与切线有关的证明与计算-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．（1）证明：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝45°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE＝∠BOD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABD＝∠ACD＝45°， ∴AD＝BDAB＝5， ∵OA＝OB， ∴OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°， ∴阴影部分的面积＝扇形BOD的面积﹣△BOD的面积5×5π． 2．（1）证明：如图：连接OC． ∵AC平分∠BAD， ∴， ∴BC＝DC； ∵BD为直径， ∴OB＝OD， ∴CO⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵BD∥CE， ∴∠OCE＝∠COD＝90°， ∴OC⊥CE， ∴CE与⊙O相切，即CE为⊙O的切线； （2）证明：∵BD∥CE， ∴∠ADB＝∠E， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠E； ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＝∠CDE， ∴△ABC∽△DCE， （3）解：在Rt△ABD中，， 在Rt△BCD中，， ∵△ABC∽△DCE， ∴， ∴， ∴． 3．（1）证明：过O作OH⊥AC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADO＝∠AHO＝90°，AD∥BE， ∴∠DAO＝∠CEO， ∵AC＝CE， ∴∠E＝∠CAO， ∴∠DAO＝∠CAO， ∴OD＝OH， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠DAH＝45°， ∴△COH是等腰直角三角形， ∴OCODOH， ∵AB＝22， ∴OD22， ∴OD＝2， ∵∠DAO＝∠HAODAH＝22.5°， ∴∠AOD＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴阴影部分的面积＝△ADO的面积﹣扇形DOF的面积2． 4．（1）证明：如图，连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠DCA＝∠B， ∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：如图，过点D作DM⊥CF于点M， ∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A， ∴∠A+∠DCA＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠A+∠EFA＝90°， ∴∠DCA＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠DFC， ∴∠DCA＝∠DFC， ∴△DCF是等腰三角形． ∵DM⊥CF， ∴CM＝FM， ∵∠OCA+∠DCM＝90°，∠DCM+∠MDC＝90°， ∴∠CDM＝∠OCA＝∠A， ∴tanA＝tan∠MDC， ∴， 设CM＝3a，DM＝4a， 在Rt△CDM中，CD＝15， ∴（3a）2+（4a）2＝152， 解得a＝3或a＝﹣3（舍）， ∴CM＝9， ∴CF＝2CM＝18． 5．（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD//OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∴； （3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x， ∴， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB， ∴∠E＝∠AFH， ∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴． 6．（1）证明：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠CAE＝∠OCA， ∵AC＝AO， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OAC＝∠CAE， ∴AC平分∠BAE； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵∠DAE＝∠BAF，∠AED＝∠F， ∴△ADE∽△ABF， ∴， ∴AD＝AO， 在Rt△OCD中，∵sinD， ∴∠D＝30°， ∴tan∠ADE＝tan30°． 7．（1）证明：连接DC，如图， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠DCB＝90°， ∵∠CDB＝∠CAB＝20°， ∴∠CBD＝90°﹣∠CDB＝70°， ∵∠CAB＝∠EBC＝20°， ∴∠CBD+∠CBE＝70°+20°＝90°， ∴∠DBE＝90°， ∴OB⊥BE， ∵OB为⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，∠CAB＝20°， ∴∠ACB＝∠ABC80°， ∴∠AFC＝∠ABC＝80°， ∵AH＝AF， ∴∠AHF＝∠AFC＝80°， ∴∠BAF＝180°﹣∠AFC﹣∠AHF＝20°． （3）解：∵， ∴设BC＝2k，则AC＝5k， ∴AB＝AC＝5k． ∵∠FCB＝∠BAF＝20°，∠CAB＝20°， ∴∠BCF＝∠BAC． ∵∠CBH＝∠ABC， ∴△BCH∽△BAC， ∴， ∴， ∴BHk， ∴AH＝AB﹣BHk， ∴AF＝AHk． ∵∠CHB＝∠AHF＝80°，∠ABC＝80°， ∴∠ABC＝∠CHB， ∴CB＝CH＝2k． ∵∠CHB＝∠AHF，∠FAB＝∠FCB， ∴△CHB∽△AHF， ∴， ∴， ∴HFk， ∴CF＝HF+CHk． ∴． 8．（1）证明：连接OC，如图： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠BCO， 又∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图： ∵⊙O的半径为5， ∴AB＝10， ∵△ABC的面积为24， ∴AB•CM＝24，即10•CM＝24， ∴CM， Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA， Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA， ∴∠BCM＝∠A， ∴tan∠BCM＝tanA，即， ∴， 解得BM，（BM舍去）， ∵CM⊥AB，EH⊥AB， ∴， ∵， ∴， 由（2）知CM， ∴HE，MF＝3HF， Rt△OEH中，OH， ∴AH＝OA﹣OH＝5， 设HF＝x，则MF＝3x， 由AB＝10可得：BM+MF+HF+AH3x+x+510， 解得：x， ∴HF，MF， ∴BF＝BM+MF． 9．（1）证明：∵AB⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AED＝∠AEF＝∠AMC＝90°， ∵∠AFE＝∠CFM， ∴∠EAF＝∠FCM， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD＝∠BAF， ∵AN＝AG， ∴∠N＝∠G， ∴∠DAG＝∠BAD+∠BAF＝∠N+∠G， ∴∠BAD＝∠BAF＝∠N＝∠G， ∴AB∥GN， ∴CG⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴GC是⊙O的切线； （2）解：连接OA，AC，由（1）证知：∠BAD＝∠BAF，∠AED＝∠AEF＝90°， ∵AE＝AE， 在△AED与△AEF中， ， ∴△AED≌△AEF（ASA）， ∴DE＝EF， 设OE＝x，则DE＝EF＝x+1， ∴AO＝2x+1， ∵AO2＝AE2+OE2， ∴， ∴（舍去）， ∴OE＝1， ∴OC＝AO＝3， ∴⊙O的半径为3， ∴EC＝4， ∵AB⊥CD，AM⊥BC， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（1）①证明：连接OD， ∵⊙O经过B、C、D三点， ∴OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，AB∥CD， ∴AB＝BD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABD+∠OBD＝∠ADB+∠ODB， ∴∠ABO＝∠ADO， ∵BF是CD边上的高， ∴BF⊥CD， ∴BF⊥AB，即∠ABO＝90°， ∴∠ADO＝90°，即OD⊥AD， ∵OD是半径， ∴直线AD是⊙O的切线； ②解：∵BF⊥CD，且BF经过圆心， ∴BF垂直平分CD， ∴BD＝BC， 由①知四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝BD＝AB＝3， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD＝60°，∠CBE＝30°， ∵BE是直径， ∴∠BCE＝90°， 在Rt△BCE中，CE＝BC•tan30°． （2）过A作AH⊥CD交CD延长线于点H， ∵， ∴设FG＝a，则DG＝2a， ∴DF＝CF＝3a， ∴AB＝CD＝6a， ∵AB∥CD，BF⊥CD，AH⊥CD， ∴四边形ABFH是矩形， ∴FH＝AB＝6a， ∴GH＝FH﹣FG＝5a， ∵BE∥AH， ∴△EFG∽△AHG， ∴， ∵AH＝BF， ∴， ∵∠CEF＝∠BCF＝90°﹣∠ECF，∠CFE＝∠CFB＝90°， ∴△ECF∽△CBF， ∴，即CF2＝BF•EF， 又∵，CF＝3a， ∴EFa， ∴tan∠BEC． 11．（1）证明：连接OC、OA、BC，如图1， ∵ ∴∠ADB＝∠BAC，AB＝BC， ∵OA＝OC， ∴OB垂直平分AC， ∴∠BAC+∠OBA＝90° ∵∠ABG＝∠ADB， ∴∠ABG+∠OBA＝90° 即OB⊥BG， ∵OB是⊙O的半径， ∴GB是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵∠AFE＝∠AFB＝90°，AF＝AF， △AFE≌△AFB（ASA）， ∴BF＝EF，AE＝AB， ∵3， 设BF＝EF＝a， ∴OB＝OA＝3a，OF＝2a， ∴AFa， 在Rt△AEF中，AE， ∴AB＝AEa， ∵AC⊥OB，BG⊥OB， ∴AC∥BG， ∴，即， ∴BG＝2a， ∴； （3）解：连接OA，如图2， ∴∠AOB＝∠BAE， ∵∠OBA＝∠ABE， ∴△OBA∽△ABE， ∴， ∵AB＝AG＝AE， ∴AB2＝5BE， ∴BE2， 在Rt△BEG中，EG2＝BE2+BG2， ∴（2AB）2， ∴BG2， ∵∠D＝∠G＝∠ABG， ∴△ABG∽△BDG，BD＝BG， ∴， ∴BG2＝AB•DG， ∴AB•DG＝4AB2， ∴， ∵GE•AD＝88，即2AB•（DG﹣AG）＝2AB•（DG﹣AB）＝88， ∴AB•（DG﹣AB）＝44， ∴AB•44， ∴AB2＝20或AB2＝55， 当AB2＝20时，AB＝2，BG＝BD＝8，DG， ∴C△BDG＝BD+BG+DG＝16， 当 AB2＝55 时，，，， ∴C△BDG＝BD+BG+DG， 综上所述，△BDG的周长是或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D． （1）过点D作DE∥AB，求证：DE为⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求BD的长和阴影部分的面积． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E． （1）求证：CE为⊙O的切线． （2）求证：△ABC∽△CDE． （3）若AB＝3，AD＝4，求线段DE的长． 3．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心，OD为半径作⊙O，⊙O交线段AO于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 4．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，∠DCA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD＝15，，求CF的长． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E，延长EA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：AC平分∠BAE； （2）若，求tan∠ADE的值． 7．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠CAB＝20°，BD为⊙O的直径，点F是劣弧AB上一点，连接AF、CF，CF与AB相交于点H，且AH＝AF，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠CAB＝∠EBC． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）求∠BAF的度数； （3）若，求的值． 8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径5，△ABC的面积为24，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF的长． 9．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，交过点C的直线于点G，连接DA并延长，交直线CG于点N，且AN＝AG． （1）求证：GC是⊙O的切线； （2）若，OF＝1，求⊙O的半径和AM的长． 10．如图，在▱ABCD中，BF是CD边上的高，点O是高BF上一点，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，⊙O经过B、C、D三点，高BF的延长线与⊙O交于点E，连接CE． （1）如图1，若AB＝BC． ①求证：直线AD是⊙O的切线； ②若AB＝3，求CE的长； （2）连接AE交边CD于点G，若，求tan∠BEC的值． 11．如图，，连AB，AD，DB，半径OB交AD，AC于E，F两点，延长DA至点G，使得∠ABG＝∠ADB． （1）求证：GB是⊙O的切线； （2）若，求的值； （3）连BD交AC于点H，若⊙O的半径为5，GE•AD＝88，求△GBD的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$