09.电磁感应计算专项复习-含容含源线框-2024-2025学年高考物理二轮专题复习讲义

09.电磁感应计算专项复习-含容含源线框 课前检测 【教法备注】 建议6-8min完成 思考1：电磁感应中的安培力是做正功还是负功？ 【教法备注】 可做正功，例如电磁驱动；也可做负功，例如电磁阻尼； 本节内容会详细讲解电磁阻尼和电磁驱动，这里做简单复习即可 思考2：试从能量守恒的角度解释一下为什么楞次定律总是表现为“阻碍”？ 【教法备注】 楞次定律的实质是能量守恒在电磁感应现象中的一种体现． 物体克服安培力做功，将物体的机械能转化为电路中的电能． 思考3：感生和动生电动势的微观原理有何区别？ 【教法备注】 感生电动势是由变化的磁场产生电场，由电场力来提供电路中的非静电力； 而动生电动势则是在导体棒运动中，由电荷所受洛伦兹力沿棒的分力提供非静电力． 所以二者所用的基本公式虽然相同，但微观原理并不相同． 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 含容棒轨 2022年浙江卷 第20题 10 较难 2021年河北卷 第7题 4 中 2022年全国甲卷 第20题 6 较难 含源棒轨 2023年海南 卷 第1题 4 较易 2023年浙江卷 第10题 4 较难 2020年上海卷 第19题 15 中 线框模型 2023年天津卷 第11题 14 易 目标解读 知识导图    课堂目标 掌握含容、含源棒轨、线框模型的分析思路 能够从力学、运动学、能量、动量角度分析复杂棒轨模型 课程重难点 棒轨模型的加速度和电荷量分析思路，并能画出运动图像解题 从能量、动量角度分析问题 一、含电源单棒模型 如图所示，初速度为零的含电源单棒具有如下特性 （1）安培力： ． （2）加速度： ． （3）运动特点：减小的加速运动，稳定时，速度最大，电流最小． ．（4）能量关系： ． 经典例题 1 .如图所示，竖直向上的匀强磁场垂直于水平面内的导轨，磁感应强度大小为，质量为的导体棒垂直放在间距为的平行导轨上，通过轻绳跨过定滑轮与质量为的物块连接．接通电路，导体棒在安培力作用下从静止开始向左运动，最终以速度匀速运动，此过程中通过导体棒的电量为，上升的高度为．已知电源的电动势为，重力加速度为．不计一切摩擦和导轨电阻，求： ( 1 )当导体棒匀速运动时，产生的感应电动势的大小． ( 2 )当导体棒匀速运动时，棒中电流大小及方向． ( 3 )上升高度的过程中，回路中产生的焦耳热． 【答案】 (1) (2)； (3) 【解析】 (1)当导体棒匀速运动时，产生的感应电动势的大小为： ． (2)当导体棒匀速运动时，根据平衡条件可得： ． 解得棒中电流大小为： ． 根据左手定则可知电流方向为． (3)根据能量守恒定律可得： ． 所以回路中产生的焦耳热为： ． 2 .如右图所示，电动机通过其转轴上的绝缘细绳牵引一根原来静止的长、质量的导体棒，导体棒紧贴在竖直放置、电阻不计的金属框架上，导体棒的电阻，磁感应强度的匀强磁场垂直于导体框架所在平面．当导体棒在电动机牵引下上升时，获得稳定速度，此过程中导体棒产生的热量．电动机工作时，电压表、电流表的读数分别为和，电动机的内阻．不计一切摩擦，取，求： ( 1 )在导体棒上升过程中，通过导体棒的电流方向和受到的磁场力的方向． ( 2 )导体棒所能达到的稳定速度是多少． ( 3 )导体棒从静止到稳定速度的时间是多少． 【答案】 (1)金属棒上电流方向：流向；磁场力方向：垂直于金属棒竖直向下 (2) (3) 【解析】 (1)金属棒上电流方向：流向；磁场力方向：垂直于金属棒竖直向下． (2)受力分析： 根据感应电动势公式：， 根据欧姆定律：， 根据安培力公式：， 根据平衡条件：， 根据能量守恒：， 代入数据解得：． (3)根据能量守恒 ， ， 解得：． 题型总结 1.安培力分析： 2.加速度分析： 3.能量分析： 【教法备注】 详见知识点讲解部分 巩固练习 3 .光滑的水平长直轨道放在磁感应强度为的匀强磁场中，轨道宽，一导体棒长也为，质量为，电阻，它与导轨接触良好．当开关与接通时，电源可提供恒定的电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与接通时，电阻，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求： ( 1 )当棒中电流由流向时，棒的加速度的大小和方向是怎样的； ( 2 )当开关始终接，要想在最短时间内使棒向左移动而静止，则棒的最大速度是多少； ( 3 )要想棒在最短时间内向左移动而静止，则棒中产生的焦耳热是多少． 【答案】 (1)，方向向右 (2) (3) 【解析】 (1)当电流从流向时，由左手定则可判断安培力方向向右，故加速度方向向右．根据牛顿第二定律有 代入数据可得 (2)开关始终接时，电流从流向，经过时间后电流变为从流向，再经时间速度减为零，前 s，则有 后s，则有 根据 联立解得 (3)开关先接端一段时间，电流由流向，再接到端一段时间，再接到端一段时间，电流由流向，最后接到端使导体棒处于静止状态． 在第一段时间内，有 在第二段时间内，由动量定理得 且 则有 第二段时间末的加速度与第三段时间相同，则第三段时间， 又 解得 故 4 .直流电动机是常见的用电器，其原理可简化为如图所示的情景．在竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场中，直流电源与间距为的两根足够长的光滑平行金属轨道、连接，整个装置固定在水平面内，导轨电阻不计．质量为的金属导体棒垂直放在轨道上，且与轨道接触良好．电源电动势为，内阻为，导体棒电阻为．闭合开关，导体棒从静止开始向右运动，并通过光滑定滑轮提升质量为的重物． ( 1 )求闭合开关的瞬间，导体棒受到的安培力． ( 2 )导体棒切割磁感线运动时会产生感应电动势，该电动势总是削弱电源电动势的作用，因此称为反电动势，其大小可以表示为． 请选取匀速提升重物的过程，结合能量转化与守恒定律证明：电路中的电流． ( 3 )重物从静止开始向上提升，当重物提升高度为时，导体棒速率为，计算此过程安培力做的总功． 【答案】 (1)； 方向：平行导轨向右 (2)匀速运动时，任取一段时间，由能量转化关系得： ， ， 因为， 所以， 即：， 因为， 所以 (3) 【解析】 (1)开关闭合瞬间重物的加速度最大 此时， ， 方向：平行导轨向右． 故答案为：； 方向：平行导轨向右． (2)匀速运动时，任取一段时间，由能量转化关系得： ， ， 因为， 所以， 即：， 因为， 所以． 故答案为： 匀速运动时，任取一段时间，由能量转化关系得： ， ， 因为， 所以， 即：， 因为， 所以． (3)对棒，， 对重物，， 解得：． 故答案为：． 5 .如图所示，在倾角为的斜面上，固定一宽度为的足够长平行金属光滑导轨，在导轨上端接入电源和滑动变阻器．电源电动势为，内阻为．一质量的金属棒与两导轨垂直并接触良好．整个装置处于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为．导轨与金属棒的电阻不计，取． ( 1 )如要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器接入到电路中的阻值是多少． ( 2 )如果拿走电源，直接用导线接在两导轨上端，滑动变阻器阻值不变化，求金属棒所能达到的最大速度值． ( 3 )在第（2）问中金属棒达到最大速度前，某时刻的速度为，求此时金属棒的加速度大小． 【答案】 (1)  (2) (3) 【解析】 (1)由于金属棒静止在金属轨道上受力平衡，如图所示． 安培力 得 设变阻器接入电路的阻值为R，根据闭合电路欧姆定律 联立解得 ． (2)金属棒达到最大速度时，将匀速下滑，此时安培力大小、回路中电流大小应与上面情况相同，即金属棒产生的电动势 由 得． (3)金属棒速度为时，产生的电动势 电流为 金属棒受到的安培力为 金属棒的加速度为． 学生总结 真题演练 6 .如图，足够长的光滑导轨间距、电阻不计，左端接有一电动势的电源，系统处于竖直向下的匀强磁场中．闭合电键后，质量、长度等于导轨间距的金属棒由静止开始运动，回路电流逐渐减小，稳定后棒的感应电动势等于，回路电流为零．从电键闭合到棒达到稳定运动的过程中电源提供的能量，电源、金属棒产生的焦耳热分别为，． ( 1 )求电源内阻与金属棒电阻的比值． ( 2 )求棒稳定运动时的速度大小和磁感应强度大小． ( 3 )分析说明电键闭合后棒的运动情况及能量转化关系． 【答案】 (1) (2)， (3)电键闭合后金属棒中有电流，棒受到安培力作用而向右运动，此时棒中产生由指向的感应电动势，回路电流减小，棒所受安培力减小，所以棒的加速度减小，棒做的是加速度逐渐减小的加速运动，最后达到匀速．电源提供的能量一部分在电路中转化为内能，另一部分转化为棒的动能 【解析】 (1)、，所以． (2)，解得；，解得． (3)电键闭合后棒中有电流，棒受到安培力作用而向右运动，此时棒中产生由指向的感应电动势，回路电流减小，棒所受安培力减小，所以棒的加速度减小，棒做的是加速度逐渐减小的加速运动，最后达到匀速．电源提供的能量一部分在电路中转化为内能，另一部分转化为棒的动能． 二、含电容单棒模型 （一）给定初速度的含容棒轨模型 1.力学分析：为阻力，， 棒减速, 减小， 电容器被充电．渐大，阻碍电流，当 时，，，棒匀速运动． 2.运动分析：3.能量分析 ：杆减少的动能转化为电场能、热能4.动量分析 ：安培力冲量，使杆动量减少． （二）给定外力的含容棒轨模型 1.力学分析： 杆加速，经过一段时间后，电动势：                     ；  电荷量：                      ； 电流：                         ； 结合牛顿第二定律分析受力：                                            ； 加速度：                            棒做                    运动 2.能量分析：做功带来的能量转化为杆的动能、热能和电场能：3.动量分析： 外力和安培力冲量，使杆动量增加． 【教法备注】 杆加速，经，电动势，通过电容器的电荷量， 电流，，，做匀加速运动． 经典例题 7 .如图．两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为，间距为．导轨上端接有一平行板电容器，电容为．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为．方向垂直于导轨平面．在导轨上放置质量为的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为．忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： ( 1 )电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系． ( 2 )金属棒的速度大小随时间变化的关系． 【答案】 (1)  (2) 【解析】 (1)设金属棒下滑的速度大小为，则感应电动势为，平行板电容器两极板之间的电势差为， 设此时电容器极板上积累的电荷量为，按定义有，联立得． (2)动力学观点 设金属棒的速度大小为时经历的时间为，通过金属棒的电流为．金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为； 设在时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有，也是平行板电容器在时间间隔内增加的电荷量． ，式中，为金属棒的速度变化量．按定义有，金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为 ，式中，是金属棒对于导轨的正压力的大小，有； 金属棒在时刻的加速度方向沿斜面向下，设其大小为，根据牛顿第二定律有， 联立得，由此式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．时刻金属棒的速度大小为． 动量观点 设金属棒的速度大小为时经历的时间为．通过金属棒的电流为， 由动量定理有，其中，解得． 8 .能的转化与守恒是自然界普遍存在的规律，如：电源给电容器的充电过程可以等效为将电荷逐个从原本电中性的两极板中的一个极板移到另一个极板的过程．在移动过程中克服电场力做功，电源的电能转化为电容器的电场能．实验表明：电容器两极间的电压与电容器所带电量如图所示． ( 1 )对于直线运动，教科书中讲解了由图像求位移的方法．请你借鉴此方法，根据电容器的图像，若电容器电容为，两极板间电压为，求电容器所储存的电场能． ( 2 )如图所示，平行金属框架竖直放置在绝缘地面上．框架上端接有一电容为的电容器．框架上一质量为、长为的金属棒平行于地面放置，离地面的高度为．磁感应强度为的匀强磁场与框架平面相垂直．现将金属棒由静止开始释放，金属棒下滑过程中与框架接触良好且无摩擦．开始时电容器不带电，不计各处电阻．求 ．金属棒落地时的速度大小． ．金属棒从静止释放到落到地面的时间． 【答案】 (1) (2)； 【解析】 (1)由功能关系可知克服电场力做的功等于产生的电场能，由图可知在图像中，图像所围面积即为克服电场力所做的功即 又有电容定义式 两式联立得 电容器储存的电场能为． (2)设导体棒落地的速度为，此时导体棒切割磁感线产生动生电动势，动生电动势大小为 电容器储存的电场能为 由动能定理得 解得 导体棒下落过程中受安培力和重力，由动量定理可知 解得． 题型总结 当金属棒向前运动切割磁感线时，会产生动生电动势，电容器被充电 金属棒中有电流流动而受到安培力做减速运动，而电容器因为充电使得两端电压逐渐变大 当金属棒产生的动生电动势与电容器两端的电压相等时，金属棒开始做匀速运动 巩固练习 9 .两根光滑的长直金属导轨、平行置于同一水平面内，导轨间距为，电阻不计，、处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为，电容器的电容为．长度也为、阻值同为的金属棒垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为、方向竖直向下的匀强磁场中．在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在运动距离为的过程中，整个回路中产生的焦耳热为．求 ( 1 )运动速度的大小． ( 2 )电容器所带的电荷量． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)设上产生的磁感电动势为，回路中的电流为，运动距离所用时间为，则有 　① 　② 　③ 　④ 由上述方程得　⑤ (2)设电容器两极板间的电势差为，则有　⑥ 电容器所带电荷量　⑦ 解得　⑧ 10 .如图所示，在竖直向下的磁感应强度为 B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道 MN、 PQ固定在水平面内，相距为 L．一质量为 m的导体棒 ab垂直于 MN、 PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计。（1）如图所示，若轨道左端 MP间接一阻值为 R的电阻，导体棒在水平向右的恒力 F的作用下由静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。（2）如图所示，若轨道左端 MP间接一电动势为 E、内阻为 r的电源和一阻值为 R的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。（3）如图所示，若轨道左端 MP间接一电容器，电容器的电容为 C，导体棒在水平向右的恒力 F的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中的加速度的大小。 【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）导体棒切割磁感线达到最大速度时 又 解得 （2）导体棒达到最大速度 vm时，棒中没有电流。电源的路端电压 电源与电阻所在回路的电流 联立解得 （3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等 则 电容器所带的电量 则 根据 可得 根据牛顿定律 联立可知 11 .如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器）、定值电阻．电容器（原来不带电）和开关相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为，一质量为，电阻不计的金属棒横跨在导轨上．已知电源电动势为，内阻为，电容器的电容为，定值电阻的阻值为，不计导轨的电阻． ( 1 )当接时，金属棒在磁场中恰好保持静止，求接入电路的滑动变阻器阻值． ( 2 )当接后，金属棒从静止开始下落，下落距离时达到稳定速度，求稳定速度的大小和金属棒从静止到稳定速度所需的时间． ( 3 )将开关接到，让金属棒由静止释放，设电容器不漏电，电容器不会被击穿． ① 通过推导说明棒此后的运动是匀加速运动． ② 求下落距离时，电容器储存的电能． 【答案】 (1) (2)， (3)①见解析 ② 【解析】 (1)接到位置时，有， 由平衡条件得，得， 联立得． (2)接到位置时，稳定时，有， 根据牛顿第二定律得，得 由得 可得，所以时间． (3)①接到位置时，棒做匀加速运动 电流为 由牛顿第二定律得 得 可见棒的加速度不变，做匀加速直线运动． ②设下落距离时的速度， 则， ， 此时电容器储存的电能为，则得． 12 .和为两竖直放置的平行光滑长直金属导轨，两导轨间的距离为．在导轨的下部有垂直于导轨向里的匀强磁场，磁感应强度为．金属棒的长度为、质量为、电阻可忽略不计．在以下讨论中，假设导轨足够长，磁场区域足够大，金属棒与导轨垂直并良好接触，导线和各接触处的电阻不计，电路的电感、空气的阻力可忽略，已知重力加速度为． ( 1 )如图甲所示，当在导轨的端通过导线将阻值为的定值电阻连接，在时无初速度地释放金属棒，求金属棒所能达到的最大速度的大小． ( 2 )如图乙所示，当在导轨的端通过导线将电容为、击穿电压为、正对面积为、极板间可认为是真空、极板间距为的平行板电容器连接，在时无初速度地释放金属棒． ① 求电容器达到击穿电压所用的时间． ② 金属棒下落的过程中，速度逐渐变大，感应的电动势逐渐变大，电容器极板上的电荷量逐渐增加，两极板间存储的电场能也逐渐增加．单位体积内所包含的电场能称为电场的能量密度．已知平行板电容器的电容的大小可表示为，为真空中的介电常数．证明：平行板电容器两极板间的空间内的电场能量密度与电场强度的平方成正比，并求出比例系数．结果用和一些数字的组合表示． 【答案】 (1) (2)① ② 【解析】 (1)当金属棒匀速运动时，金属棒受到的安培力和重力是一对平衡力，即 又因为. 所以，金属棒此时的速度大小为 (2)①在电容器达到击穿电压前，设任意时刻，流过金属棒的电流为，由牛顿第二定律，金属棒的加速度满足 设在的时间内，金属棒的速度，电容器两端的电压、电容器的带电量，由电流的定义、电量电压和电容间的关系、电磁感应定律以及加速度的定义得 将此式和上式联立得 可见，金属棒做初速度为的匀加速直线运动，当电容器达到击穿电压时，金属棒的速度为， 所以，电容器达到击穿电压所用的时间为． ②当电容器两极板间的电荷量增加无穷小量时，极板间的电压可认为始终为，增加的电场能可用图1中左边第个阴影部分的面积表示；同理，当电容器两极板间的电荷量增加无穷小量时，极板间的电压可认为始终为，增加的电场能可用图1中第个阴影部分的面积表示；依次类推，所以在图2中，阴影部分的面积表示电容器的带电量为、两端电压为时，两极板间电场能的大小，所以 根据题意有 将、、，带入上式，整理得. 所以，能量密度，与电场强度的平方成正比，且比例系数为． 变式训练 13 .电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为，电容器的电容为 ．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为，电阻不计．炮弹可视为一质量为、电阻为的金属棒，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关接，使电容器完全充电．然后将接至，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出），开始向右加速运动．当上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，达到最大速度，之后离开导轨．求： ( 1 )磁场的方向． ( 2 )刚开始运动时加速度的大小． ( 3 )离开导轨后电容器上剩余的电荷量是多少． 【答案】 (1)垂直于导轨平面向下． (2) (3) 【解析】 (1)电容器上端带正电，通过的电流方向向下，由于向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下． (2)电容器完全充电后，两极板间电压为，当开关接时，电容器放电，设刚放电时流经的电流为，有 ① 设受到的安培力为，有 ② 由牛顿第二定律有 ③ 联立①②③式得 ④ (3)当电容器充电完毕时，设电容器上电量为，有 ⑤ 开关接后，开始向右加速运动，速度达到最大值时，设上的感应电动势为，有 ⑥ 依题意有⑦ 设在此过程中的平均电流为，上受到的平均安培力为，有 ⑧ 由动量定理，有 ⑨ 又⑩ 联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得 学生总结 真题演练 14 .如图所示，水平固定一半径的金属圆环，长均为，电阻均为的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴上，并随轴以角速度匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为的匀强磁场．圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容的电容器，通过单刀双掷开关可分别与接线柱、相连．电容器左侧宽度也为、长度为、磁感应强度大小为的匀强磁场区域．在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒，磁场区域外有间距也为的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框．棒长度和“［”形框的宽度也均为、质量均为，与长度均为，已知，，、方向均为竖直向上；棒和“［”形框的边的电阻均为，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直．开始时开关和接线柱接通，待电容器充电完毕后，将从拨到，电容器放电，棒被弹出磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框，此时将与断开，已知框在倾斜轨道上重心上升后返回进入磁场． ​​ ( 1 )求电容器充电完毕后所带的电荷量，哪个极板（或）带正电？ ( 2 )求电容器释放的电荷量； ( 3 )求框进入磁场后，边与磁场区域左边界的最大距离． 【答案】 (1)；板； (2) (3) 【解析】 (1)开关和接线柱接通，电容器充电过程，对绕转轴转动的棒，由右手定则可知，其切割磁感线产生的电流沿径向向外，即边缘为电源正极，圆心为负极，则板带正电；根据法拉第电磁感应定律可知 则电容器的电量为 (2)电容器放电过程由动量守恒得， 棒被弹出磁场后与“［”形框粘在一起的过程有 对框的上滑过程有 联立解得 (3)设金属框在磁场中减速滑行的总路程为，由动量定理得 可得 因此金属框会有一段磁通量不变的匀速运动，匀速运动的距离为 则 三、线框模型 以动生为例若一正方形单砸金属框以初速度 进入匀强磁场，线框总电阻为R，边长为L，则： （一）求进磁场时ab两端电势差 1.明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路 ． 2.画等效电路图，分清内、外电路 ． 3.用法拉第电磁感应定律 或 确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向 ．注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极 ． 4.运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点 等公式联立求解 ． （二）求进磁场阶段流经导体横截面电量 方法一：公式法 ． 方法二：动量定理 （三）求线框进磁场阶段运动状态 若线 框进入 磁场时， ，则 线框匀速进入 ． 若 ，则 ， ， ，直至 ， 达到最大值 ． ①若线框未完全进入， 达到最大，则 ； ②若线框完全进入磁场时， 未达到最大，则满足 ， 转化为内能 若 ， ， ， ，直至 ， 达到最小值 ． ①若线框未完全进入， 达到最小，则 ； ②若线框完全进入磁场时， 未达到最小，则满足 ， 转化为内能 经典例题 15 .如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有一个用均匀导线围成的等边三角形线框，其边长为，总电阻为．边界的右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．线框保持以恒定速度向右进入磁场，其中边总保持与平行．在线框进入磁场的过程中．求： ( 1 )线框边刚进入磁场时、两点的电势差． ( 2 )线框中产生的电动势随时间变化的关系式（自边刚进入磁场时计时）． ( 3 )在线框进入磁场的过程中，通过导线截面的总电量． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)线框边刚进入磁场时产生的感应电动势为∶，根据右手定则可知端为高电势，根据闭合电路欧姆定律可得、两点的电势差为：． (2)线框在时刻进入磁场的水平长度为：， 此时有效切割长度为：， 线框产生的感应电动势为： ． (3)线框进入磁场过程中，平均感应电动势为： ； ；平均感应电流为：， 根据电荷量的计算公式可得： ． 16 .如图甲所示，是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为，电阻为，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，和是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的边平行，磁场方向与线框平面垂直．现金属线框由距的某一高度从静止开始下落，如图乙是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的速度时间图像，图像中坐标轴上所标出的字母均为已知量．求： ( 1 )金属框的边长． ( 2 )磁场的磁感应强度． ( 3 )金属线框在整个下落过程中所产生的总焦耳热． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)由图像可知，金属框进入磁场过程中是做匀速直线运动，速度为，运动时间为，故金属框的边长：． (2)在金属框进入磁场的过程中，金属框所受安培力等于重力， 则得：，，， 又， 联立解得：． (3)金属框在进入磁场过程中金属框产生的热为，重力对其做正功，安培力对其做负功，由能量守恒定律得：， 金属框在离开磁场过程中金属框产生的热为，重力对其做正功，安培力对其做负功，由能量守恒定律得：故． 17 .如图甲所示，在一倾角为的粗糙绝缘面上，静止地放置着一个正方形单匝线圈，、分别为、的中点，线圈总电阻、总质量、正方形边长．如果向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑．现在将线圈静止放在斜面上后，在虚线以下的区域中，加上垂直斜面向内的、磁感应强度大小按图乙中所示规律变化的磁场（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），，，求：   　　 ( 1 )时刻，线圈中的感应电流的大小． ( 2 )从时刻开始经过多少时间线圈刚要开始运动？ ( 3 )从时刻开始到线圈刚要运动，线圈中产生的热量． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)根据图乙可知：磁感应强度均匀增加，其变化率为：，由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势恒定不变，大小为：，解得：，根据闭合电路欧姆定律可得，线圈中电流恒定，大小为：，解得：，所以时刻，线圈中的感应电流的大小为． (2)由楞次定律判断可知：线圈中的感应电流方向为逆时针方向，根据左手定则：、所受安培力方向相反，且大小相等，合力为零，线圈边受到的安培力方向沿斜面向上，当线圈刚要开始运动时，线圈受到摩擦力为最大静摩擦力，且方向沿斜面向下，由平衡条件：，没磁场时向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑，有： ，解得：，由乙图可得随变化的函数关系为：，解得：． (3)线圈刚要运动之前，线圈中电流恒定，由焦耳定律得： ． 题型总结 解答电磁感应中的电路问题的一般步骤： ① 明确切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源，其他部分为外电路； ② 用右手定则或楞次定律确定感应电流的方向； ③ 画出等效电路图； ④ 结合闭合电路欧姆定律及串并联电路的规律等相关知识进行解答． 解决电磁感应现象中的力学问题的一般思路 ① 用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向． ② 求回路中的电流． ③ 分析研究导体的受力情况（包括安培力，用左手定则确定其方向）． ④ 若导体处于平衡状态（静止或做匀速直线运动），则根据平衡条件合外力等于零列式分析求解；若导体处于非平衡状态（加速度不为零），则根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析求解． 巩固练习 18 .如图所示，用质量为、电阻为的均匀导线做成边长为的单匝正方形线框，线框每一边的电阻都相等．将线框置于光滑绝缘的水平面上．在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场，磁场边界间的距离为，磁感应强度为，在垂直边的水平拉力作用下，线框以垂直磁场边界的速度匀速穿过磁场．在运动过程中线框平面水平，且边与磁场的边界平行．求 ( 1 )线框边刚进入磁场时，线框中感应电流的大小． ( 2 )线框边刚进入磁场时，两点间的电压． ( 3 )在线框从边刚进入磁场到边刚穿出磁场的过程中，水平拉力对线框所做的功． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)线框边在磁场中运动时，感应电动势 线框中的感应电流  (2)两点间的电压 (3)只有边在磁场中时，线框运动的时间  此过程线框中产生的焦耳热 只有边在磁场中运动时线框中产生的焦耳热 根据能量守恒定律得水平外力做功 19 .如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，、边长均为，边长为．匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，边离磁场上边界的距离为，线框由静止释放，从边进入磁场直到边进入磁场前，线框做匀速运动．在边离开磁场后，、边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且、边保持水平，重力加速度为．求： ( 1 )线框、边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是边刚进入磁场时的几倍． ( 2 )若磁场上下边界间的距离，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)设边刚进入磁场时的速度大小为， 根据平衡条件可得：，其中， 联立解得：， 设线框、边将离开磁场时的速度大小为， 根据平衡条件可得：，其中， 联立解得：， 所以． (2)线框自由下落过程中，根据动能定理可得： ， 解得：，则， 从边刚进入磁场到线框、边刚离开磁场过程中，设克服安培力做功为， 根据动能定理可得：， 根据功能关系可知，产生的热量为：． 20 .如图甲所示，为一足够长的光滑绝缘斜面，范围内存在方向垂直于斜面的匀强磁场，磁场边界、与斜面底边（在水平面内）平行．一正方形金属框放在斜面上，边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到边离开磁场的过程中，其运动的图象如图乙所示．已知金属框电阻为，质量为，重力加速度为，图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求： ( 1 )斜面倾角的正弦值和磁场区域的宽度． ( 2 )金属框边到达磁场边界前瞬间的加速度． ( 3 )金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热． 【答案】 (1)， (2)，方向沿斜面向上 (3) 【解析】 (1)由题图乙可知，在时间内金属框运动的加速度，设斜面的倾角，由牛顿第二定律有，解得，在时间内金属框匀速进入磁场，则，在时间内，金属框运动位移，则磁场的宽度． (2)在时刻金属框边到达边界时的速度为，设此时加速度大小为，边切割磁场产生的电动势，受到的安培力，由牛顿第二定律，由金属框进入磁场时，解得，加速度方向沿斜面向上． (3)金属框从时刻进入磁场到时刻离开磁场的过程中，由功能关系，得，解得． 21 .小明同学设计了一个“电磁天平”，如图1所示，等臂天平的左臂为挂盘，右臂挂有矩形线圈，不接外电源，两臂平衡．线圈的水平边长，竖直连长，匝数为．线圈的下边处于匀强磁场内，磁感应强度，方向垂直线圈平面向里．线圈中通有可在范围内调节的电流，挂盘放上待测物体后，调节线圈中电流使得天平平衡，测得电流即可测得物体的质量．（重力加速度取） ( 1 )为使电磁天平的量程达到，线圈的匝数至少为多少． ( 2 )进一步探究电磁感应现象，另选匝、形状相同的线圈，总电阻，不接外电电流，两臂平衡，如图2所示，保持不变，在线圈上部另加垂直纸面向外的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀变大，磁场区域宽度．当挂盘中放质量为的物体时，天平平衡，求此时磁感应强度的变化率． 【答案】 (1)匝 (2) 【解析】 (1)线圈受到安培力①， 天平平衡②， 代入数据得匝③． (2)由电磁感应定律得④ ⑤ 由欧姆定律得⑥ 线圈受到安培力⑦ 天平平衡⑧ 代入数据可得⑨． 变式训练 22 .如图所示，线圈焊接车间的传送带不停地传送边长为，质量为，电阻为的正方形单匝金属线圈，线圈与传送带之间的滑动摩擦系数．传送带总长，与水平面的夹角为，始终以恒定速度匀速运动．在传送带的左端虚线位置将线圈无初速地放到传送带上，经过一段时间，线圈达到与传送带相同的速度，线圈运动到传送带右端掉入材料筐中（图中材料筐未画出）．已知当一个线圈刚好开始匀速运动时，下一个线圈恰好放到传送带上．线圈匀速运动时，相邻两个线圈的间隔为．线圈运动到传送带中点开始以速度通过一固定的匀强磁场，磁感应强度为、磁场方向垂直传送带向上，匀强磁场区域宽度与传送带相同，沿传送带运动方向的长度为．重力加速度．求： ( 1 )正方形线圈的边长． ( 2 )每个线圈通过磁场区域产生的热量． ( 3 )在一个线圈通过磁场的过程，电动机对传送带做功的功率． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)每个线圈从投放到相对传送带静止，运动的距离是一样的． 设投放时间间隔为，则图如图所示． 在时间内，传送带位移为 线圈加速过程位移为 可得，线圈加速过程： 由 可得：；； 线圈匀速运动时，相邻两个线圈的间隔为与线圈的边长相等， 由图可以看出线圈的边长与线圈加速过程走过的距离相同， 所以线圈的边长为． (2)每个线圈穿过磁场过程中有电流的运动距离为 ；； 产生热量 解得． (3)在一个线圈通过磁场的过程：传送带运动距离， 所用时间 一个线圈加速过程摩擦产生的热为 一个线圈加速过程获得动能 一个线圈通过磁场的过程中焦耳热 一个线圈运动一个距离重力势能增加 在一个线圈通过磁场的过程中，电动机对传送带做功的功率有得． 分析某一导线框穿过磁场过程知：，其中有的时间传送带上有个导线框，其中个相对滑动，个相对静止，则该段时间内电动机做功为： 其中有的时间传送带上有个导线框，其中个相对滑动，个相对静止，则在该段时间内电动机做功为：， 由．得：． 故答案为：． 23 .如图1所示，质量为的单匝正方形金属线框用绝缘细线悬挂于天花板上且处于静止状态，线框平面在纸面内，线框的边长为，电阻为，线框的下半部分（总面积的一半）处于垂直纸面的有界磁场中，磁场的磁感应强度按图2所示规律变化，垂直纸面向里为正，线框始终不动，重力加速度为，图中为已知量，求：（1）时刻，细线中的拉力多大；（2）时间内，线框中的平均电动势多大；（3）线框中感应电流的电功率多大。    【答案】 （1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）时刻 因此感应电流为零，安培力为零，根据力的平衡，悬线的拉力 （2）时间内 根据法拉第电磁感应定律，这段时间内平均电动势 （3）由于磁感应强度随时间按余弦规律变化，则产生的电流为正弦交流电，则电动势的最大值 有效值 则电功率 真题演练 24 .如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度．初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域．当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速．已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取，．求 ( 1 )金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小． ( 2 )金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数． ( 3 )导体框匀速运动的距离． 【答案】 (1) (2)； (3) 【解析】 (1)金属棒匀加速过程中，有…①， 进入磁场后，其感应电动势…②， 受安培力…③， 其中……④， 解得…⑤． (2)金属棒匀速运动过程中相对于导体框向上运动，摩擦力向下，有…⑥， 对于导体框，有…⑦， 导体框进入磁场前，有…⑧， 导体框匀速时，其受力…⑨， 其中，…⑩， 解得， (3)导体框匀速运动时，对金属棒，有 ， 此间，导体框的位移为 …⑮， 解得…⑯． 25 .如图，有一正方形线框，质量为，电阻为，边长为，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁感线垂直纸面向里，且线框中磁区面积为线框面积一半，磁感应强度变化（），已知重力加速度，求：     ( 1 )感应电动势． ( 2 )线框开始向上运动的时刻 ． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)根据法拉第电磁感应定律有 ． (2)由图可知线框受到的安培力 当线框开始向上运动时有 解得 ． 四、课堂总结    五、出门测 26 .(多选)如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 C的电容器和阻值为 R的电阻。质量为 m、阻值也为 R的导体棒 MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为 Q，合上开关 S后，（　　） A.通过导体棒电流的最大值为 B.导体棒 MN向右先加速、后匀速运动 C.导体棒速度最大时所受的安培力也最大 D.电阻 R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热 【答案】 AD 【解析】 MN在运动过程中为非纯电阻， MN上的电流瞬时值为 A．当闭合的瞬间，，此时 MN可视为纯电阻 R，此时反电动势最小，故电流最大 故A为正确选项；B．当时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与 MN及 R构成回路，由于一直处于通路的形式，由能量守恒可知，最后 MN终极速度为零， 故B为错误选项；C． MN在运动过程中为非纯电阻电路， MN上的电流瞬时值为 当时， MN上电流瞬时为零，安培力为零此时， MN速度最大，故C为错误选项；D． 在 MN加速度阶段，由于 MN反电动势存在，故 MN上电流小于电阻 R 上的电流，电阻 R消耗电能大于 MN上消耗的电能（即），故加速过程中，；当 MN减速为零的过程中，电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻 R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的电流大，综上分析可知全过程中电阻 R上的热量大于导体棒上的热量，故D为正确选项。故答案为AD。 27 .如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为．导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处点为坐标原点．狭缝右侧两导轨与轴夹角均为，一电容为的电容器与导轨左端相连．导轨上的金属棒与轴垂直，在外力作用下从点开始以速度向右匀速运动，忽略所有电阻．下列说法正确的是（    ） A.通过金属棒的电流为 B.金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为 C.金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电 D.金属棒运动过程中，外力做功的功率恒定 【答案】 A 【解析】 金属棒切割磁场产生的电动势给电容器充电，电动势大小，则电容器极板上的电荷量；电荷量随时间均匀增大，所以电流，故A正确，B错误； 由右手定则可知导体棒中电流向上，则电容器的上极板带正电，故C错误； 金属棒所受外力与安培力平衡，安培力及外力的大小（  不变，随时间增大而增大）随时间增大而增大，又因金属棒速度保持不变，故外力的功率，可知功率也随时间增大而增大，故D错误； 故选A． 28 .如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以为原点、水平向右为正方向建立轴，在区域内存在方向竖直向上的匀强磁场．桌面上有一边长、电阻的正方形线框，当平行于磁场边界的边进入磁场时，在沿方向的外力作用下以的速度做匀速运动，直到边进入磁场时撤去外力．若以边进入磁场时作为计时起点，在内磁感应强度的大小与时间的关系如图2所示，在内线框始终做匀速运动．     ( 1 )求外力的大小． ( 2 )在内存在连续变化的磁场，求磁感应强度的大小与时间的关系． ( 3 )求在内流过导线横截面的电荷量． 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)，． 回路电流． 安培力． 外力． (2)匀速出磁场，电流为，磁通量不变． 时，，磁通量． 时刻，磁通量． 得． (3)电荷量． 电荷量． ，流过导体横截面的电荷量为， 总电荷量． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 09.电磁感应计算专项复习-含容含源线框 课前检测 思考1：电磁感应中的安培力是做正功还是负功？ 思考2：试从能量守恒的角度解释一下为什么楞次定律总是表现为“阻碍”？ 思考3：感生和动生电动势的微观原理有何区别？ 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 含容棒轨 2022年浙江卷 第20题 10 较难 2021年河北卷 第7题 4 中 2022年全国甲卷 第20题 6 较难 含源棒轨 2023年海南 卷 第1题 4 较易 2023年浙江卷 第10题 4 较难 2020年上海卷 第19题 15 中 线框模型 2023年天津卷 第11题 14 易 目标解读 知识导图    课堂目标 掌握含容、含源棒轨、线框模型的分析思路 能够从力学、运动学、能量、动量角度分析复杂棒轨模型 课程重难点 棒轨模型的加速度和电荷量分析思路，并能画出运动图像解题 从能量、动量角度分析问题 一、 含电源单棒模型 如图所示，初速度为零的含电源单棒具有如下特性 （1） 安培力：       ． （2） 加速度： ． （3） 运动特点：减小的加速运动，稳定时，速度最大，电流最小． ． （4）能量关系：       ． 经典例题 1 .如图所示，竖直向上的匀强磁场垂直于水平面内的导轨，磁感应强度大小为，质量为的导体棒垂直放在间距为的平行导轨上，通过轻绳跨过定滑轮与质量为的物块连接．接通电路，导体棒在安培力作用下从静止开始向左运动，最终以速度匀速运动，此过程中通过导体棒的电量为，上升的高度为．已知电源的电动势为，重力加速度为．不计一切摩擦和导轨电阻，求： ( 1 )当导体棒匀速运动时，产生的感应电动势的大小． ( 2 )当导体棒匀速运动时，棒中电流大小及方向． ( 3 )上升高度的过程中，回路中产生的焦耳热． 2 .如右图所示，电动机通过其转轴上的绝缘细绳牵引一根原来静止的长、质量的导体棒，导体棒紧贴在竖直放置、电阻不计的金属框架上，导体棒的电阻，磁感应强度的匀强磁场垂直于导体框架所在平面．当导体棒在电动机牵引下上升时，获得稳定速度，此过程中导体棒产生的热量．电动机工作时，电压表、电流表的读数分别为和，电动机的内阻．不计一切摩擦，取，求： ( 1 )在导体棒上升过程中，通过导体棒的电流方向和受到的磁场力的方向． ( 2 )导体棒所能达到的稳定速度是多少． ( 3 )导体棒从静止到稳定速度的时间是多少． 题型总结 1.安培力分析： 2.加速度分析： 3.能量分析： 巩固练习 3 .光滑的水平长直轨道放在磁感应强度为的匀强磁场中，轨道宽，一导体棒长也为，质量为，电阻，它与导轨接触良好．当开关与接通时，电源可提供恒定的电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与接通时，电阻，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求： ( 1 )当棒中电流由流向时，棒的加速度的大小和方向是怎样的； ( 2 )当开关始终接，要想在最短时间内使棒向左移动而静止，则棒的最大速度是多少； ( 3 )要想棒在最短时间内向左移动而静止，则棒中产生的焦耳热是多少． 4 .直流电动机是常见的用电器，其原理可简化为如图所示的情景．在竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场中，直流电源与间距为的两根足够长的光滑平行金属轨道、连接，整个装置固定在水平面内，导轨电阻不计．质量为的金属导体棒垂直放在轨道上，且与轨道接触良好．电源电动势为，内阻为，导体棒电阻为．闭合开关，导体棒从静止开始向右运动，并通过光滑定滑轮提升质量为的重物． ( 1 )求闭合开关的瞬间，导体棒受到的安培力． ( 2 )导体棒切割磁感线运动时会产生感应电动势，该电动势总是削弱电源电动势的作用，因此称为反电动势，其大小可以表示为． 请选取匀速提升重物的过程，结合能量转化与守恒定律证明：电路中的电流． ( 3 )重物从静止开始向上提升，当重物提升高度为时，导体棒速率为，计算此过程安培力做的总功． 5 .如图所示，在倾角为的斜面上，固定一宽度为的足够长平行金属光滑导轨，在导轨上端接入电源和滑动变阻器．电源电动势为，内阻为．一质量的金属棒与两导轨垂直并接触良好．整个装置处于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为．导轨与金属棒的电阻不计，取． ( 1 )如要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器接入到电路中的阻值是多少． ( 2 )如果拿走电源，直接用导线接在两导轨上端，滑动变阻器阻值不变化，求金属棒所能达到的最大速度值． ( 3 )在第（2）问中金属棒达到最大速度前，某时刻的速度为，求此时金属棒的加速度大小． 学生总结 真题演练 6 .如图，足够长的光滑导轨间距、电阻不计，左端接有一电动势的电源，系统处于竖直向下的匀强磁场中．闭合电键后，质量、长度等于导轨间距的金属棒由静止开始运动，回路电流逐渐减小，稳定后棒的感应电动势等于，回路电流为零．从电键闭合到棒达到稳定运动的过程中电源提供的能量，电源、金属棒产生的焦耳热分别为，． ( 1 )求电源内阻与金属棒电阻的比值． ( 2 )求棒稳定运动时的速度大小和磁感应强度大小． ( 3 )分析说明电键闭合后棒的运动情况及能量转化关系． 二、 含电容单棒模型 （一） 给定初速度的含容棒轨模型 1. 力学分析：为阻力，， 棒减速, 减小， 电容器被充电．渐大，阻碍电流，当 时，，，棒匀速运动． 2. 运动分析： 3. 能量分析：                                                                                                                                     4.动量分析：                                                                                                                   （二） 给定外力的含容棒轨模型 1. 力学分析：杆加速，经过一段时间后，电动势：                     ；  电荷量：                      ； 电流：                         ； 结合牛顿第二定律分析受力：                                            ； 加速度：                            棒做                    运动 2.能量分析：做功带来的能量转化为杆的动能、热能和电场能：3.动量分析：外力和安培力冲量，使杆动量增加． 经典例题 7 .如图．两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为，间距为．导轨上端接有一平行板电容器，电容为．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为．方向垂直于导轨平面．在导轨上放置质量为的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为．忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： ( 1 )电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系． ( 2 )金属棒的速度大小随时间变化的关系． 8 .能的转化与守恒是自然界普遍存在的规律，如：电源给电容器的充电过程可以等效为将电荷逐个从原本电中性的两极板中的一个极板移到另一个极板的过程．在移动过程中克服电场力做功，电源的电能转化为电容器的电场能．实验表明：电容器两极间的电压与电容器所带电量如图所示． ( 1 )对于直线运动，教科书中讲解了由图像求位移的方法．请你借鉴此方法，根据电容器的图像，若电容器电容为，两极板间电压为，求电容器所储存的电场能． ( 2 )如图所示，平行金属框架竖直放置在绝缘地面上．框架上端接有一电容为的电容器．框架上一质量为、长为的金属棒平行于地面放置，离地面的高度为．磁感应强度为的匀强磁场与框架平面相垂直．现将金属棒由静止开始释放，金属棒下滑过程中与框架接触良好且无摩擦．开始时电容器不带电，不计各处电阻．求 ．金属棒落地时的速度大小． ．金属棒从静止释放到落到地面的时间． 题型总结 当金属棒向前运动切割磁感线时，会产生动生电动势，电容器被充电 金属棒中有电流流动而受到安培力做减速运动，而电容器因为充电使得两端电压逐渐变大 当金属棒产生的动生电动势与电容器两端的电压相等时，金属棒开始做匀速运动 巩固练习 9 .两根光滑的长直金属导轨、平行置于同一水平面内，导轨间距为，电阻不计，、处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为，电容器的电容为．长度也为、阻值同为的金属棒垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为、方向竖直向下的匀强磁场中．在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在运动距离为的过程中，整个回路中产生的焦耳热为．求 ( 1 )运动速度的大小． ( 2 )电容器所带的电荷量． 10 .如图所示，在竖直向下的磁感应强度为 B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道 MN、 PQ固定在水平面内，相距为 L．一质量为 m的导体棒 ab垂直于 MN、 PQ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计。（1）如图所示，若轨道左端 MP间接一阻值为 R的电阻，导体棒在水平向右的恒力 F的作用下由静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。（2）如图所示，若轨道左端 MP间接一电动势为 E、内阻为 r的电源和一阻值为 R的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动．求经过一段时间后，导体棒所能达到的最大速度的大小。（3）如图所示，若轨道左端 MP间接一电容器，电容器的电容为 C，导体棒在水平向右的恒力 F的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中的加速度的大小。 11 .如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器）、定值电阻．电容器（原来不带电）和开关相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为，一质量为，电阻不计的金属棒横跨在导轨上．已知电源电动势为，内阻为，电容器的电容为，定值电阻的阻值为，不计导轨的电阻． ( 1 )当接时，金属棒在磁场中恰好保持静止，求接入电路的滑动变阻器阻值． ( 2 )当接后，金属棒从静止开始下落，下落距离时达到稳定速度，求稳定速度的大小和金属棒从静止到稳定速度所需的时间． ( 3 )将开关接到，让金属棒由静止释放，设电容器不漏电，电容器不会被击穿． ① 通过推导说明棒此后的运动是匀加速运动． ② 求下落距离时，电容器储存的电能． 12 .和为两竖直放置的平行光滑长直金属导轨，两导轨间的距离为．在导轨的下部有垂直于导轨向里的匀强磁场，磁感应强度为．金属棒的长度为、质量为、电阻可忽略不计．在以下讨论中，假设导轨足够长，磁场区域足够大，金属棒与导轨垂直并良好接触，导线和各接触处的电阻不计，电路的电感、空气的阻力可忽略，已知重力加速度为． ( 1 )如图甲所示，当在导轨的端通过导线将阻值为的定值电阻连接，在时无初速度地释放金属棒，求金属棒所能达到的最大速度的大小． ( 2 )如图乙所示，当在导轨的端通过导线将电容为、击穿电压为、正对面积为、极板间可认为是真空、极板间距为的平行板电容器连接，在时无初速度地释放金属棒． ① 求电容器达到击穿电压所用的时间． ② 金属棒下落的过程中，速度逐渐变大，感应的电动势逐渐变大，电容器极板上的电荷量逐渐增加，两极板间存储的电场能也逐渐增加．单位体积内所包含的电场能称为电场的能量密度．已知平行板电容器的电容的大小可表示为，为真空中的介电常数．证明：平行板电容器两极板间的空间内的电场能量密度与电场强度的平方成正比，并求出比例系数．结果用和一些数字的组合表示． 变式训练 13 .电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为，电容器的电容为 ．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为，电阻不计．炮弹可视为一质量为、电阻为的金属棒，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关接，使电容器完全充电．然后将接至，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出），开始向右加速运动．当上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，达到最大速度，之后离开导轨．求： ( 1 )磁场的方向． ( 2 )刚开始运动时加速度的大小． ( 3 )离开导轨后电容器上剩余的电荷量是多少． 学生总结 真题演练 14 .如图所示，水平固定一半径的金属圆环，长均为，电阻均为的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴上，并随轴以角速度匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为的匀强磁场．圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容的电容器，通过单刀双掷开关可分别与接线柱、相连．电容器左侧宽度也为、长度为、磁感应强度大小为的匀强磁场区域．在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒，磁场区域外有间距也为的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框．棒长度和“［”形框的宽度也均为、质量均为，与长度均为，已知，，、方向均为竖直向上；棒和“［”形框的边的电阻均为，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直．开始时开关和接线柱接通，待电容器充电完毕后，将从拨到，电容器放电，棒被弹出磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框，此时将与断开，已知框在倾斜轨道上重心上升后返回进入磁场． ​​ ( 1 )求电容器充电完毕后所带的电荷量，哪个极板（或）带正电？ ( 2 )求电容器释放的电荷量； ( 3 )求框进入磁场后，边与磁场区域左边界的最大距离． 三、 线框模型 以动生为例若一正方形单砸金属框以初速度进入匀强磁场，线框总电阻为R，边长为L，则： （一） 求进磁场时ab两端电势差 1.明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路 ． 2. 画等效电路图，分清内、外电路 ． 3. 用法拉第电磁感应定律 或 确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向 ．注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极 ． 4. 运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点 等公式联立求解 ．        （二） 求进磁场阶段流经导体横截面电量 方法一：公式法                          ． 方法二：动量定理                 （三） 求线框进磁场阶段运动状态 若线 框进入 磁场时， ，则                                                     ． 若 ，则 ， ， ，直至 ， 达到最大值 ． ①若线框未完全进入， 达到最大，则        ； ②若线框完全进入磁场时， 未达到最大，则满足       ， 转化为内能 若 ， ， ， ，直至 ， 达到最小值 ． ①若线框未完全进入， 达到最小，则        ； ②若线框完全进入磁场时， 未达到最小，则满足       ， 转化为内能 经典例题 15 .如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有一个用均匀导线围成的等边三角形线框，其边长为，总电阻为．边界的右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．线框保持以恒定速度向右进入磁场，其中边总保持与平行．在线框进入磁场的过程中．求： ( 1 )线框边刚进入磁场时、两点的电势差． ( 2 )线框中产生的电动势随时间变化的关系式（自边刚进入磁场时计时）． ( 3 )在线框进入磁场的过程中，通过导线截面的总电量． 16 .如图甲所示，是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为，电阻为，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，和是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的边平行，磁场方向与线框平面垂直．现金属线框由距的某一高度从静止开始下落，如图乙是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的速度时间图像，图像中坐标轴上所标出的字母均为已知量．求： ( 1 )金属框的边长． ( 2 )磁场的磁感应强度． ( 3 )金属线框在整个下落过程中所产生的总焦耳热． 17 .如图甲所示，在一倾角为的粗糙绝缘面上，静止地放置着一个正方形单匝线圈，、分别为、的中点，线圈总电阻、总质量、正方形边长．如果向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑．现在将线圈静止放在斜面上后，在虚线以下的区域中，加上垂直斜面向内的、磁感应强度大小按图乙中所示规律变化的磁场（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），，，求：   　　 ( 1 )时刻，线圈中的感应电流的大小． ( 2 )从时刻开始经过多少时间线圈刚要开始运动？ ( 3 )从时刻开始到线圈刚要运动，线圈中产生的热量． 题型总结 解答电磁感应中的电路问题的一般步骤： ① 明确切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源，其他部分为外电路； ② 用右手定则或楞次定律确定感应电流的方向； ③ 画出等效电路图； ④ 结合闭合电路欧姆定律及串并联电路的规律等相关知识进行解答． 解决电磁感应现象中的力学问题的一般思路 ① 用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向． ② 求回路中的电流． ③ 分析研究导体的受力情况（包括安培力，用左手定则确定其方向）． ④ 若导体处于平衡状态（静止或做匀速直线运动），则根据平衡条件合外力等于零列式分析求解；若导体处于非平衡状态（加速度不为零），则根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析求解． 巩固练习 18 .如图所示，用质量为、电阻为的均匀导线做成边长为的单匝正方形线框，线框每一边的电阻都相等．将线框置于光滑绝缘的水平面上．在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场，磁场边界间的距离为，磁感应强度为，在垂直边的水平拉力作用下，线框以垂直磁场边界的速度匀速穿过磁场．在运动过程中线框平面水平，且边与磁场的边界平行．求 ( 1 )线框边刚进入磁场时，线框中感应电流的大小． ( 2 )线框边刚进入磁场时，两点间的电压． ( 3 )在线框从边刚进入磁场到边刚穿出磁场的过程中，水平拉力对线框所做的功． 19 .如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，、边长均为，边长为．匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，边离磁场上边界的距离为，线框由静止释放，从边进入磁场直到边进入磁场前，线框做匀速运动．在边离开磁场后，、边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且、边保持水平，重力加速度为．求： ( 1 )线框、边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是边刚进入磁场时的几倍． ( 2 )若磁场上下边界间的距离，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少． 20 .如图甲所示，为一足够长的光滑绝缘斜面，范围内存在方向垂直于斜面的匀强磁场，磁场边界、与斜面底边（在水平面内）平行．一正方形金属框放在斜面上，边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到边离开磁场的过程中，其运动的图象如图乙所示．已知金属框电阻为，质量为，重力加速度为，图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求： ( 1 )斜面倾角的正弦值和磁场区域的宽度． ( 2 )金属框边到达磁场边界前瞬间的加速度． ( 3 )金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热． 21 .小明同学设计了一个“电磁天平”，如图1所示，等臂天平的左臂为挂盘，右臂挂有矩形线圈，不接外电源，两臂平衡．线圈的水平边长，竖直连长，匝数为．线圈的下边处于匀强磁场内，磁感应强度，方向垂直线圈平面向里．线圈中通有可在范围内调节的电流，挂盘放上待测物体后，调节线圈中电流使得天平平衡，测得电流即可测得物体的质量．（重力加速度取） ( 1 )为使电磁天平的量程达到，线圈的匝数至少为多少． ( 2 )进一步探究电磁感应现象，另选匝、形状相同的线圈，总电阻，不接外电电流，两臂平衡，如图2所示，保持不变，在线圈上部另加垂直纸面向外的匀强磁场，且磁感应强度随时间均匀变大，磁场区域宽度．当挂盘中放质量为的物体时，天平平衡，求此时磁感应强度的变化率． 变式训练 22 .如图所示，线圈焊接车间的传送带不停地传送边长为，质量为，电阻为的正方形单匝金属线圈，线圈与传送带之间的滑动摩擦系数．传送带总长，与水平面的夹角为，始终以恒定速度匀速运动．在传送带的左端虚线位置将线圈无初速地放到传送带上，经过一段时间，线圈达到与传送带相同的速度，线圈运动到传送带右端掉入材料筐中（图中材料筐未画出）．已知当一个线圈刚好开始匀速运动时，下一个线圈恰好放到传送带上．线圈匀速运动时，相邻两个线圈的间隔为．线圈运动到传送带中点开始以速度通过一固定的匀强磁场，磁感应强度为、磁场方向垂直传送带向上，匀强磁场区域宽度与传送带相同，沿传送带运动方向的长度为．重力加速度．求： ( 1 )正方形线圈的边长． ( 2 )每个线圈通过磁场区域产生的热量． ( 3 )在一个线圈通过磁场的过程，电动机对传送带做功的功率． 23 .如图1所示，质量为的单匝正方形金属线框用绝缘细线悬挂于天花板上且处于静止状态，线框平面在纸面内，线框的边长为，电阻为，线框的下半部分（总面积的一半）处于垂直纸面的有界磁场中，磁场的磁感应强度按图2所示规律变化，垂直纸面向里为正，线框始终不动，重力加速度为，图中为已知量，求：（1）时刻，细线中的拉力多大；（2）时间内，线框中的平均电动势多大；（3）线框中感应电流的电功率多大。    真题演练 24 .如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度．初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域．当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速．已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取，．求 ( 1 )金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小． ( 2 )金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数． ( 3 )导体框匀速运动的距离． 25 .如图，有一正方形线框，质量为，电阻为，边长为，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁感线垂直纸面向里，且线框中磁区面积为线框面积一半，磁感应强度变化（），已知重力加速度，求：     ( 1 )感应电动势． ( 2 )线框开始向上运动的时刻 ． 四、 课堂总结    五、 出门测 26 .(多选)如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 C的电容器和阻值为 R的电阻。质量为 m、阻值也为 R的导体棒 MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为 Q，合上开关 S后，（　　） A.通过导体棒电流的最大值为 B.导体棒 MN向右先加速、后匀速运动 C.导体棒速度最大时所受的安培力也最大 D.电阻 R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热 27 .如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为．导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处点为坐标原点．狭缝右侧两导轨与轴夹角均为，一电容为的电容器与导轨左端相连．导轨上的金属棒与轴垂直，在外力作用下从点开始以速度向右匀速运动，忽略所有电阻．下列说法正确的是（    ） A.通过金属棒的电流为 B.金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为 C.金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电 D.金属棒运动过程中，外力做功的功率恒定 28 .如图1所示，在绝缘光滑水平桌面上，以为原点、水平向右为正方向建立轴，在区域内存在方向竖直向上的匀强磁场．桌面上有一边长、电阻的正方形线框，当平行于磁场边界的边进入磁场时，在沿方向的外力作用下以的速度做匀速运动，直到边进入磁场时撤去外力．若以边进入磁场时作为计时起点，在内磁感应强度的大小与时间的关系如图2所示，在内线框始终做匀速运动．     ( 1 )求外力的大小． ( 2 )在内存在连续变化的磁场，求磁感应强度的大小与时间的关系． ( 3 )求在内流过导线横截面的电荷量． 学科网（北京）股份有限公司 $$