精品解析：浙江省舟山市2024-2025学年下学期期中数学素养监测试题卷

2024学年第二学期期中素养监测试题卷 八年级 数学 须知： 1、全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间120分钟． 2、本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数中，能使有意义是（ ） A. B. 0 C. D. 7 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形（ ） A. B. C. D. 7. 舟山积极宣传和推广“山海交响，诗画浙江，千岛之城舟山行”海洋文化旅游项目，去年舟山旅游产业获利172亿元，若计划明年旅游产业获利237亿元，设年平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班同学中，随机调查了名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图．这名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数与众数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 9. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥0 B. m＞0 C. m≥0且m≠1 D. m＞0且m≠1 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 卷Ⅱ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 12. 若方程（为常数）的一个解是，则另一个解______． 13. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是______． 14. 已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 15. 若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是______． 16. 如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则______，与平行四边形重叠部分的面积为______． 三、简答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根 （1）你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适方法解一元二次方程． 19. 如图，在的方格纸中（每个小方格的长为1），根据要求画出图形； （1）在图1中画一个面积为6的平行四边形； （2）在图2中画出关于点C中心对称的图形，其中A的对称点为D，B的对称点为E； （3）在（2）的条件下，求出和之间的距离． 20. 为迎接数学文化节，某校面向全体学生举办了以“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题： 比赛项目 成绩（分） 七年级 八年级 九年级 24点速算比赛 70 85 80 数学文化知多少 80 70 90 东方快板 85 80 70 环环相扣 90 95 80 （1）根据对各个项目参赛人数的统计，绘制了扇形统计图如图所示，现已知参加“东方快板”项目的有200人，求参加此次数学素养大赛的总人数以及参加“数学文化知多少”项目的人数． （2）现每个年级段抽取各项目最优异选手组成4人小分队，进行年级赛，各年级各项目成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？ 21. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形周长． 22. 已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 23. 某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） （2）若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ （3）若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 24. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，连接； ①若，求的长； ②设，试求k与m满足的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中素养监测试题卷 八年级 数学 须知： 1、全卷共三大题，24小题，满分为120分，考试时间120分钟． 2、本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 下列数中，能使有意义的是（ ） A. B. 0 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴四个数中，只有数字7符合题意， 故选：D． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形内角的性质求解即可．平行四边形的对角相等，邻角互补． 【详解】解：∵在中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形内角的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形内角的性质．平行四边形的对角相等，邻角互补． 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减法、二次根式的除法和性质，利用相关法则与性质进行计算即可． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. 和不是同类二次根式，不能进行合并，选项错误，不符合题意； D. ，选项错误，不符合题意； 故选：A 5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定进行求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴这四个人成绩最稳定的是乙， 故选：B． 6. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可 【详解】解： ， 故选：C． 7. 舟山积极宣传和推广“山海交响，诗画浙江，千岛之城舟山行”海洋文化旅游项目，去年舟山旅游产业获利172亿元，若计划明年旅游产业获利237亿元，设年平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设年平均增长率为x，则今年获利亿元，则明年获利元，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 8. 为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班同学中，随机调查了名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图．这名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数与众数分别是（ ） A 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】B 【解析】 【分析】根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据中位数和众数的概念进行求解； 【详解】解：在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多， 这组数据众数是． 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是， 这组数据的中位数是， 故选：B． 【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，注意掌握中位数和众数的计算方法． 9. 关于x一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥0 B. m＞0 C. m≥0且m≠1 D. m＞0且m≠1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：m≥0且m≠1． 故选C． 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据可得，据此解方程即可判断①；根据题意可得关于x的方程没有实数根，据此利用根的判别式求解即可判断②；，据此可判断③；关于x的方程的解为p和q，则，进而根据完全平方公式的变形得到，再根据即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或，故①说法错误； ∵关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴， ∴，故②说法正确； ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为，故③正确； ∵关于x的方程的解为p和q， ∴关于x的方程的解为p和q， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴或，故④错误， 故选B． 卷Ⅱ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为，由内角和公式可得： ， ， 故答案为：6． 12. 若方程（为常数）的一个解是，则另一个解______． 【答案】0 【解析】 【分析】设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个解为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程的两根之和等于是解题的关键． 13. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据坡比的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 14. 已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了平均数，计算一组数据的标准差，正确理解平均数求出x及掌握方差的计算公式是解题的关键． 先利用平均数求出，再求出这组数据的方差，即可得到标准差． 【详解】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5， ∴， 解得， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为． 故答案为：2． 15. 若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程关于x的一元二次方程可以看做是关于的一元二次方程，根据题意可得该方程的解满足或，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是，， ∴关于x的一元二次方程，即的解满足或， ∴或， 故答案为：或． 16. 如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则______，与平行四边形重叠部分的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和折叠的性质可证明，则，再根据线段中点的定义可得，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，利用勾股定理求出，再根据重叠部分的面积为的面积，即面积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵F恰好为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴与平行四边形重叠部分的面积为， 故答案为：；． 三、简答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用二次根式的乘法和性质进行计算即可； （2）利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根 （1）你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）甲同学解题过程中，方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；乙同学解题过程中，，而不是； （2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下： 甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或； 乙同学的解题过程中，而不是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 19. 如图，在的方格纸中（每个小方格的长为1），根据要求画出图形； （1）在图1中画一个面积为6的平行四边形； （2）在图2中画出关于点C中心对称的图形，其中A的对称点为D，B的对称点为E； （3）在（2）的条件下，求出和之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，画中心对称图形，中心对称图形的性质，勾股定理等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）画一个底为3，高为2的平行四边形即可； （2）延长到D，使得，同理作出点E，顺次连接D、E、C即可； （3）可证明四边形是平行四边形，则可利用等面积法求出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：设和之间的距离为h， 由中心对称图形的性质可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和之间的距离为． 20. 为迎接数学文化节，某校面向全体学生举办了以“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题： 比赛项目 成绩（分） 七年级 八年级 九年级 24点速算比赛 70 85 80 数学文化知多少 80 70 90 东方快板 85 80 70 环环相扣 90 95 80 （1）根据对各个项目参赛人数的统计，绘制了扇形统计图如图所示，现已知参加“东方快板”项目的有200人，求参加此次数学素养大赛的总人数以及参加“数学文化知多少”项目的人数． （2）现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级赛，各年级各项目成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？ 【答案】（1）800人；80人 （2）初一79，初二79，初三82，初三取得第一名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和加权平均数，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据参加“东方快板”项目的人数除以其人数占比可求出参与的总人数，再用总人数乘以参加“数学文化知多少”项目的人数占比即可得到答案； （2）根据加权平均数的计算方法分别求得三个年级的成绩，比较即可求解． 【小问1详解】 解：人， ∴参加此次数学素养大赛的总人数为800人， 人， ∴参加“数学文化知多少”项目的人数为80人； 【小问2详解】 解：初一：， 初二：， 初三：， ∵， ∴初三取得第一名． 21. 如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等． （1）根据平行四边形的性质得出，则，即可根据求证，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形的周长． 22. 已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】（1）① （2） （3）或． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：① ∴； 解得 ∵； ∴是差根方程； ∴ 解得 ∵； 方程不是差根方程； 故答案为：① 【小问2详解】 ， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； 【小问3详解】 当为斜边时，如图， 假设，可设, 由勾股定理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 解差根方程的两个根为1和2， ∴这个差根方程，即， 当为直角边时，如图， 设，， 由勾股定理得， 解得， ∴， 解差根方程的两个根为3和2， ∴这个差根方程为，即， 差根方程为或． 23. 某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） （2）若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ （3）若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）应该定价45元 （3）商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，配方法的意义，一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式和列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，据此列出方程求解即可； （3）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，设出总利润关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数解析式为， 把图象上两点，代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得（舍去）或， 答：应该定价45元； 【小问3详解】 解：设商店的利润为W元， 由题意得 ， ∵， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元． 24. 如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，连接； ①若，求的长； ②设，试求k与m满足的关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行和平行线的性质可求出，，再证明是等边三角形；即可证明； （2）①求出，由等边三角形的性质得到，，则，，据此可得，则，由勾股定理得到，再由勾股定理得到，则； ②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，设，则，求出，得到，则，进而可得；同理可得，，，则；根据，可推出，再由，可得，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴； 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线交于点O， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知平行四边形的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 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