专题02 方程&方程组及其实际应用（9大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题02 方程&方程组及其实际应用 题型概览 题型01 一元一次方程的实际应用 题型02 解二元一次方程组 题型03 实际问题列二元一次方程组 题型04 二元一次方程组的实际应用 题型05一元二次方程 题型06 一元二次方程的实际应用 题型07解分式方程 题型08 实际问题列分式方程 题型9分式方程的实际应用 一元一次方程的实际应用题型01 1．（2025•平遥县一模）第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利20%，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（　　） A．220元 B．260元 C．300元 D．320元 2．（2025•石楼县一模）每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放．某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了20%，而开车出行的人数比平时减少了10%，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人．求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数． 解二元一次方程组题型01 3．（2025•孝义市一模）解方程组：． 4．（2025•山西模拟）解方程组：． 5．（2025•洪洞县一模）解方程组：． 实际问题列二元一次方程组题型03 6．（2025•太原一模）晋祠天龙山新晋为太原首个国家5A级景区，这是太原旅游业发展的一个重要里程碑．已知天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同．设旺季门票的单价为x元/张，淡季门票的单价为y元/张，则x，y满足的方程组是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•黎城县校级模拟）“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•交城县一模）某班举行阅读活动需购买甲，乙两种书签作为奖品，已知购买5张甲种书签和3张乙种书签需要190元，购买2张甲种书签比1张乙种书签多花费10元，设甲种书签每张x元，乙种书签每张y元，根据题意可列方程组为 　 　 ． 二元一次方程组的实际应用题型04 9．（2025•万柏林区一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 10．（2025•浮山县一模）小张和小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共80棵．已知去年每棵苹果树平均产果150千克，每棵梨树平均产果120千克，果园总产量为10800千克，果园里种植了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 11．（2025•黎城县校级模拟）每小时有40立方米水注入水池中．若开动5台抽水机同时抽水，则2.5小时就把一池水抽完；若开动8台抽水机同时抽水，则1.5小时就把一池水抽完．若开动13台抽水机同时抽水，请问几小时可以把这池水抽完？ 12．（2025•天镇县模拟）今年是春节申遗成功后的第一年，春节申遗也为其他中国非物质文化遗产的推广起到良好的示范效应，有助于加深世界对中国文化的理解和认同．绛州木板年画是山西传统木板年画的代表，某文创商店购进“关公读春秋”和“天官赐福”两种绛州木板年画作品，其进价和售价如表所示： 关公读春秋 天官赐福 进价/（元/张） 23 34 售价/（元/张） 25 35 若文创商店购进这两种木板年画作品共130张，全部售出后共获利190元，则这两种木板年画作品各购进多少张？ 一元二次方程题型05 13．（2025•陵川县一模）一元二次方程x2﹣4x﹣2025＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝2029 B．（x+2）2＝2029 C．（x+2）2＝2021 D．（x﹣2）2＝2021 14．（2025•榆社县一模）一元二次方程x2+3x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 15．（2025•夏县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等实根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠0 D．k＜4且k≠0 16．（2025•太原一模）解方程：x2﹣9＝2（x+3）． 一元二次方程的实际应用题型06 17．（2025•高平市一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为1200m2，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为x m，那么x满足的方程是（　　） A．56x（x+3）+2x×15x＝1200 B．15x[4×（x+3）]＝1200 C．60x（x+3）+2×2x×15x＝1200 D．15x[4×（x+3）+2×2x]＝1200 18．（2025•长治一模）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为2.4m，宽为1.6m的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2．若四周装裱上的边衬的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1.6﹣x）（2.4﹣x）＝4.16 B．（1.6+x）（2.4+x）＝4.16 C．（1.6﹣2x）（2.4﹣2x）＝4.16 D．（1.6+2x）（2.4+2x）＝4.16 19．（2025•方山县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 解分式方程题型07 20．（2025•平遥县一模）解方程：． 21．（2025•朔州模拟）解方程：． 22．（2025•交城县一模）解分式方程：． 实际问题列分式方程题型08 23．（2025•浮山县一模）某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为x元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（2025•天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 25．（2025•盐湖区校级一模）习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树x棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（　　） A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成 C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成 分式方程的实际应用题型09 26．（2025•交口县一模）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等．问B型机器人每小时分拣快递多少件？ 27．（2025•夏县一模）晋阳高速公路改扩建项目是2024年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的1.5倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？ 28． （2025•孝义市一模）保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 29．（2025•洪洞县一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 29． （2025•榆次区一模）乐乐家距离学校2880米，他每天骑自行车上学．这学期为了提高中考体育项目中1000米跑（男）的成绩，他决定跑步上学．他跑步的速度是骑自行车速度的，若要保证与之前的到校时间一样，需要提前4分钟出发．请你计算乐乐跑步上学的平均速度． 1．（2025•平定县一模）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（2025•介休市一模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2+ax＝b2的方程的图解法：画 Rt△ABC．使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（　　） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 3．（2025•交口县一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 　 　 ． 4．（2025•陵川县一模）【热点素材】2024年10月18日，山西黄河、长城、太行三个一号旅游公路全线贯通．太原市某旅行社抢抓商机，将“太原一太行周末游”项目在原来门市报价的基础上每人降价40元，这样某企业原定12800元的团建费用现只需花费11520元．该旅行社原来门市报价是每人　 　 元． 5．（2025•榆社县一模）解方程组． 6．（2025•盐湖区校级一模）解方程组：． 7．（2025•黎城县校级模拟）解方程：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 8．（2025•万柏林区一模）解方程：． 9．（2025•运城模拟）解方程：． 10．（2025•平陆县模拟）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等．分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价． 11．（2025•山西模拟）小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 12．（2025•方山县一模）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%．已知该企业去年的利润（利润＝总产值﹣总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 13．（2025•黎城县校级模拟）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率提高到原来的1.2倍，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原来生产440万剂疫苗所用的时间少1天．求原来每天生产多少万剂疫苗？ 14．（2025•山西模拟）电动垂直起降飞行器（eVTOL）通俗的理解就是电动化且不需要跑道就可垂直起降的飞机，其优势之一是它可以通过空中路线实现更快捷的城市通勤，大大缩短交通时间．例如从浦东机场到上海市中心约50千米，使用电动垂直起降飞行器比汽车减少约70分钟，已知汽车的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 15．（2025•太原一模）2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源，现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程&方程组及其实际应用 题型概览 题型01 一元一次方程的实际应用 题型02 解二元一次方程组 题型03 实际问题列二元一次方程组 题型04 二元一次方程组的实际应用 题型05一元二次方程 题型06 一元二次方程的实际应用 题型07解分式方程 题型08 实际问题列分式方程 题型9分式方程的实际应用 一元一次方程的实际应用题型01 1．（2025•平遥县一模）第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利20%，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（　　） A．220元 B．260元 C．300元 D．320元 【分析】设该服装每件标价是x元，根据题意，得，求解即可． 【解答】解：设该服装每件标价是x元，根据题意，得， ， 解得x＝300， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键． 2．（2025•石楼县一模）每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放．某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了20%，而开车出行的人数比平时减少了10%，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人．求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数． 【分析】先设平时骑自行车出行的有x人，则平时开车出行的有（1000﹣x）人，然后根据题意和题目中的数据可以得到方程x（1+20%）﹣（1000﹣x）（1﹣10%）＝360，再求解即可． 【解答】解：设平时骑自行车出行的有x人，则平时开车出行的有（1000﹣x）人， 由题意可得：x（1+20%）﹣（1000﹣x）（1﹣10%）＝360， 解得x＝600， ∴1000﹣x＝400， 答：平时骑自行车出行的有600人，平时开车出行的有400人． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 解二元一次方程组题型01 3．（2025•孝义市一模）解方程组：． 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）（﹣1）3+|﹣4|×2﹣2+（﹣3+2） ＝﹣1+4（﹣1） ＝﹣1+1+（﹣1） ＝﹣1； （2）， ①+②，得4x＝8， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 4．（2025•山西模拟）解方程组：． 【分析】根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1+（﹣9）÷9 ＝﹣1﹣1 ＝﹣2； （2）， ②×2，得4x﹣2y＝16③， ①+③，得7x＝21， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得3×3+2y＝5， 解得：y＝﹣2， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，有理数的除法，负整数指数幂，掌握解二元一次方程组的方法，负整数指数幂运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． 5．（2025•洪洞县一模）解方程组：． 【分析】根据加减消元法解方程即可求解． 【解答】解：（1）原式＝﹣4+（﹣5）﹣（﹣3）×3 ＝﹣4﹣5+9 ＝0； （2）， ①+②，得5x＝15， 解得x＝3， 将x＝3代入②得：6+y＝5， 解得y＝﹣1， ∴原方程组的解为． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，有理数的混合运算，掌握解二元一次方程组的方法以及有理数的混合运算法则是解题的关键． 实际问题列二元一次方程组题型03 6．（2025•太原一模）晋祠天龙山新晋为太原首个国家5A级景区，这是太原旅游业发展的一个重要里程碑．已知天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同．设旺季门票的单价为x元/张，淡季门票的单价为y元/张，则x，y满足的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元，旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵天龙山门票的单价旺季比淡季贵20元， ∴x﹣y＝20； ∵旺季3张门票的总价和淡季4张门票的总价相同， ∴3x＝4y． ∴根据题意得可列出方程组． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（2025•黎城县校级模拟）“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵米乐比琪琪多收集了7节废电池， ∴x﹣y＝7； ∵若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍， ∴2（x﹣8）＝y+8． ∴根据题意可列方程组为． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（2025•交城县一模）某班举行阅读活动需购买甲，乙两种书签作为奖品，已知购买5张甲种书签和3张乙种书签需要190元，购买2张甲种书签比1张乙种书签多花费10元，设甲种书签每张x元，乙种书签每张y元，根据题意可列方程组为 　 　 ． 【分析】设甲种书签每张x元，乙种书签每张y元，根据“购买5张甲种书签和3张乙种书签需要190元，购买2张甲种书签比1张乙种书签多花费10元”作为相等关系列方程组． 【解答】解：设甲种书签每张x元，乙种书签每张y元， 根据题意，得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 二元一次方程组的实际应用题型04 9．（2025•万柏林区一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个，篮球的单价比足球的单价贵40元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为80元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2025•浮山县一模）小张和小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共80棵．已知去年每棵苹果树平均产果150千克，每棵梨树平均产果120千克，果园总产量为10800千克，果园里种植了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 【分析】设果园里种植了x棵苹果树，y棵梨树，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：设果园里种植了x棵苹果树，y棵梨树， 根据题意，得， 解得， 所以果园里种植了40棵苹果树，40棵梨树， 答：果园里种植了40棵苹果树，40棵梨树． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 11．（2025•黎城县校级模拟）每小时有40立方米水注入水池中．若开动5台抽水机同时抽水，则2.5小时就把一池水抽完；若开动8台抽水机同时抽水，则1.5小时就把一池水抽完．若开动13台抽水机同时抽水，请问几小时可以把这池水抽完？ 【分析】设池中原有水m立方，每台机器每小时抽水x立方，根据题意，得，解方程组解答即可． 【解答】解：设池中原有水m立方，每台机器每小时抽水x立方， 根据题意，得， 解得． 故开动13台抽水机同时抽水，需要的时间为t小时， 根据题意，得40t+900＝13t×80， 解得t＝0.9． 答：需要0.9小时． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键． 12．（2025•天镇县模拟）今年是春节申遗成功后的第一年，春节申遗也为其他中国非物质文化遗产的推广起到良好的示范效应，有助于加深世界对中国文化的理解和认同．绛州木板年画是山西传统木板年画的代表，某文创商店购进“关公读春秋”和“天官赐福”两种绛州木板年画作品，其进价和售价如表所示： 关公读春秋 天官赐福 进价/（元/张） 23 34 售价/（元/张） 25 35 若文创商店购进这两种木板年画作品共130张，全部售出后共获利190元，则这两种木板年画作品各购进多少张？ 【分析】设该文创商店购进x张“关公读春秋”，y张“天官赐福”绛州木板年画作品，根据“该文创商店购进这两种木板年画作品共130张，全部售出后共获利190元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设该文创商店购进x张“关公读春秋”，y张“天官赐福”绛州木板年画作品， 根据题意得：， 解得：． 答：该文创商店购进60张“关公读春秋”，70张“天官赐福”绛州木板年画作品． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 一元二次方程题型05 13．（2025•陵川县一模）一元二次方程x2﹣4x﹣2025＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝2029 B．（x+2）2＝2029 C．（x+2）2＝2021 D．（x﹣2）2＝2021 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：x2﹣4x﹣2025＝0， x2﹣4x＝2025， x2﹣4x+4＝2029， （x﹣2）2＝2029． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 14．（2025•榆社县一模）一元二次方程x2+3x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可得出方程x2+3x+2＝0有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程x2+3x+2＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 15．（2025•夏县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等实根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠0 D．k＜4且k≠0 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等实根， ∴， ∴k＜4且k≠0， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根时，Δ＝b2﹣4ac＞0是解题的关键． 16．（2025•太原一模）解方程：x2﹣9＝2（x+3）． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2﹣9＝2（x+3）， （x+3）（x﹣3）﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝5． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及有理数的混合运算，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键． 一元二次方程的实际应用题型06 17．（2025•高平市一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为1200m2，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为x m，那么x满足的方程是（　　） A．56x（x+3）+2x×15x＝1200 B．15x[4×（x+3）]＝1200 C．60x（x+3）+2×2x×15x＝1200 D．15x[4×（x+3）+2×2x]＝1200 【分析】根据停车位的尺寸及通车道的宽度，可用含x的代数式表示出停车场的长与宽，再结合停车场的面积为1200m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，设停车位的宽为x m， ∴停车位的长为（x+3）m，通车道的宽为2x m， ∴地面停车场的长为15x m，宽为[4×（x+3）+2×2x]m． 根据题意得：15x[4×（x+3）+2×2x]＝1200． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（2025•长治一模）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为2.4m，宽为1.6m的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2．若四周装裱上的边衬的宽度为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1.6﹣x）（2.4﹣x）＝4.16 B．（1.6+x）（2.4+x）＝4.16 C．（1.6﹣2x）（2.4﹣2x）＝4.16 D．（1.6+2x）（2.4+2x）＝4.16 【分析】根据装裱后整幅画的面积为4.16m2列出一元二次方程即可． 【解答】解：∵该画作是一个长为2.4m，宽为1.6m的矩形，装裱后整幅画的面积为4.16m2，四周装裱上的边衬的宽度为x m， ∴（1.6+2x）（2.4+2x）＝4.16， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 19．（2025•方山县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 【分析】设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半列方程解答即可． 【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x， ， 解得x1，（不合题意，舍去）， ∵0.293， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键根据题意正确确定等量关系． 解分式方程题型07 20．（2025•平遥县一模）解方程：． 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘（x﹣2），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）， 去括号，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣2＝0， ∴x＝2是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，掌握解分式方程的方法，零指数幂运算法则，特殊角三角函数值，二次根式的性质是解题的关键． 21．（2025•朔州模拟）解方程：． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：2+x（x+1）＝x2﹣1， 去括号得：2+x2+x＝x2﹣1， 移项，合并同类项得：x＝﹣3， 检验：把x＝﹣3代入（x+1）（x﹣1）得：（﹣3+1）×（﹣3﹣1）＝8≠0， 故x＝﹣3是原方程的解． 【点评】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． 22．（2025•交城县一模）解分式方程：． 【分析】按解分式方程的一般步骤求解即可． 【解答】解：， 方程的两边都乘以x2﹣4，得2＝x2﹣4﹣x（x+2）， 去括号，得2＝x2﹣4﹣x2﹣2x， 整理，得2x＝﹣6， ∴x＝﹣3． 检验：当x＝﹣3时，x2﹣4≠0， ∴原方程得解为：x＝﹣3． 【点评】本题考查了实数的运算和分式方程，掌握零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的化简、特殊角的函数值及分式方程的解法是解决本题的关键． 实际问题列分式方程题型08 23．（2025•浮山县一模）某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为x元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同，列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：； 故选：C． 【点评】本题考查根据实际问题列分式方程，理解题意列出方程是关键． 24．（2025•天镇县模拟）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一．甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 25．（2025•盐湖区校级一模）习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树x棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（　　） A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成 C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成 【分析】根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答． 【解答】解：题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键． 分式方程的实际应用题型09 26．（2025•交口县一模）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等．问B型机器人每小时分拣快递多少件？ 【分析】设B型机器人每小时分拣快递x件，则A型机器人每小时分拣快递（x+200）件，根据A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设B型机器人每小时分拣快递x件，则A型机器人每小时分拣快递（x+200）件， 依题意得：， 解得：x＝1600， 经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意， 答：B型号的机器人每小时分拣快递1600件． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 27．（2025•夏县一模）晋阳高速公路改扩建项目是2024年山西省级的重点项目，现有一段路由甲、乙两个工程队共同承包修建．其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米，已知乙工程队每个月的修建速度是甲工程队的1.5倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月修建多少千米？ 【分析】设甲工程队每个月修建x千米，则乙工程队每个月修建1.5x千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设甲工程队每个月修建x千米，则乙工程队每个月修建1.5x千米， 根据题意得：， 解得：x＝2， 经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意． 答：甲工程队每个月修建2千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 28．（2025•孝义市一模）保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 【分析】根据生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，可以列出相应的分式方程，然后求解即可． 【解答】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则生产一吨优质纸张需要的废纸的质量为（x﹣0.15）吨， 由题意可得：1.2， 解得x＝1.4， 经检验，x＝1.4是原分式方程的解， 答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨． 【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 29．（2025•洪洞县一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【分析】设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【解答】解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：4， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意， ∴1.2×200＝240（个）， 则实际完成任务的天数为：4800÷240＝20（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 30．（2025•榆次区一模）乐乐家距离学校2880米，他每天骑自行车上学．这学期为了提高中考体育项目中1000米跑（男）的成绩，他决定跑步上学．他跑步的速度是骑自行车速度的，若要保证与之前的到校时间一样，需要提前4分钟出发．请你计算乐乐跑步上学的平均速度． 【分析】根据题意设乐乐骑自行车的速度为x米/分，则乐乐跑步的速度为米/分，再列式计算即可． 【解答】解：设乐乐骑自行车的速度为x米/分，则乐乐跑步的速度为米/分， 根据题意，得， 整理得，3x＝720， 解得x＝240． 经检验，x＝240是原方程的根． x240＝180． 答：乐乐跑步上学的平均速度为180米/分． 【点评】本题考查分式方程应用，关键是根据题意找到关系式． 1．（2025•平定县一模）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 2．（2025•介休市一模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2+ax＝b2的方程的图解法：画 Rt△ABC．使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（　　） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【分析】根据一元二次方程的定义和数形结合思想的特点解答即可． 【解答】解：由题意可知：设AD＝x，根据勾股定理得： b2， 整理得：x2+ax＝b2， 则该方程的一个正跟是AD的长， 通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用和模型思想，熟练掌握数形结合思想是解答本题的关键． 3．（2025•交口县一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 　 　 ． 【分析】利用直播刚开始时购买人数及每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率，可得出第1小时有1000（1+x）人购买，第2小时有1000（1+x）2人购买，结合2小时后购买人数达到3890，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，且每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x， ∴第1小时有1000（1+x）人购买，第2小时有1000（1+x）2人购买． 根据题意得：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3890． 故答案为：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3890． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025•陵川县一模）【热点素材】2024年10月18日，山西黄河、长城、太行三个一号旅游公路全线贯通．太原市某旅行社抢抓商机，将“太原一太行周末游”项目在原来门市报价的基础上每人降价40元，这样某企业原定12800元的团建费用现只需花费11520元．该旅行社原来门市报价是每人　 　 元． 【分析】设旅行社原来门市报价是每人x元，根据人数，这一等量关系，列分式方程求解． 【解答】解：设旅行社原来门市报价是每人x元． 根据题意得， 解得x＝400， 经检验x＝400是原分式方程的解，且符合实际． 故答案为：400． 【点评】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找到正确的等量关系，并正确列出分式方程求解是解题的关键． 5．（2025•榆社县一模）解方程组． 【分析】运用加减消元法解答即可． 【解答】解：， 把①代入②，得 x+3（x﹣4）＝﹣4， 解得 x＝2， 把 x＝2 代入①，得 y＝﹣2， ∴原方程组的解为． 【点评】本题考查了有理数的混合运算、解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法． 6．（2025•盐湖区校级一模）解方程组：． 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， ②﹣①，得6y＝6， 解得y＝1， 把y＝1代入①，得x＝2， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，正确计算是解题的关键． 7．（2025•黎城县校级模拟）解方程：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）， 则3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（3x+2）＝0， 则x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，x2． 【点评】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，正确地计算是解题的关键． 8．（2025•万柏林区一模）解方程：． 【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘（x﹣4），得3﹣x＝x﹣4+3， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣4＝2﹣4＝﹣2≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，零指数幂运算，负整数指数幂运算，二次根式的混合运算，掌握解分式方程的方法，零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 9．（2025•运城模拟）解方程：． 【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解． 【解答】解：方程两边都乘3（x+1）， 得：3x﹣2x＝3（x+1）， 解得：x， 检验：当x时，3（x+1）≠0， ∴x是方程的解， ∴原方程的解为x． 【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母． 10．（2025•平陆县模拟）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等．分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价． 【分析】设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11．（2025•山西模拟）小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【分析】需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【解答】解：根据某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况图表可得： 设参与一次课堂展示加x分，进行一次有效质疑加y分， ∴， ∴， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题． 12．（2025•方山县一模）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%．已知该企业去年的利润（利润＝总产值﹣总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出． 【分析】设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为（1+20%）x万元，总支出为（1﹣20%）y万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【解答】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为（1+20%）x万元，总支出为（1﹣20%）y万元， 根据题意得，， 解得， 所以去年的总产值为600万元，总支出为400万元， 答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 13．（2025•黎城县校级模拟）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率提高到原来的1.2倍，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原来生产440万剂疫苗所用的时间少1天．求原来每天生产多少万剂疫苗？ 【分析】设原来每天生产x万剂疫苗，由题意：某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率提高到原来的1.2倍，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原来生产440万剂疫苗所用的时间少1天．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设原来每天生产x万剂疫苗， 根据题意，得：1， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意， 答：原来每天生产40万剂疫苗． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 14．（2025•山西模拟）电动垂直起降飞行器（eVTOL）通俗的理解就是电动化且不需要跑道就可垂直起降的飞机，其优势之一是它可以通过空中路线实现更快捷的城市通勤，大大缩短交通时间．例如从浦东机场到上海市中心约50千米，使用电动垂直起降飞行器比汽车减少约70分钟，已知汽车的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 【分析】设电动垂直起降飞行器的速度为x，则汽车的速度为，根据题意列出分式方程求解即可． 【解答】设电动垂直起降飞行器的速度为x，则汽车的速度为， 根据题意得，， 整理得，70x＝21000， 解得x＝300， 经检验，x＝300是该分式方程的解， ∴电动垂直起降飞行器的速度为300千米/时． 答：电动垂直起降飞行器的速度为300千米/时． 【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 15．（2025•太原一模）2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源，现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 【分析】设直角书架的单价是x元，则弧形书架的单价是（1+20%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即直角书架的单价），再将其代入（1+20%）x中，即可求出弧形书架的单价． 【解答】解：设直角书架的单价是x元，则弧形书架的单价是（1+20%）x元， 根据题意得：6， 解得：x＝1000， 经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+20%）x＝（1+20%）×1000＝1200（元）． 答：弧形书架的单价是1200元，直角书架的单价是1000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$