特殊四边形的性质与判定-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

一．选择题（共14小题） 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝12，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　　） A．4.8 B．5 C．9.6 D．10 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形 B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形 C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形 D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于点G，延长BG至点F，使得AG＝GF，连接CF，AF．若∠BAE＝α，则∠DCF一定等于（　　） A．2α B．60°﹣2α C．α D．45°﹣α 5．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠DAE的度数是（　　） A．30° B．20° C．22.5° D．15° 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，BC＝2，则AO的长是（　　） A．4 B．2 C． D． 7．如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F为正方形内部一点，连接DE、DF，若DE平分∠ADF且DA＝DF，则BF的长为（　　） A． B．2 C． D． 8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 9．▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（　　） A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm 11．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠ACB＝40°．则∠E的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 12．如图，某校准备在一个矩形场地ABCD中修建两条甬道，一条是矩形甬道EFGH，一条是平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若AB＝a，BC＝b，MN＝2EF＝2c，则草坪面积是（　　） A．ab﹣bc﹣2ac+2c2 B．ab﹣ac﹣2bc+2c2 C．ab﹣ac﹣2bc+c2 D．ab﹣bc﹣2ac+c2 13．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AMMF，④ME+MFMB．其中正确结论的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．解答题（共3小题） 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BF平分∠ABC交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PC交于点Q． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，BC＝7，∠ABC＝60°，求线段PQ的长． 17．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．C【解析】∵四边形ABCD为菱形，AB＝10，BD＝12， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝6，OA＝OC， ∵AB2＝OA2+OB2， ∴， ∴AC＝2OA＝16， ∴， ∴AB•DE＝96， ∴10DE＝96， ∴DE＝9.6， 故选：C． 2．D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．C【解析】∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵∠ABD＝60°， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴OC＝OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝4， 故选：C． 4．D【解析】如图，过点C作CH⊥BF于点H， ∴∠BHC＝∠CHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC， ∴∠ABG+∠HBC＝90°， ∵BG⊥AE， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°，∠AGB＝∠BHC＝90°， ∴∠BAG＝∠HBC， 在△AGB和△BHC中， ， ∴△AGB≌△BHC（AAS）， ∴BG＝CH，AG＝BH， ∵AG＝GF， ∴BH＝GF， 即BG+GH＝GH+HF， ∴BG＝HF， ∴CH＝HF， ∴△CHF是等腰直角三角形， ∴∠HCF＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH+∠BCH＝90°， ∵∠HBC+∠BCH＝90°， ∴∠HBC＝∠DCH， ∴∠DCH＝∠BAE＝α， ∴∠DCF＝∠HCF﹣∠DCH＝45°﹣α， 故选：D． 5．C【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴，AD∥BC， ∵AC＝EC， ∴∠CAE＝∠AEC， ∵∠ACB＝∠AEC+∠CAE＝45°， ∴∠AEC＝∠CAE＝22.5°， 又∵AD∥BC， ∴∠AEC＝∠DAE＝22.5°， 故选：C． 6．B【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝BO， 又∵∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴tan∠BAC， ∴AB， ∴AO＝AB＝2， 故选：B． 7．D【解析】过点E作EH⊥BF，如图： ∵DE平分∠ADF， ∴∠ADE＝∠FDE， 在△ADE和△FDE中， ， ∴△ADE≌△FDE（SAS）， ∴AE＝EF，∠AED＝∠FED， ∵EH⊥BF， ∴∠BEH＝∠FEH， ∴∠DEF+∠FEH＝90°， ∵∠DEF+FDE＝90°， ∴∠HEF＝∠FDE， ∵E为AB中点，AD＝4， ∴EF＝2，DE＝2， ∴tan∠HEF＝tan∠FDE，即， ∴，解得HF， ∴BF＝2HF． 故选：D． 8．D【解析】设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 9．C【解析】连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可； A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意； B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意； C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意； D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意； 故选：C． 10．B【解析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O． 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵OAAC＝6cm，OBBD＝8cm， ∴AB ＝10（cm）， 故选：B． 11．D【解析】连接BD交AC于点F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC， ∵BE＝AC， ∴BD＝BE， ∴∠E＝∠BDE， ∵BF＝DFBD，CF＝AFAC， ∴BF＝CF， ∴∠DBE＝∠ACB＝40°， ∵∠BDE+∠E＝2∠E＝180°﹣∠DBE＝140°， ∴∠E＝70°， 故选：D． 12．A【解析】如图：∵MN＝2EF＝2c， ∴EF＝c， ∴S草坪＝SABCD﹣S矩形EFGH﹣（S▱MNLI+S▱JPQK） ＝AB•BC﹣FG•EF﹣MN（AB﹣EF） ＝ab﹣bc﹣2c•（a﹣c） ＝ab﹣bc﹣2ac+2c2． 故选：A． 13．B【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵E、F分别为边AB，BC的中点， ∴AE＝BFBC， 在△ABF和△DAE中，， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠BAF＝∠ADE， ∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°， 故①正确； ∵DE是△ABD的中线， ∴∠ADE≠∠EDB， ∴∠BAF≠∠EDB， 故②错误； 设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a， 在Rt△ABF中，AFa， ∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°， ∴△AME∽△ABF， ∴，即， 解得：AMa， ∴MF＝AF﹣AMaaa， ∴AMMF， 故③正确； 如图，过点M作MN⊥AB于N， 则， 即， 解得MNa，ANa， ∴NB＝AB﹣AN＝2aaa， 根据勾股定理，BMa， ∵ME+MFaaa，MBaa， ∴ME+MFMB． 综上所述，正确的结论有①③④共3个． 故选：B． 14．D【解析】在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OBOA，故②正确； ∵PM⊥AB，PN⊥AD， ∴∠AMP＝∠ANP＝90°， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠MPN＝60°，故③正确； 如图，延长NP交BC于点G， ∵AD∥BC，PN⊥AD， ∴PG⊥BC， ∵PM⊥AB，BP平分∠ABC， ∴PM＝PG， ∴PM+PN＝PG+PN＝NG， ∵∠PBG＝∠PDN＝30°， ∴PB＝2PG，PD＝2PN， ∴PM+PN＝PG+PNPBPD（PB+PD）BD， ∴PM+PNBD，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：D． 15．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： ∴， ∴BD＝2BO＝24， ∵S四边形ABCDAC•BD＝BC•AE， ∴， ∴． 16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． 由角平分线可知∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴∠ABF＝30°， ∴∠BAP＝∠FAP＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝4，∠AEB＝60°， ∴AP＝PE＝2， 过点P作PM⊥BC于M， 如图所示： ∴， ∴由勾股定理得：ME＝1， ∴BM＝3， ∵BC＝7， ∴MC＝BC﹣BM＝4， ∴PC， 再过P点作AB平行线PN， ∴AB∥EF， ∴PN∥QE， ∴∠PNE＝∠ABC＝60°，∠NPE＝∠BAE＝60°， ∴△PNE为等边三角形， ∴NE＝PE＝2， ∴BN＝2， ∴NC＝BC﹣BN＝5， ∵PN∥QE， ∴PQ：PC＝NE：NC＝2：5， ∴． 17．（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$