不含切线的相关证明与计算-【一战成名新中考】2025四川中考数学中考必考知识点专题特训

1．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）试说明：∠BCO＝∠ACD； （2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长． 2．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：BD＝ED； （2）若AB＝10，，求BC的长． 3．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径． 4．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若BE＝4，AC＝6，求DE． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B，C为⊙O上的点，⊙O与AB，AC分别交于点D，E，∠BDC＝45°，作CF⊥AB，垂足为G，交⊙O于点F． （1）求证：BC＝EC； （2）若⊙O的半径，tanA，求CF的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若CD，AE＝2，求⊙O的半径． 7．如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，垂足为E，点F在⊙O上，DB平分∠CDF，连接AF，分别交BD于G，CD于H． （1）求证：DF＝DH； （2）求证：E是CH的中点； （3）连接EG，若∠CDF＝45°，⊙O的半径为2，求EG的长． 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，． （1）证明：四边形ADGF为平行四边形； （2）求的值； （3）求sin∠CAD的值． 9．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，过AC的中点E作EF⊥AB于点H，交⊙O于点F，连接CF与AB相交于点D． （1）如图1，若FC也是⊙O的直径，已知AB＝6，求AC的长． （2）如图2． ①求证：； ②若AH：HD＝7：5，求tan∠EFC的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．解：（1）∵AB⊥CD， ∴， ∴∠ACD＝∠B， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∴∠BCO＝∠ACD； （2）∵AE＝4，BE＝16， ∴OA＝10，OE＝6， 在Rt△OCE中，CE8， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∴CD＝2CE＝16， 答：弦CD的长为16cm． 2．（1）证明：由圆周角定理可得：∠CAD＝∠CBD， ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC． ∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE． ∴BD＝ED． （2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F， 由圆周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， ∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD． ∴BD＝DC． ∵OB＝OC． ∴OD垂直平分BC． ∵AB为直径，BD＝ED， ∴∠ADB＝90°，则△BDE是等腰直角三角形． ∵，BE2＝BD2+ED2＝2BD2， ∴． ∵AB＝10，AB2＝BD2+AD2， ∴OB＝OD＝5． 设OF＝t，则DF＝5﹣t， 在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2﹣OF2＝BD2﹣DF2＝BF2， 即：， 解得t＝3，即OF＝3， ∴， ∴BC＝8． 3．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴， ∴∠BCD＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）解：设⊙O的半径为rcm， ∵EB＝2cm， ∴OE＝OB﹣EB＝（r﹣2）cm， ∵OB⊥CD， ∴CECD8＝4（cm）， 在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴OB＝5cm， ∴圆O的直径为10cm． 4．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC， ∴BE＝EC＝4， ∴BC＝8， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝6， ∴， ∴OD＝OB＝5， ∴， ∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2． 5．（1）证明：连接BE， ∵∠BEC＝∠BDC＝45°，∠ACB＝90°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BC＝EC； （2）∵⊙O的半径， ∴BE＝2， ∵△BCE是等腰直角三角形， ∴BCBE＝2， ∵CF⊥AB， ∴∠BCG+∠CBG＝∠A+∠CBG＝90°， ∴∠BCG＝∠A， ∴tan∠BCG＝tanA， ∴， 令BG＝x，CG＝2x， ∴BC2， ∴x， ∴BG，CG， ∵∠BDC＝45°，∠CGD＝90°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴DG＝CG， ∴BD＝BG+BDG， ∵△GDC是等腰直角三角形， ∴∠DCG＝∠CDG， ∴， ∴， ∴CF＝BD． 6．（1）证明：如图． ∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B． ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E， ∴CECD42， 在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2， 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2， ∴r2＝（2）2+（r﹣2）2， 解得：r＝3， ∴⊙O的半径为3． 7．（1）证明：∵AB⊥CD， ∴∠AED＝90°， ∵DB平分∠CDF， ∴∠BDF＝∠BDE， 又∵∠BDF＝∠BAG， ∴∠BDE＝∠BAG， 又∵∠AHE＝∠DHG， ∴∠BAG+∠AHE＝∠BDE+∠DHG， ∴∠DGH＝∠AED＝90°， ∴∠B+∠BDE＝90°＝∠BDE+∠DHG， ∴∠DHG＝∠B， ∵， ∴∠B＝∠DFA， ∴∠DHG＝∠DFA， ∴DF＝DH； （2）证明：连接AC， ∵∠DHG＝∠AHC，∠ACD＝∠AFD＝∠DHG， ∴∠AHC＝∠ACH， ∴AC＝AH， 又∵AB⊥CD， ∴E为CH的中点． （3）解：连接OC，OF，CF， 由（1）知DF＝DH，∠DGH＝90°， ∴G为FH的中点， 由（2）得E为CH的中点， ∴EG是△CHF的中位线， ∴， ∵∠CDF＝45°，∠COF＝2∠CDF， ∴∠COF＝90°， ∴△OCF是等腰直角三角形， ∴， ∵OC＝2， ∴， ∴． 8．（1）证明：∵BF是⊙O的直径， ∴∠BAF＝90°， ∴AF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴CD∥AF， ∴DG∥AF， ∴∠AFB＝∠BGD， ∵， ∴∠ADC＝∠ABC， ∵， ∴∠ACB＝∠AFB， ∴∠ADC＝∠BGD， ∴AD∥GF， ∴四边形ADGF为平行四边形； （2）解：设BE＝x， ∵AB＝AC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x， ∵AB⊥CD， ∴∠BEC＝∠AEC＝90°， ∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2， ∵BC＝2， ∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2， 解得x＝2， ∴BE＝2，AE＝3， ∴， 由（1）知，∠ADC＝∠BGD， ∵∠AED＝∠BEG， ∴△ADE∽△BGE， ∴， ∴； （3）解：过点D作DH⊥AC于H， 在Rt△BCE中，CE4， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵∠AED＝∠CEB， ∴△AED∽△CEB， ∴， ∴， ∴AD，DE， ∴CD＝CE+DE＝4， ∵S△ACDAC•DH， ∴3＝5DH， ∴DH， 在Rt△ADH中，sin， ∴sin∠CAD． 9．解：（1）如图1：连接OE， ∵AE＝CE，OF＝OC＝3， ∴OE是△CAF的中位线， ∴AF＝2OE，OE∥AF， ∵OE∥AF， ∴△OHE∽△AHF， ∴， ∵， ∴OH＝1，AH＝2． ∵OC＝OA，AE＝EC， ∴OE⊥AC， ∵FE⊥OA， ∴∠AHE＝∠AEO＝90°， ∵∠EAH＝∠EAO， ∴△AOE∽△AEH， ∴，即AE2＝AH•AO＝2×3＝6， ∴（负值舍去）， ∴． （2）①如图：连接OF，则OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∴∠AOF＝180°﹣∠OAF﹣∠OFA＝180°﹣2∠OAF， ∴， ∵EF⊥AB， ∴∠AFH＝90°﹣∠OAF， ∴∠AFE＝∠ACF． ∵∠CAF＝∠EAF， ∴△EAF∽△FAC， ∴， ∴AF2＝AE•AC，即AC2＝2AF2， ∴． ②如图2：过点C作CG⊥AB于点G， 设AH＝7t，HD＝5t，HE＝m， ∵EF∥CG， ∴△AEH∽△ACG， ∴，即AG＝2AH＝14t，CG＝2HE＝2m， ∴HG＝AG﹣AH＝14t﹣7t＝7t， ∴DG＝HG﹣HD＝7t﹣5t＝2t， ∵EF∥CG， ∴△HDF∽△CDG， ∴， ∴， ∴HF＝5m， 由①， ∴．即AF2＝2AE2． ∴2[（7t）2+m2]＝（7t）2+（5m）2， 解得． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$