2025届山东省泰安市高三三模数学试题

2025年高三（下）三模考试（泰安） 数学试卷 2025.5 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂，黑。如需改动， 用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非进择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求。 回已知集合A={xlx-2<2},则An2= A.{2,3} B.{1,2,3} C.{1,2} D.g ②在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了G名同学第一个解答题的得分情况如下：7,9,5,8， 4,1,则这组数据的平均数和极差分别为 A号，8 B.9,8 c号7 D9,7 同已知2tan0-1=0,则cos0_3sing sin0+2cos0 A号 B.-是 c是 D.-号 ④正方形ABCD中，A正=2PD,C=2Q正，设AD=d,A正=6，则P= A-}à+6 B.a-6 C-骨a+6 D.d-号6 回(2x-子”的展亦式中x项的系数为 A.-55 B.-64 C.-80 D.-124 回对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测 值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份x与该月的对应销量（单位：万件）整理 成如下表格： 月份x 1 2 3 5 销量y 0.5 5 1.4 建立y与x的线性回归方程为立=0.21x+0.37,则第2个月和第4个月的残差和为 A.-0.910 B.-0.1 c.0.1 D.0.019 ⑦已知正三棱柱的表面积为G3,则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为 A.3 B.2③ 3 C.43 3 D 司设双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为B,B,P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到 F,距离之和的比值 A恒为定值② 4 B,恒为定值2 2 C,不为定值但有最小值 4 D.不为定值但有最大值号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 已知公比为q(g>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a+a=3,a-a=-1,则 A.a1=√2 B.q=√2 C.a=2v/2 D.Sjo<78 10定义复数运算：名日2=十，已知x=1+2i,若复数w满足z日w=10,则 A.w可以是3+i B.ld的最小值为√5 C.ω在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D.w的实部是5 D已知定义域为R的函数f(x)满足①ff(x+)=f(x)+f(),②f(x)的图象过点(1,1)，则 A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.fa)的图象关于点（分，号）中心对称 D.f(2025)=2026 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 回已知△ABC中，AB=3,LB=若，BC=4,则AC= 回数列e}的通项公式为6=2am(学入则艺。= I4若函数f(x)满足：存在整数a,实数bE(0,1),使得f(a)=fa+b),则称f(x)是“滞后的.已知函数. g(z)=x一sinwx(w>0)不是“滞后的”，则w的取值范围是_一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 四(13分)已知函数fz)=sin(ox+p)o>0,lpl≤受)，圆C:(e-之+r=号 (1)若f(x)两条相邻的对称轴与C相切，求w,p: (2)若9=艺，x(=1,2,)是f(c)的极值点，且点(，0)=1,2，…)有且仅有两个在C的内部，求u 的取值范围. 16(15分)已知函数f(x)=(x2-a)nx+(a-1)x,a>0. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)探究x=a是否为f(x)的极大值点. ☑(15分)乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜。在某校组织的兵.乓球比赛 中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为子，且对以后的每一球，若乙 同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为号，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得 分概率为号。 ()求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率： (2)求乙同学最终获胜的概率. U8(满分17分)己知F为抛物线E:2=2pz(p>0)的焦点，点C(4,0)满足1CF1=31OF,其中O为 坐标原点，过F的直线交E于A,B两点，点A在第一象限，过A作直线AB的垂线，交x轴正半轴于 点M,直线BC交直线AM于点N,记△ACF,△BCF,△CMMN的面积分别为S,S2,S: (1)求E的准线方程： ②)证明：A+B动=1： 1 (3)求(S1-S2)S,的最小值及此时点A的坐标. I9(17分)如图，四棱锥P-ABCD的各个顶点均在球O的表面上，且AB=AD=4,BC⊥CD,PB⊥ 平面PAD. (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD: (2)求四棱锥P一ABCD体积的最大值： (3)当5IPA卜1PB1=24√2时，求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的最小值. 高三三模数学试题 (高中全部) 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Y.空间想象能力V,数据处理能力 川.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⊙数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ① ② ③① ⑥ 档次系数 1 选择题 5 集合的交集运算 易 0.95 样本数据的平均数和 2 选择题 ® 0.92 极差的计算 3 选择题 三角恒等变换 易0.87 4 选择题 平面向量线性运算 √ 易0.80 5 选择题 5 二项式定理的应用 易 0.75 6 选择题 5 回归方醒与残差 √ 中 0.65 7 选择题 5 立体几何与导数结合 方 0.55 选择题 5 双曲线综合 难 0.35 9 选择题 6 数列综和 √ ® 0.85 10 选择题 6 复数综合 √ 中 0.55 11 选择题 6 抽象函数性质综合 √ 难0.25 12 填空题 5 余弦定理 J 易 0.70 13 填空题 数列周期性求和 中 0.65 14 填空题 5 函数与方程综合 难0.35 15 解答题 13 三角函数与圆结合 的 0.65 16 解答题 15 函数导数综合 √ 中0.55 17 解答题 15 概率综合 √ √ % 0.45 18 解答题 17 抛物线综合 √ 难 0.15 19 解答题 17 立体几何综合 0.25 。1 参考答案及解析 ·数学· 参考答亲及解析 一、选择题 F,F:距离之和的比值为 1.B【解析】因为A={x||x-21<2}=(x|0<x< Ix 4},故A∩Z={1,2,3}.故选B √(x-√2)+y+√(x+√2)2+y2 2.A【解析】由题意可得这组数据的平均数云 1+4+5+7+8+9=号.极差为9-1=8，故选A Ix|(x-2)+y-(x+2)+y2 3 (x-√2)2+y-(x+2)-y 6 3.D【解析】由题意可得tan0-子故g一号 |xx-2)+-x+2)+ sin 0+2cos 0 42x =-号放选D |-2)+-√x+2+,由于P为双曲 4w② 4.C【解析】易得P-Pi+A+成，其中AP=号a 线C上一点，放√x2)+y-√x+V2)+y等 B破=号BC,在正方形ABCD中，B心=Ai,所以 价于点P到F,与F:的距离之差的绝对值，由双曲 Pi+AB+脑=-号a+b+子a=一子a+6故 线定义知跳等于2故第式等价于后一导·为定航。 选C. 故选A. 5.C【解析】(2x-）广'展开式的通项为T+ 二、选择题 9.BCD 【解析】联立方程，解得a1=1,a=2,故A错 G2-(-）广=(-1y·2-CN. 误：矿==2，解得g=2(负值已☆)，故B正确： a r≤5，令5-2r=3,得r=1,因此展开式中x项的系 a,=a:=a1×q=2√2，故C正确：S。= 数为(-1)1·2C=一80.故选C 6.C【解析】由题意可得7=1+2+3+4+5=3,5 1XED=3162+1D<31×是<78，故D正 √2-1 5 确.故选BCD. 0.5++1++1.4=什+2.9，将其代人回归方程， 10.BCD【解析】设=a十i,代入x⊙e=10,解得 5 5 a-2b=5.对于A,3-2=1不满足a-2b=5,故A 得y=1,故s十1=2.1，将2,4代人线性回归方程，则 第2,4个月的预测值分别为y2=0.21×2+0.37= 错误：对于B,1w=√a+b=√5b+20b+25= 0.79,y1=0.21×4十0.37=1.21，故第2个月和第4 √5×√(b+2)+I.故|e的最小值为v5,故B正 个月的残差和为s一0.79十1一1.21=0.1.故选C. 7.B【解析】设正三棱柱的底面边长为a,侧面高度为 确：对于Ca一2h=53h=宁4一吾，所以w在复平 A则其表面积S=2×气。+3ah=6厅，整理得人 面内对应的点坐标为(@，”2)，当2>0，则> 5,所以该点不可能位于第二象限，故C正确：对于 12-4,因为a,h>0,所以0<a<25.故正三棱柱 D,e=(a+i)(1+2i)=a-2b+(2a+b)i,其实部 2Va 为a一2b,因为a-2b=5,即其实部为5，故D正确. 的体积V-停。h-12。,将V看作关于。的而 故选BCD. 8 11.AC【解析】对于A,令x=1,y=0,则f(f(1))一 数vu.则va=是-音，当0Ca<2时.Va f(1)+f(0),由②可知f(1)=1,所以f(1)= f(1)+f(0),解得∫(0)=0，故A正确：对于B,令 >0,V(a)单调递增：当2<a<2√3时，V'(a)<0, y=-x,则f(f(x-x))=f(x)+f(-x),得 V(a)单调递减，故当a=2时，该正三棱柱的体积取 f(f(0))=f(x)+f(-x),由A可知f(0)=0, 得最大值，此时三棱柱的高为放选R 所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)= 一f(x),故f(x)为奇函数，故B错误：对于C,令 8.A【解析】不妨设点P(x,y),且易有F(一√2,0)， y=1-x,则f(f(x+1-x))=f(x)+f(1-x)= F:(w2,0),且|PF|=√(x+√2)+y,|PF| f(f(1))=f(1)=1.即f(x)+f(1-x)=1,即 √(x-√2)+y2,代人得P到y轴的距离与P到 f(x)的图象关于点（合，号）中心对称，放C正确： ·数学· 参考答案及解析 对于D,由于∫(x)+f(1-x)=1且「(-x) -f(x),则有∫(x)-∫(x-1)=1,即∫(x)= (2)若9=受，则八x)的极值点满足+受=受十 f(x-1)+1.所以f(2)=f(1)+1=2,∫(3)= kx(k∈Z),所以x=红(k∈ZD. (8分) f(2)+1=3,…,f(2025)=2025,故D错误.故 选AC C左顶点的横坐标为一1，右顶点的横坐标为2， 三、填空题 故原题设等价于有且仅有2个k的值满足一1<如 12.√7【解析】在△ABC中，由余弦定理可得：AC <2(k∈Z), AB+BC-2AB·BCX cos-若=7，解得AC=√7. 整理得一丛<k<2仙，放k能且仅能取01两个值， 故答案为万. (11分) 13.√2【解析】易得c+=2cos 「(n+8)x1 4 所以1<≤2解得w∈（受x]】 (13分) 2cos(紧)=G所以{c,)是以8为周期的数列，且 16.解：(1)a=2时，f(x)=(x2-2)lnx+x,f(1)=1, (2分) 2025=8×253+1.6+c+…+e4=0.故∑6.- (r)=2rnx+-2+1. (3分) 1+c2+…+2s=253×0+0=√2.故答案为 了(1)=0. (4分) √2 故曲线y=(x)在点(1，(1)处的切线方程为y一 1=0. (5分) 14.(0,1门U{乏}【解析】由“滞后的”的定义，单调函 (2)易得了(x)=2rnx+-a+a-1. (6分) 数必不为“滞后的”，当0<w≤1，则g(x)=1一 wcos w.r≥0，所以g(x)单调递增，符合题意：由题 假设x=a是f(x)的极大值点，则了(a)=0,(7分) 知，因为g(0)=0-sin0=0,若g(x)在(0,1)上存在 即2alna+a二e+a-1=0,化简得alna十a=1, a 零点，则g(x)符合“滞后的”定义.有g(1)=1 (8分) sinw>0,当且仅当a=受+2kr,k∈Z时取等。 当0<a<1时，alna<0,alna+a<l: (9分) 当a>l时，alna>0,alna+a>l; (10分) i.当w>1且w≠交+2kx,k∈Z.g(0)-1-u<0, 只有当a=1时，等号成立， (11分) 又因为g(1)>0,所以g(x)在区间(0,1)上一定存在 故f(x)=2xlnx+-1.当x>1时.2rnr>0. 零点，不符合题意：i.当u=受+2x∈乙：>1， -1>0,f(x)>0, (13分) g(x)在区间(0,1)上至少存在1个零点，不符合题 但由假设知x=a=1是f(x)的极大值点， 意：.当u=乏，g(a)=a-sin∈乙.则sin a∈ 于是由极大值点的定义知存在xo,使得x∈(1，x) 时，了(x)<0,与假设矛盾， (14分) 么.放ga)∈么而ga十b)=a+b-sm[受(a+b]不 故x=a不是f(x)的极大值点。 (15分) 为整数，符合题意.综上，m的取值范围为(0,1]U 17.解：(1)在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连 胜两球， (1分) (受}故答案为01U{受} 设事件A为“再打了两个球后结束”，事件B为“乙 四、解答题 赢得比赛”， (2分) 15.解：1)函数)相邻对称轴间的距离为日 则P(A)=·号+号·号=号， (3分) 血慝知C的直径为3，所以=3，解得=子， P(AB)= (4分) (3分) 放P(B1A-0-=宁 (5分) C的圆心（分0），所以其中一条对称轴为x=2 (2)设事件C为“乙赢了本球”， 设事件D,(i=一1,0,1)为“当前乙同学分数与甲同 代入八x)的对称轴方程r+华=乏+kx(k∈)， 学分数之差为i时，最终乙同学获胜”，事件M为“乙 解得g=一吾+x(k∈2D,因为1g≤受，所以g= 赢了上一球”， (7分) 则=1时，乙背定赢了上一球，P(心)=号若赢球 (6分) 则直接赢得比赛，若输球则获胜概率为P(D。丽)， ·2 参考答案及解析 ·数学· P(D:)-P(DIC)P(C)+P(DC)P(C)- 21 21 号+P(DIR) 故直线AM:x-=-,兰(y-2),即x- (8分) 24+3 2 2-1 (10分) 同理-1时，乙背定输了上一球.P(C)=合，若 输球则输掉比赛，若赢球则获胜概率为P(D。|M), 则点M横肇标w-生曲B(合，一)C4。 P(D-1)=P(D-:IC)P(C)+P(D-:C)P(C)= 0)可得直线BC,x=4r-1, 号P(D.IMD 2y+4, (11分) (9分) 当=0时，若乙赢了上一球，P(C)=号，若赢球则 联立 品+ 21 2-1 ,解得点N纵坐标 42-1 I= 获胜概率为P(D),若输球则获胜概率为 21y+4 P(D-1),同理得P(DIM)=P(D,)P(C)+ yx=2(1-P+4) 4-1+1 (13分) P(D)P(C)=号P(D)+号P(D).a0分) 因此，(S,-S)S=号1CF1lm+·合(w 若乙输了上一球，P(C)-专： 4011=3(-马+4) 4xi-1+1 (14分) 同理可得P(DM)=P(D1)P(C)+P(D-1)P(C) =专P(D,)+号P(D). (11分) 起f)=>1,则fo) 且初始P(C)一号，故乙同学最终获胜的概率等价 (x-2)(x2-x+4)(8+13x-1) (15分) (4x2-x十1) 于P(D。1M), 故f(x)在区间(1,2)上单调递减，在(2，+∞)上 P(D)=号+P(D1IM) 单湖递增， (16分) 因此当=2时，(S-S)S取到最小值曾此时 P(D1)=号P(DIM) (17分) 故 (14分) A(2,22). P(DIM)=号P(D)+P(D-) 19.解：(1)由题干知四边形ABCD在球O的一个圆面 的圆周上， P(DIM=专P(D)+号P(D) 故∠BAD+∠BCD=T,面BC⊥CD,故∠BAD= 解方程解得P(D,M)=号故概率为导.（5分) 受，AB⊥AD, (1分) 由PB⊥平面PAD,ADC平面PAD,可得PB⊥ 1R.解：1点C(4,0)满足1CF1=3OF,则4-专=3 AD. (2分) 而AB∩PB=B,ABC平而PAB,PBC平而PAB, ·专，解得D=2 (2分) 故AD⊥平面PAB, (3分) 故E:y2=4x,准线方程：x=一1. (3分) 而ADC平面ABCD,故平而PAB⊥平面ABCD. (2)设直线AB:x=my+1(m≠0)，A(x1), (4分) B,联立{一m+1得y-4my-4=0,故 (2)作PH⊥AB,由平面PAB⊥平面ABCD,平面 y=4r PAB∩平面ABCD=AB,PHC平面PAB,可得 为-4-培-1 PH⊥平面ABCD, (5分) (5分) 由抛物线定义有|AF|=x1+1,|BF|=x+1, 则品+扇+有 =十+2 =十十号=1，得证.(8分) D x1x+x1+x+1十x十2 (3)令y=21(1>1),则=- 2 ,x1=,则x= 卡即A(,2),B(片-2) (9分) 记四棱锥P-ABCD的体积为V, 由于AB⊥AM,且直线AB的斜率k=二兰= 1-x 则V=子·PH·Snsw=子·PH(Sam十 ·3· ·数学· 参考答案及解析 S△b), 面56m=名·AB,AD=合×4X4=8, (6分) 故P(±2o.) (11分) 5 记BD与y轴交于点M,易知M(0,2,0),而CM= 由PB⊥平面PAD,PAC平面PAD,知PB⊥PA 故PB十PA=AB=16,于是PA·PB≤ BD-2/, PB+PA=8,当且仅当PA=PB=2V2时取等. 故可设点C(2√2cosa,22sina+2.0),其中∠CMy= 2 由Saw-之，PB:PA-之·AB,PH,知PH- 受-， (13分) PPB<号=2， 于是P心-(22os士2,22na+2,-6) 5 AB (7分) 5 Sam=方·BC,CD,由BC1CD,可得32=BD 易知平面ABCD的-个达向量币-(oo,6号) =BC+CD≥2BC·CD, 记直线PC与平面ABCD所成的角为0， 故BC·CD≤16，当且仅当BC=CD=4时取等. 则sin0= 1 -器· 于是San=2·BC,CD≤8， HPIIPCI (8分) 故V=号·PH.(Sam+Sam<号×16=婴。 3 V2o士）+2m+2r+(-) 故四校锥P-ABCD体积的最大值为号 ,(9分) =62 1 (15分) 5 (3)取AB中点N,以N为原点，NB为x轴，过点N √i6士 cosa+8Zsin a 且平行于AD的直线为y轴，过点N且平行于PH 而由辅助角公式知 的直线为：轴，建立如图所示空间直角坐标系 Nxys. (10分) ±8 5cos a+8/7sin a +(82) =8x号- 故sin9=6v2 5 id D 5cos a+8/2sin a M.- 6× -6x5- 51210 PH-PA.PB_6/ 6g,NP=AB=2, 面当P(20.)an。-59时，等号成立. 7 AB 故直线PC与平面ABCD所成角的正弦值的最小值 放NF=NP-PF=4-碧-器解科 为。 (17分) NH=27 5 。4