精品解析：北京市第五十中学分校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

北京市第五十中学分校2024-2025学年度第二学期期中练习试卷 高二数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，易求. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 3. 复数 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据复数乘法运算计算得：，故选A. 考点：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后，将代入导函数中计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 5. 函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数 （    ） A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点 C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可得的单调性，结合极值点的概念即可求解. 【详解】如图， 由图可知，当时，； 当时，， 所以在上单调递减， 在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以有两个极大值点，两个极小值点. 故选：C 6. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断出的单调性可得答案. 【详解】， 当时，，所以是单调递增函数， 因为，所以. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 8. 某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（    ） A. 24种 B. 48种 C. 120 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】首先让甲、乙在中间位置上排序，然后剩下的4人在其余位置进行全排列即可. 【详解】由题意可知，甲，乙站在正中间，有种排队方案， 其它人随机排列，有种排法， 则这6个人的排队方案共有种. 故选：B. 9. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集． 【详解】令，则，因此函数在上是奇函数． ①当时，，在时单调递增， 故函数在上单调递增． ， ， ． ②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3）， ，的解集为． ③当时，，不符合要求 不等式的解集是，，． 故选：D 10. 若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（　　） A. x1lnx1＜x2lnx2 B. x1lnx1＞x2lnx2 C. x2lnx1＜x1lnx2 D. x2lnx1＞x1lnx2 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数f（x）＝xlnx，利用导数研究函数的单调性，即可判断选项A，B；构造函数，利用导数研究其单调性，即可判断选项C，D． 【详解】令，则， 当0＜x＜1时，的正负不能确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定，故选项A，B错误； 令，则， 当0＜x＜1时，，则在上单调递增， 因为0＜x1＜x2＜1， 所以，即，即x2lnx1＜x1lnx2，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、 填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是____________. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为：. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 求下列函数的导数： 若，则_________； 若，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数的乘法法则可得第一空的结果；利用复合函数求导可得第二空的结果. 【详解】因为，所以； 令，所以，又，， 所以，即. 故答案为：； 13. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先写出通项公式，即可求出的值. 【详解】解：因为的展开式的通项为： ， 又因为的系数为12， 所以当时，， 所以， 解得. 故答案为： 14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____， _______． 【答案】 ①. 1 ②. －2 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出，再利用切点在切线上求出． 【详解】根据导数的几何意义可知， 由切点在切线上，所以， 故答案为：1，－2． 15. 设函数（a为常数）．若为奇函数，则a=________；若是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立，； 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在的展开式中. （1）求各项的二项式系数之和； （2）求第3项的系数； （3）求的系数； （4）求常数项； （5）求二项式系数最大的项. 【答案】（1）64； （2）240； （3）160； （4）60； （5）160. 【解析】 【分析】（1）根据展开式中各项的二项式系数之和的公式即可得解； （2）根据展开式的通项公式求得即可得出系数； （3）根据展开式的通项公式求得，然后令的指数等于3，即可得出的值，从而得到系数； （4）由（3）得，令的指数等于0，即可得出的值，从而得到常数项； （5）结合二项式系数的性质即可求出结果. 【小问1详解】 的展开式中各项的二项式系数之和为 【小问2详解】 因为； 所以第3项的系数为240； 【小问3详解】 ，令，解得, 所以，所以的系数为160； 【小问4详解】 由（3）得，令，解得, 所以；所以常数项为60； 【小问5详解】 由二项式系数的性质可知，二项式系数最大的项为第4项，由（3）得，， 所以二项式系数最大的项为. 17. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部:战火西岐》、《熊出没·重启未来》4部影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《熊出没·重启未来》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影中的两部即可. 【小问1详解】 因为4名同学观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种． 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以不同的选择方法共有种． 【小问3详解】 因为恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法共有种． 18. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，写出直线的点斜式方程，再整理成一般式方程即可； （2）求出函数导数后，解不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以函数的图象在点处的切线斜率， 因为，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由已知可得. 令，解得或， 所以的单调增区间为和. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最小值． 【答案】（1） （2）增区间为；减区间为 （3） 当时，， 当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，可求得切线方程； （2）令，求得，列表判断的单调性即可； （3）利用（2）分类讨论，可求的最小值. 【小问1详解】 ， 所以，所以切线方程为：，即：； 【小问2详解】 . 令，， 当变化时，的变化情况如下表： 大 小 ∴的增区间为；减区间为； 【小问3详解】 当时，在上递减，在上递增，， 当时，在上递减，， 综上所述：当时，， 当时，. 20. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． （1）求椭圆的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程求出，进而求出，结合离心率的概念即可求解；求出点，结合三角形的面积公式计算即可求解； （2）直线方程联立椭圆方程，消去，结合韦达定理表示出，设，表示出的方程，令得，化简计算即可求解. 【小问1详解】 由题意，椭圆经过点， 可得，解得，即椭圆， 因为，即，所以椭圆的离心率为， 又由左顶点为，右焦点为，所以， 所以的面积为. 【小问2详解】 联立方程组，整理得， 设，则，得， 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点. 21. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求证：当时，； （3）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极大值1，无极小值； （2）令（）， . 由得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值； （2）令（），求导，由得，则，进而得出函数的单调性，由此得证； （3）当时，由（Ⅱ）知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为，定义域，所以.令，解得. 随x的变化，和的情况如下： x 0 0 增 极大值 减 由表可知函数在时取得极大值，无极小值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（Ⅱ）知，满足题意. 令，. 当时，若，，则在上是减函数. 所以时，，不合题意. 当时，，则在上是减函数，所以，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式，求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求其导函数的正负，得出其函数的单调性，从而得出所构造的函数的图象趋势，可以解决函数的极值、最值、不等式等相关问题，属于难度题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十中学分校2024-2025学年度第二学期期中练习试卷 高二数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 3. 复数 A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数 （    ） A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点 C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点 6. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 8. 某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（    ） A. 24种 B. 48种 C. 120 D. 240种 9. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（　　） A. x1lnx1＜x2lnx2 B. x1lnx1＞x2lnx2 C. x2lnx1＜x1lnx2 D. x2lnx1＞x1lnx2 第二部分（非选择题 共110分） 二、 填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是____________. 12. 求下列函数的导数： 若，则_________； 若，则__________. 13. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______． 14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____， _______． 15. 设函数（a为常数）．若为奇函数，则a=________；若是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在的展开式中. （1）求各项的二项式系数之和； （2）求第3项的系数； （3）求的系数； （4）求常数项； （5）求二项式系数最大的项. 17. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部:战火西岐》、《熊出没·重启未来》4部影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《熊出没·重启未来》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 18. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最小值． 20. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． （1）求椭圆的离心率和的面积； （2）已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 21. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求证：当时，； （3）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $