精品解析：辽宁省铁岭市多县2024-2025学年八年级下学期阶段练习数学试卷

2024—2025学年度下学期阶段练习八年数学 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 点在第三象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ） A. B. C D. 9. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 10. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如果等腰三角形的两边长为，，那么它的周长为________． 12. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是_______． 13. 人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为．若两侧梯子的长度都是，则人字梯顶端距离地面的高度是_____． 14. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 15. 如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形． 三.解答题（共8小题，满分75分） 16. 求满足不等式组的所有整数解的和． 17. （1）如图，已知，求作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的中，，，，求的面积． 18. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画出向右平移4个单位后图形（意标上字母）； （2）连接， 线段和的关系是 ； （3）在图②中画出绕点 B 顺时针旋转后的． 19. 在四边形中，于点E，于点F，．求证：． 20 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求度数； （2）若周长为，求的长． 21. 随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元． （1）求出快速充电桩和慢速充电桩的单价； （2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？ 22. 阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是_______（填序号）； （2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求的取值范围． 23. 【发现问题】 如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期阶段练习八年数学 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 若，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式，可以采用特殊值的方法进行判断． 【详解】解：A、取，，满足，但，故此选项判断错误，不符合题意； B、取，，满足，但，故此选项判断错误，不符合题意； C、取，，满足，但，故此选项判断错误，不符合题意； D、若，则，故此选项判断正确，符合题意； 故选：D． 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】， ， ， ， ， 为直角三角形，故A选项不符合题意； ，，， 为不是直角三角形，故B选项符合题意； ， 设，， ，， ， 为直角三角形，故C选项不符合题意； ∴， 为直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 点在第三象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限和解一元一次不等式组，能根据点的位置得出不等式组是解此题的关键．根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵在第三象限， ∴， 解得， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． 6. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，正确理解线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为 ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 8. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了列不等式．打折销售，利润率不能低于，据此列不等式即可． 【详解】解：为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，则 故选：B 9. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答关键. 由旋转的性质求得，，，再利用等腰三角形的性质和外角性质求解. 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ∴. ∵， ∴， 故． 故选：B． 10. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如果等腰三角形的两边长为，，那么它的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据等腰三角形的性质，得到为腰时无法构成三角形，以为腰时符合题意，即可得到答案． 【详解】解：为腰时，三角形三边分别为， ，无法构成三角形； 以为腰时，三角形三边分别为， 那么它的周长为． 故答案为：． 12. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是_______． 【答案】a＞1 【解析】 【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集： 【详解】解：由题意可得1﹣a＜0， 移项得，﹣a＜﹣1， 化系数为1得，a＞1， 故答案为：a＞1． 13. 人字梯是家庭常用的生活工具．如图，人字梯撑开时两侧梯子的夹角为．若两侧梯子的长度都是，则人字梯顶端距离地面的高度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 即人字梯顶端距离地面的高度是， 故答案为：． 14. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用直线的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象得，当时，直线在直线下方， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形． 【答案】80或140或170 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得∠CDB=40°，分三种情况讨论，画出图形，利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点E在CD延长线上时，如图， ∵∠C=60°，∠CBD=80°， ∴∠CDB=180°-∠C+∠CBD=40°， ∵△BDE是等腰三角形，即BD=DE， ∴∠BDE=∠BED=∠CDB=20°， ∴∠ABC=∠C+∠BED=60°+20°=80°． 当点E在线段CD上，且BE=DE时，如图， ∴∠BDE=∠EBD=40°， ∴∠CBE=80°-∠EBD=40°， ∴∠ABC=180°-∠CBE =140°． 当点E在线段CD上，且DB=DE时，如图， ∴∠DBE=∠EBD==70°， ∴∠CBE=80°-∠EBD=10°， ∴∠ABC=180°-∠CBE =170°． 故答案为：80或140或170． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和． 三.解答题（共8小题，满分75分） 16. 求满足不等式组的所有整数解的和． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，先求每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后找到所有整数解求和即可． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为 不等式组的整数解有，0，1，2，3， 它们和为． 17. （1）如图，已知，求作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的中，，，，求的面积． 【答案】（1）见详解；（2）150 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，含30度角的直角三角形的性质，掌握作垂线的方法和含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）延长，过点做的垂线即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，可得，再根据面积公式即可求解． 【详解】（1）解：延长，过点做的垂线，即为边上的高， （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为150． 18. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画出向右平移4个单位后的图形（意标上字母）； （2）连接， 线段和的关系是 ； （3）在图②中画出绕点 B 顺时针旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求． 【小问2详解】 解：由平移得，线段和的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 【小问3详解】 解：如图②，即为所求． 19. 在四边形中，于点E，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先利用HL证明，根据全等三角形的性质可得，然后再利用HL证明. 【详解】解：在和中， ∴， ∴， 又∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定HL，解决本题的关键是要熟练掌握HL定理. 20. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，求的长． 【答案】（1）的度数为 （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出，由，，可得，再推出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵周长为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 即， ∴． 21. 随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元． （1）求出快速充电桩和慢速充电桩单价； （2）该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？ 【答案】（1）快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元 （2）购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组和一次函数的实际应用： （1）设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，根据安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买慢充电桩个，根据慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，求出的取值范围，设总费用为万元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可． 小问1详解】 解：设快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元，万元，由题意，得： ，解得：， 答：快速充电桩和慢速充电桩的单价分别为万元和万元． 【小问2详解】 设购买慢速充电桩个，则购买快速充电桩个，由题意，得： ，解得：， 设总费用为万元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，的值最小为， 此时， 故购买慢速充电桩个，购买快速充电桩个时，所需资金最少，最少是万元． 22. 阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是_______（填序号）； （2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求的取值范围． 【答案】（1）③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之可得； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，然后根据，都是关于的不等式组的“子方程”，即可得到，解出即可得到答案． 【小问1详解】 解：解方程①：，得：， 解方程②：，得：， 解方程③：，得：， 解不等式组：，得：， ∴不等式组的“子方程”是③． 故答案为：③ 【小问2详解】 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解，得：， ∴， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：解方程：，得， 解方程：，得：， 解关于的不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， ∵，都是关于的不等式组的“子方程”， ∴可得：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解本题的关键． 23. 【发现问题】 如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 【答案】（1），5；（2）；；（3）长度的最大值为米 【解析】 【分析】（1）由全等易得，，由等边可得，，所以可得为直角三角形，利用勾股定理可求出线段的长度； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，利用第一问的思路构造旋转全等，故，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明三点共线是求的关键； （3）过作，使，易得，将已知线段进行转化，并放在一个三角形中，从而利用三边关系得出的范围，即可得到长度的最大值． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；5． （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，如图： ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 此时，即三点共线， ∴， 在中，， 又∵为等腰直角三角形， ∴． （3）过作，使，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，根据三边关系可得：，即， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $