的相反数是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣ D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：直接利用相反数的定义分析得出答案． 详解：-的相反数是：． 故选B． 点睛：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判断方法． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据该定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据中心对称图形的定义判断： 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 选项，该图形是中心对称图形，符合题意，选项正确． 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据乘法公式，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、不能合并，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 4. 正多边形的一个内角的度数为，则这个正多边形的边数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键；因此此题可根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：， 故选C． 5. “某同学任买一张电影票，票上的座位号是奇数”，这个事件是（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件．解题的关键在于理解随机事件的定义． 随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件，根据定义对“某同学任买一张电影票，票上的座位号是奇数”事件进行判断即可． 【详解】解：由题意知“某同学任买一张电影票，票上的座位号是奇数”是随机事件 故选C． 6. 将诸葛亮《诫子书》中“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“广”相对的字是（ ） A. 无 B. 学 C. 才 D. 以 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的平面展开图的特点——对面无邻点是解题关键，根据相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即可得到答案． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，“非”与“以”相对，“学”与“广”相对，“无”与“才”相对， 故选：B． 7. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设点，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意可设点， ∵轴， ∴， ∴； 故选A． 8. 如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（ ） A. 4定绢价50贯，3定布价90贯 B. 4定绢价90贯，3定布价50贯 C. 4定布价90贯，3定绢价50贯 D. 4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 10. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①； ②当时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3； ④当四边形为平行四边形时，． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④正确． 【详解】解：点的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 只有当时，一定有随的增大而增大，故②错误； 若点的横坐标最小值为，此时抛物线的对称轴直线为， 由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为，则， ∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为， ∴的横坐标的最大值为，故③正确； 令，则，设点的坐标分别为， ∴，， ∴， ∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得，故④错误； ∴正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数关系，平行四边形的性质，要注意顶点在轴上的情况和顶点分别在两点的情况． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知光在真空中的传播速度为千米/秒，1年约秒，如果一颗恒星距离地球2光年（1光年是光在1年中行进的距离），用科学记数法表示这颗恒星与地球的距离为________千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：（千米）； 故答案为． 12. 已知关于x的方程有增根，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根,得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得， 由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，易得均为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作， ∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 定义新运算：，若方程的解为a、b，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后根据新定义可进行求解． 【详解】解：∵a、b是方程的解， ∴， ∴ ； 故答案为0． 15. 在平面直角坐标系中，点、、、…在x轴的正半轴上，点、、…在直线上，若点的坐标为（2,0），且、、…均为等边三角形．则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，即可得点的纵坐标，同样的方法分别求出点，，的纵坐标，最后归纳类推出一般规律得到的纵坐标，由此即可算出点的纵坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，交直线于点，过点作轴于点， ， ， 当时，，即，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即点的纵坐标为， 同理可得：点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 归纳类推得：点的纵坐标为（为正整数）， 则点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，满分95分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a从中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再进行乘法和加减运算即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，取一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 17. 已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． （1）求证：． （2）求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，且点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）连接，同理（1）可得：，然后根据全等三角形的性质可进行求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某校选取A．“南江光雾山地质博物馆”；B．“红四方面军总指挥部旧址纪念馆”；C．“光雾山自然资源研学实践基地”；D．“平昌县白衣古镇传统文化研学实践基地”四个基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的评价情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了________名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为________，并将上面的条形统计图补充完整； （2）若该校共有860名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数； （3）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率． 【答案】（1）24，， 补全图形如图： （2）估计选择研学基地C的学生人数为215名 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率： （1）用的人数除以所占的比例求出总人数，求出的人数，补全条形图，用360度乘以A所占的比例，求出圆心角的度数； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（名）； ∴的人数为：（名）；的人数为：（名）； ； 【小问2详解】 （名）； 答：估计选择研学基地C的学生人数为215名； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男 男 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女 女，男 女，男 女，女 共12种等可能的结果，其中选择研学基地D的学生中恰有两名女生有2种情况； ∴． 19. 某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上． （1）求观测点E与电池板边缘点B之间的距离； （2）求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】（1）观测点E与电池板边缘点B之间的距离为 （2）太阳能电池板宽的长度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形： （1）过点作，设，分别解，求出的长，根据的长，列出方程求出的值，进而求出的长； （2）过点作，易得：，进而求出的长，根据点O是的中点，求出的长即可． 【小问1详解】 解：过点作，设，由题意，得：， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴； 答：观测点E与电池板边缘点B之间的距离为；    【小问2详解】 过点作，则：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴ 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入得，再把代入，求出，运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）认真观察图象，且结合，，运用数形结合思想得不等式的解集或，即可作答． （3）先求出，得，设，运用三角形面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 则， 把和分别代入， 得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集或； 【小问3详解】 解：依题意，与x轴交于C点， ∴当时，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线上有点P， 设， ∵的面积为12， ∴， 则， ∴或， 解得或， 则或． 21. 如图是直径，C是上异于A，B的一点，点D是延长线上一点，连接，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于E，交于F，连，若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， 即， ， 又 ∵为半径， ∴直线是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论； （2）先得出，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果； （3）由（2）的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，然后得出，最后根据得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， 设半径， ， ， 在中，， 在 中，． 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，， ， ， 在中，， 解得：， ∵平分， ， 又 ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键． 22. 已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． 【小问2详解】 解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． 【小问3详解】 解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 23. 通过研究数轴，我们发现许多重要规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： 【实践操作】 （1）若点P与表示的点的距离是5个单位长度，则a的值为________；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________；若数轴上比a小3的数用m表示，比a大9的数用n表示，则的最小值为________． 【灵活运用】 （2）解方程 【迁移拓展】 （3）已知，，，……，， 求式子的最小值． 【答案】（1）或4；5；19（2）或（3） 【解析】 【分析】本题考查化简绝对值，解绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键： （1）根据两点间的距离求出的值，根据的范围，化简绝对值求值，根据，得到，根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，进行求解即可； （2）分和两种情况解方程即可； （3）将转化为，根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小，进而得到当时，有最小值，取代入求值即可． 【详解】解：（1）或； 当数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间时，； ， ∴， ∴当时，的值最小为：； （2） 当时：，解得：； 当时：，解得：； 综上：或 （3）∵，，，……，， ∴ ； 根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小， ∴当时，有最小值， 把代入，得：； ∴的最小值为． 24. 【发现问题】 北起望王山，经巴人广场，横跨巴河到江南，穿越张思训街，向上登攀直达南龛坡峰顶，这条纵贯南北、空间水平距离1.9公里的城市中轴线，堪称巴中市最具辨识度的全新城市地标之一．夜幕降临，华灯璀璨，中轴线两旁大型圆柱形大楼也绽放着绚丽光影．要点亮大楼外墙上特定图案的灯光，需要安装不同的灯光节点． 【提出问题】 工作人员在连接这些灯光节点时，不同的连接方式是否蕴含着什么数学道理呢？ 【分析问题】 该圆柱形大楼外墙可以近似看成圆柱体，外墙上的灯光节点在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的待点亮位置．这些灯光节点在侧面展开图上呈交错规律排列（如图1），每行有n个节点，每列有k个节点，行上相邻两节点、列上相邻两节点的间距都为d（n，k均为正整数，）． 工作人员设计了如下三种连接灯光节点的方案： （1）横向连接灯光节点示意图，若，，，每行连接的路径长为________，则连接全部节点的路径总长为________； （2）纵向连接灯光节点示意图，则连接全部节点的路径总长为________；（用含n，k，d的代数式表示） （3）斜着连接灯光节点示意图，求出该方案连接全部节点的路径总长．（用含n，k，d的代数式表示） 【解决问题】 （4）在三个方案中，哪种方案连接路径总长最短？请写出比较过程．（其中n，k均为正整数，，） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）斜着连接灯光节点的方案路径总长最短，理由： 设横向、纵向、斜着连接点的路径总长依次为， 由（1）（2）（3）可得，， ， 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴的值随的增大而减小 ∴ ∴ ∴ ∴斜着连接灯光节点路径总长最短． 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，一次函数的性质，理解题意是解题关键． （1）根据题意，列出代数式，将已知数据代入，即可求解； （2）根据题意列出代数式即可求解； （3）根据图得出斜着连接每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着连接相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； （4）利用作差法比较三种方案即可． 【详解】解：（1）横向连接灯光节点：根据题意每行有n个灯光节点，行上相邻两灯光节点的间距为d， ∴每行连接的路径长为， ∵每列有k个灯光节点，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴连接全部灯光节点的路径总长为， 当，，时，每行连接的路径长为，则连接全部节点的路径总长为； 故答案为：； （2）根据题意每列有k个灯光节点，列上相邻两灯光节点的间距为d， ∴每列连接的路径长为， ∵每行有n个灯光节点，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴连接全部灯光节点的路径总长为， 故答案为：； （3）由图得斜着连接每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着连接相当于有n条线段长，同时有个， ∴连接全部灯光节点的路径总长为：； （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $