锐角三角函数的实际应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M， 由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+18＝78（cm）， ∴EM＝EC•sin∠BCM＝78×sin64°≈70.2（cm）， ∵车轮半径为32cm， ∴坐垫E到地面的距离是70.2+32＝102.2（cm）； （2）如图2所示，过点E′作E'H⊥CD于点H， 由题意知：E'H＝80×0.8＝64（cm）， 则EE'71.1（cm）， ∴EE'＝CE﹣CE'＝78﹣71.1＝6.9（cm）． 2．解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ∴， 设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k， ∴13k＝13， 解得k＝1， ∴AH＝5米， 答：坡顶A到地面PO的距离为5米； （2）延长BC交PO于点D， ∵BC⊥AC，AC∥PO， ∴BD⊥PO， ∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝5米，AC＝DH， ∵∠BPD＝45°， ∴PD＝BD， 设BC＝x，则x+5＝12+DH， ∴AC＝DH＝x﹣7， 在Rt△ABC中，tan76°，即tan52°≈1.28． 解得x＝32， 经检验x＝32是原方程的解， ∴BC＝32米． 3．解：（1）如图1，过C作CE⊥AB于点E， 由题意得：BC＝20海里，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∠CAE＝90°﹣45°＝45°， ∴CEBC2010（海里），△AEC是等腰直角三角形， ∴ACCE1020（海里）， 答：A、C两处的距离为20海里； （2）如图2，过点D作DF⊥AC于点F， 在Rt△ADF中，AD＝30海里，∠DAF＝45°+15°＝60°， ∴AF＝AD•cos∠DAF＝3015（海里）， DF＝AD•sin∠DAF＝3015（海里）， ∴CF＝AC﹣AF＝20﹣15＝5（海里）， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD10（海里）， ∴1040（小时）， 答：救援船到达C处所用的时间为小时． 4．解：（1）延长AC与BE相交于点H，过点D作DM垂直AH，垂足于点M． ∵CD的坡比为1：2， ∴tan∠DCM， 设DM为x米，则CM＝2x米， ∴x2+（2x）2＝（， 解得x＝6（﹣6舍去） 所以CD的垂直高度DM为6米； （2）设BE为y米，在Rt△BED中∠BDE＝60°， ∴tan60°， ∴DEy， 又∵CM＝2DM＝12，∠A＝45°， ∴BH＝AH， y+6y+12+26， 解得y＝48+16， ∴瓶盖高度为（48+16）米． 5．解：延长CD交AB于点H， 由题意得，四边形CMBH为矩形， ∴CM＝HB＝20， 在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°， ∴， ∴， 在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°， ∴， ∴， 设AH＝x米． ∵AE＝9， ∴EH＝x+9， ∴， 解得x≈7.1， ∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米） 答：点A到地面的距离AB的长约为27米． 6．解：（1）∵∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴AB＝AC， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC＝2m，BC与AN交于点O， ∴， ∴AO＝OBtan30°， ∴， ∵撑杆AN＝2.2m． ∴ON＝AN﹣AO＝2.2﹣0.6＝1.6（m）， 故点B到地面的距离为1.6m． （2）根据题意，得∠AOH＝30°，∠BCD＝90°，∠ABC＝∠ACB＝30°，BC＝2m，∠OAC＝60°， ∴∠AHO＝90°， ∴AC⊥HN， ∵BD⊥HN， ∴AC∥BD， ∴∠CBD＝∠ACB＝30°， ∴， 答：BC在水平地面上投影的长度约是2.3m． 7．解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°， ∵∠PQB＝90°， ∴∠BPQ＝30°， ∴BQ＝PQ•tan30°＝93（米）． （2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H． 由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°， 设AM＝a米，则BM＝2a米， ∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°， ∴四边形AHQM是矩形， ∴AH＝QM＝（32a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米， 在Rt△APH中，tan∠PAH， ∴， 解得a＝2， ∴AM＝2（米），BM＝4（米）， ∴AB2（米）． 答：电子眼区间测速路段AB的长2米． 8．解：（1）∵EF∥CB， ∴∠C＝∠AEG＝35°， ∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ∴，AB⊥EF， ∴AG＝EG•tan∠AEG＝6×tan35°≈4.2（m）， 答：屋顶到横梁的距离为4.2m． （2）过点E作EH⊥BC于点H， 设EH＝BG＝x m， ∵∠C＝35°， 在Rt△CEH中，， ∵∠EDH＝55°， 在Rt△DEH中，， ∵CH﹣DH＝CD， ∴， ∵tan35°≈0.7，tan55°≈1.4， ∴解得：x≈11.2， ∴AB＝AG+BG＝11.2+4.2＝15.4（m）， 答：房屋的高为15.4m． 9．解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵BC＝30cm，CD＝40cm， ∴BD＝BC+CD＝70（cm）， 在Rt△DBE中，∠ABC＝53°， ∴BE＝BD•cos53°≈70×0.6＝42（cm）， ∵AB＝115cm， ∴AE＝AB﹣BE＝115﹣42＝73（cm）， ∴端点D距离地面的高度约为73cm； （2）过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥DF，垂足为G，延长GC交AB于点H， 由题意得：GH⊥AB，AH＝FG，DF＝140cm， ∴∠BHG＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCH＝90°﹣∠ABC＝30°， ∵BC＝30cm， ∴BHBC＝15（cm）， ∵AB＝115cm， ∴FG＝AH＝AB﹣BH＝115﹣15＝100（cm）， ∴DG＝DF﹣FG＝140﹣100＝40（cm）， ∵∠BCD＝97°， ∴∠DCG＝180°﹣∠BCH﹣∠BCD＝53°， 在Rt△DCG中，CD50（cm）， ∴CD的长约为50cm． 10．解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G， 由题意得：EF＝CG， 在Rt△ABE中，AB＝24cm，∠BAD＝60°， ∴BE＝AB•sin60°＝2412（cm）， ∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°， 在Rt△BCF中，BC＝10cm， ∴BF＝BC•cos20°≈10×0.940＝9.4（cm）， ∴EF＝BE﹣BF＝129.4≈11.4（cm）， ∴CG＝EF＝11.4cm， ∴点C到AD的距离约为11.4cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为18cm． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，请直接写出EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 2．图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底P处测得该亭的亭顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP走行了13米，在坡顶A处又测得该亭的亭顶B的仰角为52°，求： （1）坡顶A到地面PO的距离； （2）回风亭BC的高度．（参考数据：sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28） 3．如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西60°的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿DC方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西15°方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 4．宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被大世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”．小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度．在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯CD前26米A处（AC＝26米）测得瓶楼顶B的仰角为45°，走上阶梯CD，在D处测得瓶楼顶B的仰角为60°，又知道阶梯CD的坡度i＝1：2，阶梯CD的坡面长度为米，请你帮小张算算． （1）求阶梯CD的垂直高度； （2）求瓶楼高度． 5．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；… 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）． 6．随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨AB，AC与水平方向的夹角∠ABC＝∠ACB＝30°，伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC＝2m，BC与AN交于点O，撑杆AN＝2.2m． （1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点B到地面的距离． （2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜AO与铅垂线HN成30°夹角，如图③，若斜射阳光与BC所在直线垂直时，求BC在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到0.1m） 7．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）． （1）求路段BQ的长（结果保留根号）； （2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）． 8．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB． 9．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） （1）如图2，当B、C、D三点共线，CD＝40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度； （2）调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如图3所示，且点D到地面的距离为140cm，求CD的长．（结果精确到1cm） 10．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°，求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364） 学科网（北京）股份有限公司 $$