2024-2025学年第二学期高二年级单元测试A卷第七章 随机变量及其分布（人教A版2019选必三 全国通用）

2024-2025学年第二学期高二年级单元测试A卷第七章 随机变量及其分布 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（    ） A． B． C． D． 4．随机变量的概率分布列为，，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（    ） A． B． C． D． 6．随机变量ξ的分布列为： 0 1 2 其中，下列说法不正确的是 A． B． C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值 7．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若A，B是相互独立事件，则 D．若A，B是互斥事件，则 10．一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；则（    ） A． B． C． D． 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为 . 13．袋中装有质地，大小相同的5个红球，个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为，则 ；记取出的红球个数为，则 ． 14．根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 16．某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； (2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 17．近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下（单位：枝）： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （1）求这10天红玫瑰销量的平均数和方差； （2）若这个大棚红玫瑰的日销量服从正态分布，其中，可分别用（1）中的和代替，白玫瑰的日销量服从正态分布，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 18．某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 19．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年级单元测试卷第七章 随机变量及其分布 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率的公式进行求解. 【详解】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件B，且由题可知，，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为：.故B，C，D错误. 故选：A. 2．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 3．随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项及分布列的性质即可求解. 【详解】因为a，b，c成等差数列，所以， 由随机变量X分布列的性质知，， 联立，解得， 所以. 故选：D. 4．随机变量的概率分布列为，，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据分布列的性质得到，再根据求解即可. 【详解】， ∴． ∵． 故选：D 5．口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以取0、1、2，分别求出不同取值的概率，即可求出期望值. 【详解】根据题意可得，的取值可能为0、1、2， 则，，， 所以， 故选：B. 6．随机变量ξ的分布列为： 0 1 2 其中，下列说法不正确的是 A． B． C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值 【答案】C 【分析】根据分布列的性质得正确；根据期望公式和方差公式计算期望和方差，根据结果分析可得答案. 【详解】根据分布列的性质得，即，故正确； 根据期望公式得，故正确； 根据方差公式得， 因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确； 故选：C 【点睛】本题考查了分布列的性质和数学期望与方差公式，属于基础题, 7．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 8．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据期望与方差的性质判断④； 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，，故④错误． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若A，B是相互独立事件，则 D．若A，B是互斥事件，则 【答案】AC 【分析】计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，，故B错误；因为A，B是互斥事件，得，而，故D错误． 【详解】解：，故A正确； 当A，B是相互独立事件时，则，故B错误； 因为A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确； 因为A，B是互斥事件，，则根据条件概率公式，而，故D错误． 故选：AC． 10．一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件得到，由二项分布的均值和方差公式可求出.求出的可能取值，及其对应的概率，即可求出的分布列，由方差和期望公式可求出，分别比较，和，可得答案. 【详解】从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为， 则，故，， 从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为，则的可能取值是0，1，2，3； 则，， ，， 所以随机变量的概率分布为： 0 1 2 3 P 数学期望； , 故，. 故选：AC. 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为 . 【答案】70 【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】由题意20). 又所以200， 所以 故答案为：70 13．袋中装有质地，大小相同的5个红球，个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为，则 ；记取出的红球个数为，则 ． 【答案】 3 【分析】由题意可知即可求m，由，利用古典概型的概率求法求、、，即可求. 【详解】由题意知：，整理得， ∴， 由，则，，， ∴. 故答案为：，. 14．根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 【答案】 【分析】设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】解：设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”， 事件“安装有紧急定位传送器”， 则， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为： . 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； （2）利用全概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】（1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为. （2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”， 记事件为“这道题被答对”， 则，，， ，，， 由全概率公式可得. 16．某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； (2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解； （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A， 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”， 所以. （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有： ， ， 可得的分布列为 0 1 2 3 所以. 17．近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下（单位：枝）： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （1）求这10天红玫瑰销量的平均数和方差； （2）若这个大棚红玫瑰的日销量服从正态分布，其中，可分别用（1）中的和代替，白玫瑰的日销量服从正态分布，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 【答案】（1），.（2）预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，计算出平均数和方差. （2）由（1）求得，首先求得的范围，然后根据正态分布的对称性以及原理，判断出. 【详解】（1）由条件可知， ， . （2）由（1）可知. 若红玫瑰的日销售额超过1280元，则需. 若白玫瑰的日销售额超过1280元，则需. 根据正态分布的特征可知， 即白玫瑰的日销售额超过1280元的概率更大，故预计今年白玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 【点睛】本题考查样本的数字特征和正态分布，属于中档题. 18．某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】(1) (2)①；②不应该 【分析】（1）依题意可得，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点. （2）①令表示余下的件产品中的不合格品件数，则，，根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；②由①的期望判断即可. 【详解】（1）解：因为10件产品中恰有1件不合格品的概率为 所以 令，解得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增；在上单调递减. 所以的最大值点为. （2）解：由（1）知，. ①令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知：， 所以，且，即. 所以. ②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为250元. 由于，故不应该对该箱余下的产品作检验. 19．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】(1)由古典概率模型进行求解； (2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可； (3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解. 【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； （2）由题可知可取， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为 1 2 3 P （3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且， 化解得， 得， 而则数列为等比数列,首项为，公比为， 所以， 又由求得： 因此． 【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年级单元测试A卷第七章 随机变量及其分布 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列 X 2 4 6 P a b c 则（    ） A． B． C． D． 4．随机变量的概率分布列为，，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（    ） A． B． C． D． 6．随机变量ξ的分布列为： 0 1 2 其中，下列说法不正确的是 A． B． C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值 7．小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若A，B是相互独立事件，则 D．若A，B是互斥事件，则 10．一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；则（    ） A． B． C． D． 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为 . 13．袋中装有质地，大小相同的5个红球，个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为，则 ；记取出的红球个数为，则 ． 14．根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率： (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 16．某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； (2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 17．近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下（单位：枝）： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （1）求这10天红玫瑰销量的平均数和方差； （2）若这个大棚红玫瑰的日销量服从正态分布，其中，可分别用（1）中的和代替，白玫瑰的日销量服从正态分布，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多. 18．某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点； (2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求； ②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 19．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$