二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 2．某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润y（万元）与成本x（万元）满足，乙每月的利润y（万元）与成本x（万元）满足． （1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本a（a＞0）万元，一个月后两商品的利润相等，求a的值； （2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加25%后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 3．为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地ABCD一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的矩形．已知栅栏的总长度为27m． （1）若矩形地ABCD的面积为42m2，求AB的长； （2）当AB边为多少时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 4．春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系． （1）写出y与x的函数关系式． （2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？ 5．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． （1）写出每天销售量y与x之间的函数关系式． （2）若这款洗手液的日销售利润w达到300元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利为多少元？ 6．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近2000年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年10月底至第二年4月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为20元/千克的某品牌柑橘降价销售7天后，第二次降价到16.2元/千克又销售了7天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为x（天）（x为正整数），日销量为y（kg），日储存及损耗费为z（元），y与x满足函数关系y；z与x满足函数关系z．（注：利润＝销售毛利润﹣储存及损耗费）（1）求此品牌柑橘每次降价的百分率； （2）已知此品牌柑橘进价为8.2元/kg，设销售该柑橘的日利润为w（元），求w与x（1≤x≤14）之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，求这14天中有多少天的利润不低于948元？ 7．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用2600元购进甲灯笼与用3500元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．经市场调查发现，甲灯笼每天的销量y1（单位：对）与销售单价z（单位：元/对）的函数关系为y1＝﹣3z+202，乙灯笼每天的销量y2（单位：对）与销售单价x（单位：元/对）的函数关系y2＝﹣2x+196，其中x，z均为整数．商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价，销售单价均高于进价． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙灯笼的销售单价为多少元/对时，这两种灯笼每天销售的总利润的和最大？最大利润是多少元？ 8．如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m，在高度为10m的两支柱AC和BD之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱EF的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 9．如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的某个瞬间，羽毛球飞行的路线可看作抛物线的一部分，其竖直高度为y（m），距发出点的水平距离为x（m）．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球运动到距发出点P的水平距离为4m处时，达到最大高度2m． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）该羽毛球能过球网吗？请说明理由． 10．、某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE＝MN．准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△EMH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表： 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格（元/米2） 60 80 120 设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题： （1）S与x之间的函数关系式为S＝； （2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元； （3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元； （2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意， 得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m） ＝﹣5m2+50m+280 ＝﹣5（m﹣5）2+405， ∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元， 答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． 2．解：（1）由题意，得， 整理得a2﹣18a＝0， 解得a1＝18，a2＝0 （舍去）， ∴a＝18； （2）由（1）可得一月份的利润为（万元）， ∴（万元）， 设投入乙商品的成本x万元，则投入甲商品的成本（18﹣x）万元，二月份获利W万元， 由题意得， ∴当x＝9时，W取得最大值，18﹣9＝9（万元）， ∴当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元． 3．解：设AB的长为x m，则BC的长为（27﹣3x）m， 根据题意得：（27﹣3x）x＝42， 解得x＝2或x＝7， 当x＝2时，27﹣3x＝21＞12，不合题意，舍去， 当x＝7时，27﹣3x＝6＜12，符合题意， ∴x＝7， 答：AB的长为7m； （2）设矩形的面积为S m2， 则S＝（27﹣3x）x＝﹣3x2+27x＝﹣3（x﹣9x）＝﹣3（x）2， ∵BC＝27﹣3x≤12， ∴x≥5， ∵﹣3＜0， ∴当x＝5时，S有最大值，最大值为60， ∴当AB边为5时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是60m2． 4．解：（1）设函数解析式为：y＝kx+b， 代入（100，200），（120，160）， 得：， 解得：， ∴函数解析式为y＝﹣2x+400； （2）设销售利润为w元： w＝（x﹣60）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣130）2+9800， 根据图意：﹣2x+400≥150， 解得：x≤125， ∵a＝﹣2， ∴抛物线开口向下， ∵130＞125， ∴当x＝125时，利润最大，最大利润为9750元． 5．解：（1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据题意得： y＝﹣5x+60； （2）这款洗手液的日销售利润w达到300元时，依题意得： （20+x﹣16）（60﹣5x）＝300， 整理得：x2﹣8x+12＝0， 解得：x1＝2，x2＝6． 答：销售单价应上涨2元或6元； （3）由题意得：w＝（20+x﹣16）（60﹣5x）＝﹣5x2+40x+240＝﹣5（x﹣4）2+320， ∵﹣5＜0， ∴当x＝4时，y最大，最大值为320． 答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元． 6．解：（1）设由题意，设每次降价的百分率为a，据题意可得 20（1﹣a）2＝16.2． ∴a1＝0.1＝10%，a2＝1.9＝190%（不符合题意，舍去）． 答：此品牌柑橘每次降价的百分率为10%． （2）由题意，第一次降价后的价格为20×（1﹣10% ）＝18 元． 当1≤x≤7时，w＝（18﹣8.2）（105﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣32.4x+989． 当8≤x≤14时，w＝（16.2﹣8.2）（120﹣x）﹣（3x2﹣68x+300） ＝﹣3x2+60x+660＝﹣3（x﹣10）2+960． ①当1≤x≤7时，w＝﹣32.4x+989． ∵k＝﹣32.4＜0，w随x的增大而减小， ∴当x＝1时，W最大＝﹣32.4×1+989＝956.6（元）． ②当8≤x≤14时，w＝﹣3（x﹣10）2+960． ∵a＝﹣3＜0， ∴当x＝10时，W最大值为960（元） 综上可知：956.6＜960， ∴当x＝10时，即第10天利润最大，最大利润为960元． （3）由题意，①当1≤x≤7时，y＝﹣32.4x+989≥948， ∴解得：． ∴． 又x为正整数， ∴x＝1，故此时为1天利润不低于948元． ②当8≤x≤14时，w＝﹣3（x﹣10）2+960＝948， ∴解得：x1＝8，x2＝12． ∴当8≤x≤12时，有w≥948，此时x＝8，9，10，11，12． 故此时有5天利润不低于948元． 又1+5＝6（天）， 综上可知，共有6天利润不低于948元． 7．解：（1）由题意，设甲种灯笼每对的进价为a元，则乙种灯笼每对的进价为（a+9）元， ∴． ∴a＝26． ∴经检验 a＝26 是原方程的根． ∴a+9＝26+9＝35． 答：甲种灯笼每对的单价为26元，乙种灯笼每对的单价为35元． （2）由题意，设两种灯笼每天的销售的总利润的和为w元，乙灯笼的销售单价为x元/对， ∴w＝（z﹣26）（﹣3z+202）+（x﹣35）（﹣2x+196）． ∵商场按照每对甲灯笼和每对乙灯笼的利润相同的标准确定销售单价， ∴z﹣26＝x﹣35． ∴z＝x﹣9． ∴w＝（x﹣35）（﹣3x+27+202）+（x﹣35）（﹣2x+196） ＝﹣5（x﹣35）（x﹣85）． ∵﹣5＜0， ∴当 时，w最大，最大为﹣5（60﹣35）（60﹣85）＝3125． 答：当乙灯笼的销售单价为60元/对时，这两种灯笼每天销售的总利润的和最大，最大利润是3125元． 8．解：（1）根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx， ∵相邻两支柱间的距离均为5m， ∴OA＝4×5＝20（m）， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上， ∴， ∴， ∴． （2）当x＝15时，， ∴． ∴EF5.5（m）． （3）由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到A或B的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当x＝3时，y的值与3的大小即可判定， 当x＝3时，， ∴能并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车． 9．解：（1）由题意可知抛物线的顶点为（4，2），与y轴的交点为（0，1）． 设该抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣4）2+2． 把（0，1）代入，得1＝16a+2， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为． （2）该羽毛球能过球网． 理由：在中，令x＝5，得． ∵1.9375＞1.55， ∴该羽毛球能过球网． 10．解：（1）S＝x2+（4﹣x）2 ＝2x2﹣8x+16； （2）W＝60×4S△AEH+80（S正方形EFGH﹣S正方形MNPQ）+120S正方形MNPQ ＝60×4x（4﹣x）+80[x2+（4﹣x）2﹣x2]+120x2 ＝80x2﹣160x+1280 ＝80（x2﹣2x+1）+1200 ＝80（x﹣1）2+1200． ∴当x＝1时，W取小值＝1200元． （3）设EM＝a米，则MH＝（a+1）米． 在Rt△EMH中，EH2＝a2+（a+1）2， 在Rt△AEH中，EH2＝12+32． 整理得：2a2+2a﹣9＝0． 解得：a ． ∴a＞0． ∴EM的长为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$