内蒙古自治区百师联盟2025届高三下学期５月二轮复习联考（三）数学试题

B 2025届高三二轮复习联考（三） 数学试题 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 1若复数x=1十则x的虚部是 A.-1 B、1 c D.1 2.已知等差数列{an}的前n项和为S.,且a4一a:=12,Ss一S2=3,则a5= A.5 B.6 c.7 D.8 3.已知向量a=(2,一1)，b=(4,3),则向量a在向量b方向上的投影向量是 A传别 后) c》 剖 4.计算：tan20°+tan40°+，√3tan20°tan40°= A号 B.1 C.2/3 3 D.3 5在高为 的正四棱台ABCD-AB,C,D,中，AB=2,A,B1=1,则此四棱台的外接球的 表面积是 A.4π B.6π C.8π D.10π 6.记曲线C:x2+y2-2|x|-2ly|=0(x2十y2≠0)，若直线ax十ay+1=0与曲线C相切， 则a= A.士4 B.±2 c士号 1 D.士2 7.已知函数f(x)=sin2x一2 xcos x,则函数f(x)在区间 上的零点个数为 A.1 B.3 C.5 D.7 8.已知函数f(x)=|x2一ax|一x2一a,当x>0时，f(x)≤0，则a的取值范围是 A.(-∞，0] B.(-∞，8] C.[0,8] D.[0,4] 二轮复习联考（三）数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线L与C交于A,B两点，则下列说法正 确的是 A焦点F到抛物线C的准线的距离为8 1 11 B.AF十TBF-艺 C,若AB的中点的横坐标为3，则|AF|川BF|=20 D.若2BFI=|AF1,则S△AoF=4√2 10.已知函数f(x)=x3-3ax2+9x+m,则 A.3a∈R,使得f(x)为单调函数 B.Ha∈R,f(x)的图象恒有对称中心 C.当a=2时，f(x2)>f(5x+4) D.若x1,x2,x是方程f(x)=0的三个不同的根，则x1x2十x1x,十x,x,=9 11,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°，∠BAC的平分线AD交BC 于D,AD=2,则下列说法正确的是 A.4b十c的最小值为6√3 B.BD=sin B CDsin C C品+品的最大值悬厅 D.△ABC的周长的取值范围是[4√3，十o∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{a.}满足a.+2=3a.,a1=1,则ag= 13.已知4°=3,10g25=6,则2= 14,从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这 三个数之和为X;从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条 件的两个数之和为Y则P(X=Y)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的 方式从中抽取100人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均 值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31. (1)计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差； 二轮复习联考（三）数学试题第2页（共4页） (2)将一分钟跳绳次数≥125视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有 关；（结果保留小数点后三位） (3)如果将(2)表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立 性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着 解释其中的原因 n(ad-bc)2 附：X2-(a+b)c+a)a十c+dDn=a+b+c+d. X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)已知函数f(x)=a(x-4)2+61nx. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线过点(0,9)，求a的值； (2)求f(x)的极值点. 二轮复习联考（三）数学试题第3页（共4页） 1.15分)尼知椭圆C号+茶-1a>b>0),点A(,0)在精圆C上.椭圆上关于原点 对称的任意两个不与点A重合的点P,Q和点A连线的斜率之积为-一号 (1)求椭圆C的方程； (2)若一条斜率存在且不为0的直线1交椭圆C于M,N两点，且线段MN的中点R的 纵坐标为一1，过R作直线'⊥l.定点E(2,1)到直线'的距离记为d,求d的最大值并求 出对应的直线'的方程. 18.(17分)如图，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，AD=2PA=2,PD=√5，记∠PAB= 0,8∈(0，π). (1)证明：△PBC为直角三角形； (2)当四棱锥P一ABCD的体积最大时，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值； (3)记直线AC与平面PBC所成角为a,求sina的最大值. 19.(17分)对于非空数集S,T=x一y1x,y∈S},若T=S,则称数集S具有性质M. (1)若数集S具有性质M,证明：0∈S;判断S1={0,1,2,3),S2={0,1,2,5}是否具有性 质M,并说明理由. (2)若S={a1a2,aa,…,an}(n≥3)满足①a1=0;②Vi,j∈N,当<j时，都有a<a, (1)判断“数集S具有性质M”是否是“数列{a.}为等差数列”的充要条件，并说明理由； (i)已知数集S具有性质M,数集Q={b1,b2,b,b,.若数集SUQ具有性质M且 an=10a2,求满足题意的数集Q的个数. 二轮复习联考（三）数学试题第4页（共4页） ®B⑥B 2025届高三二轮复习联考（三） 数学参考答案及评分意见 1B【解析)收数：=中1十D号之，其虚部为-，放选B 1-i11 2.A【解析】设{a.)的公差为d,由等差数列可得a4一a1=3d=12,即d=4:Sa一S2=a:十a:十as=3a4=3,即 a4=1,所以as=a4十d=1十4=5，故选A 3.A【解折】因为向量a在向量b方向上的投影向量与b是共线向量，则利用。·合可计算出投影向量为 后引故选A 4.D【解析】tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=tan60°(1-tan20tan40)+3tan20°tan40°=√5-√3tan20°. tan40°+3tan20°tan40°=√3，故选D. 5.D【解析】由正四棱台的性质可知，其外接球的球心应在上下底面的中心连线所在直 线上，不妨设上底面A:B1C:D1的中心为O1,下底面ABCD的中心为O2,球心为O, 由AB=2,AB,=1,可知0，A-号0，A=反，正西校台的离为号即0,0，-号 因为0A1=√/010+01A= 图+图-1K亿，期0应在下底面ABCD的下方，则此正四楼台的对 角图如圈，不动设0，-，利用外接球半轻相等建立等式.即0A,=01,有+写+图 =x十(2)2，解 得x一2则外接球的半径R一 (√2)+2]-}°，由外接球表面积S=4πR”得S=10元，故选D 6C【解析】根据x与y的正负分类讨论，画出曲线C如图所示，易知a≠0且直线ax十ay十1=0的斜率为一1， 从而直线与曲线有两种相切的情况，交点分别在第一象限和第三象限，通过化简可知圆的半径为√2，故原点到切 1 线的距离为2√2，由距离公式得 a+aF =22,解得a=土 ,故选C 7.C 【解折：x∈[经]-)+f)=0,fu)为奇函数.当x(0,]时，imx<,令fx)-0, 可得20os(血x一x)-0,c0sx=0=号，或x-经fx)在0，到]上有两个零点利用奇函数的性 质，可得)在[经0上也有两个零点.又f0)=01x)共有5个学点。 8.C【解析】本题采用分类讨论的方法，根据x2一ax的正负进行分类.因为y=x2一ax=x(x一a)的零点为x=0 或x=a.当a<0,x>0时，x2-ax>0,此时f(x)=a(-x-1),因为x>0,所以-x-1<0,同时a<0,则 二轮复习联考（三）数学答案第1页（共7页） f(x)>0,不符合题意；当a=0时，f(x)=0,符合题意；当a>0时，可知x>a时，x2一ax>0,此时f(x)= a(-x-1),因为a>0,并且-x-1<0,有f(x)<0:当0<x<a时，x2-ax<0,此时f(x)=-2x十a.x-a, 因为f(x)≤0，则一2x3十ax一a≤0，即(-2x2十ax-a)m≤0.由题意得f'(x)=一4x十a,令f'(x)=0得 x=号，当0<x<号时，f'x)>0,f(x)单调递增，当号<x<a时，f(x)<0,f(x)单调递减，故在x=子处 fx)取得最大值，从而有f()<0即-2(+a×:-a<0,解得0<a≤8，综上所述，a∈[0,8，符合题意， 故选C. 9.BCD【解析】A项，焦点F到抛物线C的准线的距离为p,由y2=8x知p=4,即距离为4，故A选项错误. B项，设A1),B:,由抛物线定文可知1AF=十号=十2，BF=:+号=+2，设直线AB 的方程为x=my十2，联立方程y2=8x,得y2-8my-16=0.由根与系数的关系，得y1十y2=8m,y1y2=一16， +即2+十2因为A,B在范物线上则-，-装，即品+职6+ 1 1 8 8(y1+y+32) 8(y+y+32) 8(y+y+32) 8(y+y+32)1 y+16(y7+16)(y+16)yiy+16(y+y)+16(-16)2+16(y1+y)+1616(y1+y+32)2 11 即AF十BF=2,故B选项正确。 1 C项，根据题意，AF+BF=:十x+4=10,与AF十BF-立联立，解得AFBF=20,故C选项 正确。 D项，由2BF=|AF|可得2|y:|=|y1|,假设y1>y2,因为y:ya=-16,解得y:=一2√2，y1=4√2.所以 Sam=号OFIl=2×2X4E=4,E,放D选项正确， 10,ABD【解析】A项，由题意得，f(x)=3x2-6ax十9=3(x2-2ax十3)，y=f'(x)的图象是开口向上的抛物 线，要使f(x)是单调函数，只需f'(x)≥0恒成立，即△=4a2-4×3≤0，解得一√3≤a≤3，故3a∈[-√5， √3]，使f(x)是单调函数，故A选项正确。 B项，对f(x)=x3-3ax2+9x十m变形得f(x)=(x-a)3十(9-3a2)(x-a)+m十9a-2a,所以f(x)的图 象恒关于(a,m十9a一2a3)对称，即Va∈R,f(x)的图象恒有对称中心，故B选项正确. C项，a=2时，f(x)=x3-6x2+9x+m,当x=0时，f(x2)=f(0)=m,f(5x+4)=f(4)=4+m,此时 ∫(x2)<f(5x十4)，故C选项错误. D项，因为x1,x,x:是f(x)=0的三个不同根，所以f(x)=(x一x1)(x一x:)(x一x,)=x3一(x:十xg+ x,)x2+(x1x2十x1x3十x2xa)x-x1xgx.又f(x)=x3-3ax2+9x十m,所以x1x:十x1xa十xx1=9,故D 选项正确。 1.ACD【解析】A选项，利用等面积法有Sac=Sam十Saa,则有2csin∠BAC-AD·c·sin∠BAD十 名AD·b~sn∠CAD,因为AD=2,∠BAC=60,AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD=30,代入 等式得=6+c,所以+-所以+=6++)·后-6++)后由本不等 式可得6十≥+2便·日后=65，当且仅当：=2的时等号度立，测6+：的最小值为6，放A选 二轮复习联考（三）数学答案第2页（共7页） 项正确。 B选项，在△ABD中，由正弦定理得mDD在△ACD中，由正孩定理得 CD ，=AD sin∠CADsin C.因为 BD sin C AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD,则有CD-snB,故B选项错误. C选项，因为∠BAC=60°，所以BD=ADsin∠BAD= nB,CD=ADsin∠CAD。】 1 1 sin B sin C nc,所以BD+cD snB+iC=5inB+sin(120°-B)=sinB+5。 1 2cosB=3sin(B+30°). 因为0<B<120,所以当B=60时，BD十CD取得最大值V3,故C选项正确. D选项，由A选项的分析知c-b+c,结合基本不等式6十e≥2vG,解得6十≥85】 3,在△ABC中，由余弦 定理得a=b2+c2-2 bc cos,∠BAC=b3+c-bc=(b+c)3-3bc=(b+c)2-23(b+c),所以a= W/(b十c)2-2√3(b+c),则△ABC的周长L=a十b十c=√(b+c)2-23(b十c)+b+c.将b十c看作整体，在 6+c≥8 83 3 2时，L=√(b十c)2-2√3(b+c)+b+e单调递增，故L≥ -23×85+83 3 3 =43,即 △ABC的周长取值范围为[4√3，十∞)，故D选项正确. 12.81【解析】因为am+2=3am,a1=1,所以aa=3a1=3×1=3,as=3aa=3×3=9,a,=3as=3×9=27,ag= 3a7=3×27=81. 13.√5【解析】由已知得a=log3,b=log5,∴ab=log3·log5=log5=log2√5，.2=2e6=5. 5 14.518 【解析】设满足第一个条件的取法种数为m,满足第二个条件的取法种数为. 要使三个数之积为偶数，只要这三个数中至少一个是偶数即可，其对立事件是取出的三个数全是奇数，从1,3， 5,7,9这5个奇数中取3个的取法有C=10种，从9个不同的数中取3个不同数的取法有C8=84种，所以满 足三数之积为偶数的取法种数m=C号一C=84一10=74. 要使两个数之积为偶数，只要这两个数中至少一个是偶数即可，其对立事件是取出的两个数全是奇数，从1,3,5 这3个奇数中取2个的取法有C=3种，从5个不同的数中取2个不同数的取法有C=10种，所以n=C号一 C号=10-3=7. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9中取出的三个数的和，最小为1+2+3=6，最大为7+8+9=24，所以和的取值在区间 [6,24]内：从1,2,3,4,5中取两个数的和最小为1+2=3，最大为4十5=9，所以和的取值在区间[3,9]内，因此 两种条件下取出的数字之和相等的情况只有6,7,8,9. 第二个条件下和为6,7,8,9的取法有2+4=6,2+5=7,3+4=7,4+5=9. 第一个条件下和为6,7,8,9的取法有1+2+3=6,1+2+4=7,1+2+5=8,1+3+4=8,1+2+6=9,2+3+ 4=9. 因此和相等为6的情况有1种：和相等为7的情况有2种，和相等为8的情况有0种；和相等为9的情况有2 种，所以共有5种。 从m种取法和n种取法中各随机选一种的总情况数为m×n=74×7=518,所以和相等的概率为写18： 5 15.解：(1)由题意，样本中高一学生有60人，高二学生有40人. 二轮复习联考（三）数学答案第3页（共7页） 总样本均值=80×165十品×145=151.… …2分 总样本方差g子=0×[61+(165-157)门士0×[31+(145-157)门145，……4分 (2)零假设为H。:一分钟跳绳次数及格情况与年级无关，由列联表中数据得到： X2=100×(52×2-8×38) 60×40×90×10 ≈1.852<3.841. …7分 根据小概率值a=0.05的X独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即认为一分 钟跳绳次数及格情况与年级无关.………8分 (3)将表格中所有数据都扩大为原来的10倍，根据列联表中的数据， 经计算得X:=1000×(520X20-80×380 -≈18.519>3.841.… 600×400×900×100 …11分 依据α=0.05的独立性检验，可以推断一分钟跳绳次数及格情况与年级有关。 与(2)中结论不同，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发 生了变化.…13分 16.解：1)因为f(x)-a(x-40+6lnx,z>0,所以f'(x)=2a(c-40+(>0), 所以f(1)=6-6a,f(1)=9a,…2分 所以曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y一9a=(6一6a)(x一1). 由点(0,9)在切线上，可得9一9a=6a一6，解得a=1.……5分 (2)由a)可知，f'x)=2a(x-40+5_2ar-8ax+5z>0, 令g(x)=2ax2-8ax十6，则p(0)=6.…6分 ①当a=0时，对x∈(0，十6o),有(z)-6>0,f(x)单调递增，无极值。…8分 ②当a<0时，P(x)的图象开口向下，且对称轴为直线x=2,又P(0)=6,则p(x)=0在x>0时有一根x1= 2-y4a2-3a …9s分 x∈(0，x1)时，p(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增， x∈(x1,十∞)时，(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以f(x)在x处取得极大值，极大值点为x,=2-403 。…10分 ③当a>0时，g(x)的图象开口向上，△=64a2一48a. 1.当△<0，即0<a<子时，有p()≥0，所以当x>0时，有了(x)≥0，fx)单调递增，无极值点。…12分 1.当△>0，即a>时，在x>0时，p(x)=0有两个根x,=2-4@30, a x=2+y4a3a a x∈(0，x2)时，p(x)>0,f(x)>0,f(x)单调递增： x∈(x,x,)时，P(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减： x∈(x,十∞)时，p(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增. “x)有极大值点，=2-4@30，极小值点，=2+@30 ……14分 二轮复习联考（三）数学答案第4页（共7页） 综上所述， ①当0<a<时，)单调递增，无极值点： ②当a<0时，f)的极大值点为2-√a=3a,无极小值点： ③当a>时，fx)的极大值点为2-030，极小值点为2+ya一0 …15分 4 a 17.解：(1)设点P,Q的坐标分别为P(xoy),Q(-x0,一yn), 依题意，k心=y一0 x。-231 k0=二y。-0 -x0-23 wo2是=-0 -y。 …2分 又，点P在椭圆C上， 后+-1，则有明=-将其代入①式，有-6=-4针 3x.②…4分 又，点A在椭圆C上， 号是=1，心a212,心a=23,代人②式，有634.……6分 六椭圆C的方程为2十=1。…… …7分 (2),直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx十m. 设M(x1,y1),N(x:,y),直线l交椭圆C于M,N两点， 墙+-1.@ +-1.@ ③-④得+=0. 12 4 化简得…十2=一号：⊙ …………9分 x1十x2 又：R是MN的中点，R色十，）且y+y=-2, 2 2 代入⑤式， 广十一司·解得3跳=1+， -2 1 有k· 点R的坐标为(3k,一1). 1 则直线1的方程为y十1=一友(x一3k),即x十y一2k=0.…………1分 方法一： 显然，直线过定点F(0,2).… …12分 当直线'与直线EF垂直时，点E(2,1)到直线'的距离最大， dmm=|EF|=√(2-0)十(1-2)=5.……14分 二轮复习联考（三）数学答案第5页（共7页） 解得=一 经检验，此时点R在椭圆内，满足题意. d的最大值为5，此时直线1'的方程为2x一y+2=0. 15分 方法二： :d=2-1 √1+T1 …12分 d= +4=1十3二经 1十k2 1十k2 令3-4k=t,当t=0时，d*=1,当t≠0时， d2=1+ =1 16t 1+ 3-t 25-61+7=1 运6≤1+5。=5（当且仅当：=5，即长=号时，等号波。 、4 25一-6十t 综上，d≤5，即d≤5.… …14分 经检验，等号成立时点R在椭圆内，满足题意 ∴.d的最大值为v5,此时直线的方程为2x一y十2=0. ……15分 18.(1)证明：由题AD2+PA=PD,所以AD⊥PA. 又AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以AD⊥平面PAB. 因为PBC平而PAB,所以AD⊥PB. 又AD∥BC,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形.…4分 (2)解：当四棱锥P-ABCD的体积最大时，PA⊥平面ABCD.此时，以A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别 为x,y,x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),BP- (-2,0,1）,BC=(0,2,0).…6分 n·B币=-2x1十x1=0 设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1),则 令x1=1,则n=(1,0,2). n·BC=2y1=0, 显然平面PAD的一个法向量为AB=(2,0,0),……………8分 所以|cos(AB,n)| AB·n 5 ABIm 一，即平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为后一 …10分 (3)解：以A为坐标原点，直线AB,AD分别为x,y轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(cos0,0,sin8),AC=(2,2,0),BC=(0,2,0),Bp=(cos0-2,0,sin0). 12分 设平面PBC的法向量为m=(x,yg,2), 二轮复习联考（三）数学答案第6页（共7页） m·B2=(cos0-2)x十sin0·x=0 则 令xg=sin0,则m=(sin0,0,2-cos0).…14分 m·BC=2y2=0, sina=cos(A花，m)|-22X√sm0+2-cos07 2sin 0 2 sin 021-cos0 25-4cos25-4cos 0' 令4-5-4o9e1,9,则m。-口0-10-+)<（当且仅当4=3，即0-营时取 2 16t 8 等号). 所以sin。的最大值为 ……17分 19解：(1)令x=y,则0∈T,又数集S具有性质M,即T=S,所以0∈S.…2分 S1=(0,1,2,3},T1={x一y|x,y∈S,}={0,1,2,3}=:,所以S,具有性质M;…3分 S:=(0,1,2,5},4∈T2={x一y|x,y∈S2）,所以T:≠S2,所以S2不具有性质M.…4分 (2)(1)“数集S其有性质M”是“数列{an}为等差数列”的充要条件.…6分 先证必要性：由题知，数列{an}单调递增，当数列{a.}为等差数列时，设公差为d,则a.=a1+(n一1)d=(n一 1)d. 则S={0,d,2d,…,(n一1)d},显然T=S,所以数集S具有性质M.…8分 再证充分性：显然a,一a2∈T,其中i=3,4,,n,有n-2个元素，0∈T,an-0=a.∈T, 又0<ag一a,<a,一a<…<a。-a2<a.,数集S具有性质M,即S=T, 则(0，a2,a3,,aw-1,a.}=(0,a3-a2,a4-a2,am-a2a.},所以a:-a2=a-1(i=3,4,…,n). 所以a:一a-1=az(i=3,4,…,n),又a2一a1=a2,所以数列{an}是以0为首项，a2为公差的等差数列. 综上，“数集S具有性质M”是“数列{a.》为等差数列”的充要条件。……10分 (i)由(i)知数列{am}是以0为首项，ag为公差d的等差数列，即a.=(n一1)d, 由am=10a:知S={0,d,2d,…,10d},共有11个元素数集SUQ具有性质M,则SUQ中的元素从小到大也 构成首项为0，公差为d的等差数列 第一种情况：Q二S,则Q的个数为C1=330。…………13分 第二种情况：Q丈S,若sUQ=SU{11d},则Q的个数为C=165: 若sUQ=SU{11d,12d},则Q的个数为C品=55： 若sUQ=SU{11d,12d,13d},则Q的个数为C=11: 若SUQ=SU11d,12d,13d,14d},则Q的个数为1. 综上，满足题意的数集Q的个数为330十165十55十11十1=562.…17分 二轮复习联考（三）数学答案第7页（共7页）