图形的折叠及相关计算-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．C【解析】过E作EM∥BC，交AD于N， ∵AC＝4，AE＝2， ∴EC＝2＝AE， ∴AM＝BM＝2， ∴AM＝AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC， ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM， ∵AM＝AE， ∴E和M关于AD对称， 连接CM交AD于F，连接EF， 则此时EF+CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∵AM＝BM， ∴∠ECF∠ACB＝30°， 故选：C． 2．A【解析】∵矩形ABCD，， ∴， 设DE＝a，FC＝x，则AD＝3a， ∵∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝BC＝3a，DE＝FE＝a， ∴∠AFB＝90°﹣∠CFE＝∠FEC， ∴△AFB∽△FEC， ∴， ∴AB＝3x， ∴BF＝BC﹣CF＝3a﹣x， ∵AB2+BF2＝AF2， （3x）2+（3a﹣x）2＝（3a）2， 解得， ∴，， ∴， 故选：A． 3．D【解析】矩形纸片ABCD，BC＝3，AB＝4， ∴∠B＝∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝3，AB＝DC＝4， 根据折叠可知：△DCP≌△DEP， ∴DC＝DE＝4，∠E＝∠C＝90°，CP＝EP， ∴∠E＝∠B＝90°， 在△OEF和△OBP中， ， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴EF＝BP，OE＝OB， ∴BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE， ∴BF＝EP＝CP， 设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF， ∴DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1， ∵∠A＝90°， ∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2， 即（4﹣x）2+32＝（1+x）2， 解得：， ∴， 故选：D． 4．C【解析】作点P关于CE的对称点P′，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，连接DG，DM，如图： 由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线， ∴点P′在CD上， ∵MN+NP＝MN+NP′≤MF， ∴MN+NP的最小值为MF的长， 由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线， ∵AD＝CD＝2，DE＝1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵MF⊥CD，∠EDC＝90°， ∴DE∥MF， ∴∠EDO＝∠GMO， ∵CE为线段DM的垂直平分线， ∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°， ∴△DOE≌△MOG， ∴DE＝GM， ∴四边形DEMG为平行四边形， ∵∠MOG＝90°， ∴四边形DEMG为菱形， ∴，GM＝DE＝1， ∴， ∵DE∥MF， 即DE∥GF， ∴△CFG∽△CDE， ∴， 即， ∴， ∴， ∴MN+NP的最小值为． 故选：C． 5．D【解析】如图，作点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点F，连接PF，交OA于D，OB于E．此时，△CDE的周长最小． 连接OP，OF，CD，EF． ∵点C与点P关于OA对称， ∴OA垂直平分PC， ∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP， 同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC． ∴∠POF＝2α． 又∵△CDE的周长＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝3， ∴OP＝OC＝OF＝3， ∴△POF是等边三角形， ∴2α＝60°， ∴α＝30°． 故选：D． 6．A【解析】作点P关于y轴的对称点P′，连接P′C，交y轴于点D′，连接PD′，如图所示： ∵P与P′关于y轴对称， ∴PD′＝P′D′， ∴CD′+PD′＝CD′+P′D′， ∵两点之间线段最短， ∴当点D在点D′时，PD+CD最小， ∵PC为定值， ∴此时△PCD的周长最小， ∵点P的坐标为（2，3）， ∴P′点的坐标为（﹣2，3）， ∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点， ∴C点坐标为（1，0）， 设P′C的关系式为y＝kx+b（k≠0），把P′（﹣2，3），C（1，0）代入得： ， 解得：， ∴直线P′C的关系式为y＝﹣x+1， 把x＝0代入y＝﹣x+1得：y＝1， ∴当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（0，1）． 故选：A． 7．A【解析】∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处， ∴NB＝NB'， ∴CN+NB'＝CN+NB＝BC， ∵△ABC是等边三角形，AB＝2， ∴BC＝2， ∴CN+NB'＝BC＝2，故①正确； ∵∠NB'C＝30°，∠B′CN＝90°， ∴∠B′NC＝60°， ∴∠BNB'＝120°， ∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处， ∴∠BNM＝∠MNB'＝60°，BM＝B'M，BN＝B'N， ∵∠B＝60°， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM＝BN， ∴B'M＝BM＝BN＝B'N， ∴四边形BMB′N为菱形；故②正确； 当点N与C重合时，如图： ∵∠ACB＝60°，∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝30°， ∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处， ∴AC＝BC＝B'C，∠MB'C＝∠B＝60°， ∴∠B'AC＝∠AB'C＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∴∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝75°﹣60°＝15°，故③错误； 当AB′最短时，∠AB'C＝90°，过M作KT⊥BC于T，交B'A延长线于K，如图： ∵∠ACB'＝∠BCB'﹣∠BCA＝30°， ∴AB'＝AC＝1，B'C＝AB'，∠B'AC＝60°， 设BN＝B'N＝x，则CN＝2﹣x， 在Rt△B'CN中，B'N2＝CN2+B'C2， ∴x2＝（2﹣x）2+（）2， 解得x， ∴BN， ∵∠AB'C＝90°＝∠BCB'， ∴AB'∥BC， ∴KT⊥AB'， ∴∠K＝90°， ∵∠KAM＝180°﹣∠BAC﹣∠B'AC＝60°， ∴∠KMA＝30°， ∴AKAM，KMAM， 设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'M，AK＝y，KMy， ∴B'K＝AB'+AK＝1y， 在Rt△B'KM中，B'K2+KM2＝B'M2， ∴（1y）2+（y）2＝（2﹣y）2， 解得y， ∴AM，BM， 在Rt△BMT中，∠B＝60°， ∴BTBM，MTBT， ∴NT＝BN﹣BT， 在Rt△MNT中， MN，故④正确， ∴正确的有①②④， 故选：A． 8．【解析】①∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°， 设CP＝x，则BP＝10﹣x， 在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝42+（10﹣x）2， 在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝42+x2， 由翻折的性质可知，∠APB＝∠APB′，∠DPC＝∠DPC′， ∴， 在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2， ∴102＝42+（10﹣x）2+42+x2， 解得：x＝2或x＝8， ∴CP的长为2或8， 当CP＝2时，； 当CP＝8时，； 综上可知，DP的长为或； 故答案为：或； ②∵四边形ABCD是矩形，AD＝4AB， ∴AB＝CD，BC＝AD＝4AB，∠B＝∠C＝90°， 设CP＝x，则BP＝4AB﹣x， 在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝AB2+（4AB﹣x）2， 在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝AB2+x2， 由①得：∠APD＝90°， 在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2， ∴（4AB）2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上可知，的值为． 9．2【解析】如图，设AD与EF的交点为G， ∵分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧交BC于点D， ∴AD为∠BAC的角平分线， ∴∠EAD＝30°， ∵折叠△ABC，使点A与点D重合， ∴AG＝DG，AG⊥EG， ∵， ∴， 在Rt△AEG中，． 10．【解析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°， ∴△AFM∽△ABC， ∴，即， 解得，FM， 由折叠的性质可知，FP＝FC＝1， ∴PM． 11．【解析】作DH⊥AC于点H，则∠DHF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 由翻折得AD＝BD＝DE，EC＝BC＝6，∠DEF＝∠A，∠DEC＝∠B， ∴DC＝AD＝BDAB，∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠A+∠B＝90°， ∴AH＝CH， ∴DHBC＝3， ∵DC＝5， ∴AB＝2DC＝10， ∴AC8， ∴AH＝CHAC＝4，EF＝AF＝8﹣CF， ∵EC2+EF2＝CF2， ∴62+（8﹣CF）2＝CF2， 解得CF， ∴FH＝CF﹣CH4， ∴DF． 12．或【解析】∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC， 可设BC＝a（a＞0），则AB＝2a， ∴， ∵将△ACD沿直线CD翻折，得到对应的△A′CD， ∴，AD＝A′D，∠DAC＝∠DA′C， ∵A′B是BC的“向阳线段”， ∴， 分两种情况讨论： ①如图，过点A′作A′G⊥CB，交CB延长线于点G， 设BG＝x，则CG＝CB+BG＝a+x， 在Rt△A′BG和Rt△A′CG中， 可有A′G2＝A′B2﹣BG2＝A′C2﹣CG2， 即，解得x＝a， ∴BG＝a， ∴，CG＝CB+BG＝2a， 在△ABC和△CGA′中， ， ∴△ABC≌△CGA′（SAS）， ∴∠BAC＝∠GCA′， ∵∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ACA′＝∠BCA+∠GCA′＝∠BCA+∠BAC＝90°， ∴， ∴； ②如图，过点A′作A′H⊥CB，交CB延长线于点H， 设BH＝y，则CH＝CB+BH＝a+y， 在Rt△A′BH和Rt△A′CH中， 可有A′H2＝A′B2﹣BH2＝A′C2﹣CH2， 即，解得y＝a， ∴BH＝a， ∴，CH＝CB+BH＝2a， 在△ABC和△CHA′中， ， ∴△ABC≌△CHA′（SAS）， ∴∠BAC＝∠HCA′， ∵∠DAC＝∠DA′C， ∴∠HCA′＝∠DA′C， ∴DA′∥CB， ∴∠A′DB＝∠ABC＝90°，即A′D⊥AB， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBH＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠DBH＝∠A′DB＝∠A′HB＝90°， ∴四边形A′DBH为矩形， ∴A′D＝BH＝a， ∴AD＝A′D＝a， ∴在Rt△ADA′中，， ∴． 综上所述，或． 13．【解析】过点B′作B′M⊥BC，垂足为M，连接BB′， 由折叠得，BC＝B′C，∠BCD＝∠B′CD，BB′⊥CD， ∵AB′∥BC， ∴∠ABC＝∠BAB′＝90°， ∴∠ABB′+∠B′BC＝90°＝∠B′BC+∠BCD， ∴∠BCD＝∠ABB′， ∴△BCD∽△ABB′， ∴， ∴， 设BD＝a，则BC＝B′C＝2a，MC＝2a﹣4， 在Rt△B′MC中，由勾股定理得，B'M2+MC2＝B'C2， ∴82+（2a﹣4）2＝（2a）2， 解得a＝5， ∴BC＝2a＝10， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， 设点B′到AC的距离为h，由△AB′C的面积得， ， 即， ∴． 14．【解析】在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，如图，过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H， ∴ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝10， CD＝CF＝10，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF， ∴NC＝MD＝16﹣10＝6， 在Rt△FNC中，由勾股定理得：FN8， ∴MF＝10﹣8＝2， 设EF＝x，则ME＝6﹣x， 在Rt△MEF中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2， 解得：x， ∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°， ∴∠CFN＝∠FPG， 又∵∠FGP＝∠CNF＝90° ∴△FNC∽△PGF， ∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5， 设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m， ∴GN＝PH＝BH＝8﹣3m，HN＝10﹣（8﹣3m）＝2+3m＝PG＝4m， 解得：m＝2， ∴PF＝5m＝10， ∴PE＝PF+FE＝10． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 2．如图，在矩形ABCD中，点E是DC边上一点，将△ADE延AE折叠，使点D的对应点F为恰好落到边BC上，若，则tan∠BAF＝（　　） A． B． C． D． 3．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则BF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．2.4 4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知∠AOB＝α，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若△CDE周长的最小值等于3，则α＝（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），PA⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点，D是OB上的一点，当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（　　） A．（0，1） B． C． D．（0，2） 7．如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠．使点B落在射线CD上的点B处，连接AB'．已知AB＝2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当∠NB'C＝30°时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时．∠AB'M＝18°；④当AB′最短时．．其中正确的结论是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 8．点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB′P、△DC′P．当P、B′、C′共线时，称点P为BC边上的“叠合点”． ①如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长为：　 　． ②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则　 　． 9．如图，△ABC中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧交BC于点D，折叠△ABC，使点A与点D重合，折痕交线段AB、AC于点E、F，若∠BAC＝60°，，则AE＝ 　 　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点F在边AC上，并且CF＝1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　 　． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则折痕DF为 　 　． 12．定义：如果一条线段的长度是另一条线段长度的倍，就称这条线段是另一条线段的“线段”，例如若，则就称MN是PQ的“线段”．已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°且AB＝2BC＝4，点D为边AB上的动点，连接CD，将△ACD沿直线CD翻折，得到对应的△A'CD，连接A′B，A′A，当A′B是BC的“线段”时，　 　． 13．如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，D为AB边上的一点，将△BCD沿CD翻折，得到△B′CD．连接AB′，AB′∥BC，若，则B′到AC边上的距离为 　 　． 14．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝16，AB＝10，则线段PE的长等于　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$