浙江省精诚联盟2025届高三下学期适应性联考数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第二学期浙江省精诚联盟适应性联考 高三数学试题 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题卷。 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.) 1.已知全集U=R,集合A={x∈Z2≤x3≤28，B={x∈ZVx≤2}，则(Cu40∩B= A.{14} B.{0,1,4 C.{0,12,4} D.{0,1,2,3,4} 2.已知向量a=(-2,m),b=(1,1),若b⊥(a-b),则cos<a,b>= A.Vio c D. 10 2 3.已知函数f()= 2,x>0, (a∈R)为奇函数，则f(a)= -a,x<0. ② c.√2 D.2 2 4.已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A),P(B),且P()P(B)≠0，则P(AB)=P(B|)” 是“P(A)+P(B)=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若函数f()=2c0s(@x+p(@>0,0<p<)的最小正周期为元，其图象的一条对称轴的方程 为x=行则函数f)在[-，利上的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.若圆O:x2+y2=1与圆O2:(x-a)2+Uy-b)2=9(a,b∈R)有且仅有一条公切线，则从点 O2(a,b)到圆O,的切线长为 A.1 B.2 c.5 D.2 高三年级数学学科试题第1页共4页 7.已知数列{a,}中，a=1,且u=n+1 记数列{an-anl}的前n项和为Sn,则S2025= a 2a+n 2025 2024 2026 2025 A. B. D. 4051 4049 4051 4049 3.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bsi B+C=√5asim(A+C), 2 则二的取值范围为 B层净 c争 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) ,已知复数z1=1+i,22=x+yi(x,y∈)，则下列结论正确的是 A.若互=1-i,则z2为纯虚数 22 B.若z2-名=23，则z2在复平面内对应的点位于第一象限 C.若引z2-31=1,则3-2√2≤x2+y2≤3+2W2 D.若Z1,z2为方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的两虚根，则a=b=2 0.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，M,N分别为棱C,D,底面ABCD的对角线 BD上的动点，且CM=BN CD BD =k(0<k<1),则下列结论正确的是 A.三棱锥M-ABN的体积为 2 B.MN∥平面AADD C.存在实数k,使得MN⊥AC D.若直线MW与平面ABCD所成角的正弦值为兮，则k=号 4 第10题图 ll.超椭圆(superellipse)也称为Lamé曲线，是一种类似于椭圆的封闭曲线，保留了椭圆的长轴、 短轴、对称性等特点.超椭圆在平面直角坐标系中的方程为+=10m>0,4>0,b>0), m 当a=,m=名时，该超椭圆即为著名的“星形线”，记为曲线C(如图)，已知点4（令8 2 13W3 3 在曲线C上，O为坐标原点，点P(xoy)为曲线C上任意一点.则下列结论正确的是 A.a=b=1 B.xo%的最大值为4 OP的最小值为D,直线y=-3x+3与曲线C恰有3个公共 第11题图 ®扫楼全能王 证在事两销自保中 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知直线y=?与抛物线x2=2y(>0)相交于A,B两点，D为抛物线的准线与y轴的交点， 若△ADB的面积为4，则p= 13.将圆周率π的近似值T=3.14159的各个数位上的数字重新排列后得到5位小数M(包括T),则 M<T的概率为 14.已知函数f(x)=ae-nx+ha-x2+x的值域为D,集合A={x∈R|x≤0}，若A∩D≠中， 则实数a的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比， 固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点.某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该 批次固态电池的“循环寿命”x(循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完 成充放电循环的次数)的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了 下表： 第15题表 循环寿命 [2,3) [3,4) [5,6) [6,7) x(千次) [4,5) 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x(仟次)的平均值元=4.5（同一组中的数据用该组区间的中点值代表) (1)求a,b的值： (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布N(,σ)，经计算样本标准差s的 估计值为0.7.用样本数据的平均值元作为4的值，用样本标准差s的估计值作为σ的值 (i)若规定：循环寿命x∈[5.2,5.9]的电池为一等品：·x>5.9的电池为优等品.求试生产的 电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）： ()在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如 果小概率事件未发生，则认为该批产品合格：否则可以认为该批产品不合格.若这100组 电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3.请判断该批固态电池是否合格？ 并说明理由。 参考数据：若随机变量5~N(山，σ2)，则P(μ-o≤5≤μ+o)=0.6827, P4-2o≤5≤4+2σ)=0.9545，P4-3o≤5≤4+3o)=0.9973. 证4事两销自保 16.(15分)如图，三棱柱ABC-4B,C中，AA=AB=BC=22,∠ABC=?,平面ABC1 2 平面AACC,D为棱AG的中点，AD=2√5. (1)证明：AB⊥BD: A1 D (2)求平面ABD与平面BBCC夹角的余弦值. B 17.(15分)已知函数f(x)=e-c0sx-(2a+2)x. 第16题图 (1)当a=0时，求函数f(x)的极值点个数： (2)若对Vx≥0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. x2 y2 18.(17分)已知双曲线B:言-云=1(>0，b>0)的焦距为2W5,右顶点为4，直线1与双曲 线E相交于P,Q两点，且与E的一条渐近线相交于点B(2,1). (1)求双曲线E的方程： (2)是否存在直线1，使得△ABP与△ABQ的面积相等？若存在，求出直线1的方程；若不存在， 请说明理由； (3)若直线AP,AQ分别与y轴相交于M,N两点，证明：|AM+AN|为定值. 19.(17分)定义：若对n∈N,n≥2，都有|bn-bn上j（j为常数，且j>0),则称数列凸} 为“绝对等差数列”，常数广为数列亿}的“绝对公差”.已知“绝对等差”数列{a}所有项的 和为E. (1)若j=1,4=2,a4=1,请写出有序实数对(a2,43)的所有取值： (2)若数列{an}共有259项，且j=3,4=211,a259=985,求数列{an}的通项公式an: (3)若j为奇数，数列{an}共有2k(k∈N,k≥2)项，且a=0,E=0. 证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列{an}. 2024学年第二学期浙江省精诚联盟适应性联考 高三数学参考答案及解析 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.) 1.B【解析】A=(2,3},B={(01,2,3,4),所以(CuA)∩B={0,1,4),故选B. 2.A【解析】由题，b·(a-b)=0,即(1,1)(-3，m-1)=0,即-3+(m-1)=0，,得m=4,所 以cos<a,b>=a-b=2-10 1ab25.2=10,故选A. 3.C【解折1挡x<0时，-x>0,则f-)=2=分=-f)=a,所以a=分f兮=万， 故选C 4C【解折1若PaB)=P(B1,则PB_PAg,所以PO=P(B,即PA)+PB)=l: P(B)P(A) 若PA+PB)=1,则P(A=P(B),故PB_PAB P(B) P(A) ,即P(AIB)=P(B1A)，所以 “P(A|B)=P(B1A)”是“P(A)+P(B)=1”的充要条件，故选C. )由题红5，得0=2，又2×十p=m,ke乙，得p=a-亮及 3 0<<,所以2=5，令f=0得2x+三血+，kZ,即X=怀元 十 ,k∈Z,当 3 2 212 k=-2,0,1时，x=-11r,-5元，元7 -12-12'12'12 ∈[-元，]，得f(x)在[-π，π]上有4个零点，故选D. 6.C【解析】由题，圆0，与圆02内切，所以10,02上Va2+b2=2,即a2+b2=4,所以点|002=2， 又圆O,的半径为1，所以切线长为V002P-1=V5.故选C. 2.A【解析】由H=”+1得20+”=”+1，即”+1-”=2，所以数列（凸）是以1为首项， an 2an+n an ant ant an a 2为公差的等差数列，所以1=1+20-)=2n-1,故a,=2所以5ms=4-4+8-4+ 高三数学答案第1页共10页 墨国全 +a0s-46=4-46=1-2026_2025 故选A 40514051 8.D【解折】由2bsmB+C=5asim(A+C)得2bsim二A=5 asin B,即2bcos1=5asi血B, 2 2 即2s血Bc0s号=5s血A血8，又0<B<受，故smB>0,故2co分5血A=25sm分 2. cos 会，因为0<A号，所以血5.故csA25,得nA=c03A-.因为 25 25 4 S=simC-sm(A+B）_5 cos B+-sin B 一三 4+3,因为0<B<,0<π-(A+B)<, .3 b sin B sin B sin B 5tan B 5 2 所以交-A<B<,故anB>an( 1 3 35 3,所以tan Be(2,+o),所以∈(2,3)， 2 tan A 4 b53 故选D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9.AC【解析】由互=1-i得z2 1+i_1+1+日=i,故乙，为纯虚数，A正确：由z-乙=23 1-i(1-0(1+) 得(x-1)-(y-1)i=2+2i,得x=3,y=-1,所以乙2=3-i,乙2在复平面内对应的点在第四象 限，B错误：若|乙2一乙上1，则z2在复平面内对应的点Z2的轨迹是以(，1)为圆心，以1为半径的 圆，又x2+y20Z2P,因为V2-1≤0Z2√2+1，所以3-2W2≤x2+y2≤3+22，C正 确：若zz2为方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的两虚根，则△=a2-4b<0,且z2=乙=1-i, 所以乙+乙2=2=-a,得a=-2,且乙乙2=2=b,D错误：故选AC. 3D解折】由题易得Vu-A=VxA8出=×X4×4x4=2,A正确：如图，作MELG 于点E,连接NE,则ME∥DD,因为CM_BN_CE 所以 M C CD BD CD B NE∥BC∥AD,故平面MNE∥平面AADD,所以MN∥平面 AADD,B正确：以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别 B 为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M(O,4-4k,4), 第10题解图 高三数学答案第2页共10页 N(4-4k,4-4k,0),A(4,0,4),C(0,4,0),若MN⊥AC,则MN·AC=16k=0,得k=0, 与0<k<1矛盾，所以不存在实数k,使得MN⊥AC,C错误： 因为ME⊥平面ABCD,所以∠MNE即为直线MN与平面ABCD所成的角，因为ME=4,所以 sin∠MWE=ME、4 4 6+NE得NE=3,所以4“=月，得k=D正跑 44 4 故选ABD 山ACD【保析1由愿，鱼线C的方程为+)=0，将点4,3)代入方程得0=1，因为 88 22 22 2 2 a=b>0,所以a=b=1,A正确：因为x8+y=1,所以x君+y8x3+|%3=1≥2Wlxo月 =2%月，所以刘%g,当且仅当=%= 二时，等号成立，B错误： 后+店=cy+(o=心+d+-3w月=1-3w月，因为%g所 以后+好≥1-3x白-名当且仅当6=%=是时，等号成立，酸10G+分C 8 4 4 正确：由愿知-1≤x≤1，-1≤y≤1时，当0<x<10<y<1时，由x+y=1得y=-), 2 令f网=0-10<x<,则f阳=-名×3q-时，令了=-5 23 ,即 3 2 23 2 y=35,所以重线c在点，3 8 88 处的成方程为y-35u一名可y=x+9 8 恰好与直线1：y=-3x+ 二重合，易得直线I与曲线C在第二、四象限的部分各有一个交点，所 以直线1：y=-5x+5与曲线C有3个公共点，D正确，故选ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 高三数学答案第3页共10页 2.2【解析】将y=2代入x2=2p四得x=±p,所以1AB=2p,由抛物线的对称性可得 IDA曰DB|,所以△DAB为等腰三角形，设抛物线的焦点为F,则FD⊥LAB,又|FD=p,故 SAADE=2AB1-FDF2×2p×p=4,解得p=2. 13.了【解析】若M<T,则M整数位上的数字只能为1或3，当M整数位上的数字为1时，符 20 合条件的5位小数共有A=120个；当M整数位上的数字为3时，十分位和百分位上的数字均只 能为1，符合条件的M共有A=6个，所以这些新的小数中小于T的个数为126个.将T各个数位 上的数字重新排列共有A=360种不同排法，所以M<T的概率为126=乙 36020 14.1【解析】由题知，a>0,x∈(0，+∞)，若AnD≠中，则存在>0，使得f)≤0，即 存在x>0,使得axe-nx+ha-x后+0≤0，即e+a6)+x+lh0+na≤x号+2no, 即e6iaa)++n(axo)≤eni+hx后，令g(x)=x+e,易知函数g(x)在R上单调递增，所以 名+h(a)≤h后，即he+(a)≤h后，即a≤，由题意，只需a≤（告x,令 h()=x>0),则h()=。,所以a()在0，)上单调递增，在，+四上单调递减，所以 er h(x)sh()=,故as,所以实数a的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【解析】 (1)由题，a+b=75①， …………1分 002.5x5+3.5x15+4.5a+5.5b+6.5x)=4.5@ …….3分 由①②解得a=60,b=15. ………4分 (2)由题，4=4.5，σ=0.7， D因为P6.2<x≤5.9)=2Pu-2o≤x<u+2o)-7Pu-o≤x<H+o) =0.1359: …….6分 Px25.9)=2-Pu-2o≤x<μ+2o刃=0.02275，.8分 所以一等品率的估计值为13.59%：优等品率的估计值为2.275%. .9分 (ii)不合格.理由如下： 高三数学答案第4页共10页 由题，P(4-3o≤5≤4+3σ)=0.9973， 所以1-P(4-3o≤5≤4+3o)=1-0.9973=0.0027,...,…11分 又[μ-35,4+3o]=[2.4,6.6,2.3[2.4,6.6], 故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格 …….13分 16.【解析】 1)证明：因为∠ABC=受AB=BC=22,所以AC=4,故AD=AG=2, 又AM=22,AD=25,所以c0s∠A4D=AD+A42-AD2-2 2A D.AA 2 所以∠AD-交，故∠AAC=∠CCA-吾 ………2分 所以AC2=AM+AC2-2 AA.ACcos=8, 4 得AC=2N2,所以CD⊥AC, ….4分 易知平面AB,C⊥平面AACC,又平面AB,C,∩平面AACC=AC, 所以CD⊥平面AB,C,故CD1AB,·..5分 因为AB⊥BC,AB⊥CD,BC∩CD=C, 所以AB⊥平面BCD,故AB⊥BD, 因为AB∥AB,所以AB⊥BD.得证.…·.7分 (2)取AC中点O,连接OB,OA,易知OB,OC,OA三 D 条直线两两垂直，以0为坐标原点，分别以OB,OC,OA B 所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,2), C(0,4,2) ….9分 B 第16题解图 设平面ABD的一个法向量为m=(x,y,z),则 m.AB=0, 2x+2y=0, 即 m·AD=0 4y+2=0,令x=1,得y=-1,2=2. 高三数学答案第5页共10页 证事周销自保 所以m=(1,-1,2), ……………………11分 同理可得平面BBCC,的一个法向量n=(1,1,-1), ……….13分 所以cos<m,n>为mn=2 |mn|√6×√33 所以平面ABD与平面R,BCC,夹角的余弦值为Y 3 ………………15分 17.【解析】 (1)f(x)的定义域为R, 当a=0时，f(x)=e-cosx-2x,f'(x)=e+sinx-2, 当x≤0时，e*≤1，-1≤sinx≤1，又f'(0)=-1, 所以f'(x)<0,故f(x)在(-0,0)上单调递减，无极值：.......2分 当x>0时，令g(x)=e+sinx-2,则g'(x)=e+cosx, 因为e>1,-1≤cosx≤1，所以g'(x)>0,故g(x)(即f'(x))在(0，+o)上单调递增， 又f'(0)=-1<0,f'I)=e+sin1-2>0, ………4分 所以存在唯一的x∈(01)使得f'(x)=0, 且当x∈(O,x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)在x=x,处取得极小值， ………5分 综上，当a=0时，f(x)有1个极小值点，无极大值点。...6分 (2)由题，f'(x)=e+snx-(2a+2)(x≥0)， 令h(x)=e+sinx-(2a+2)(x≥0)，则h'(x)=e+cosx≥1+cosx≥0， 所以h(x)(即f'(x)在(0，+o)上单调递增， 高三数学答案第6页共10页 证4两销自保中