猜押06 上海中考21-22题(6类题型)-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押06 上海中考21-22题 3年上海考题 猜押考点 考情分析 押题依据 2024年 一次函数、反比例函数、解直角三角形、勾股定理、圆的相关证明与计算、画图、统计 21题：一次函数、反比例函数、求角的正弦值 22题：解直角三角形、画图 第21题对一次函数和反比例函数考查较为固定，22题2024年二模、2024年中考都出现了画图新题型，整体难度加大.最近模拟22题也将统计问题回归，22题的考查较为丰富，需要重点关注画图和统计，预计2025年中考可能考查画图探究或统计. 2023年 21题：圆周角、勾股定理、解直角三角形 22题：一次函数的应用 2022年 21题：一次函数、解直角三角形 22题：解直角三角形的应用（仰俯角） 题型一、解直角三角形与圆的相关计算 1．（2025·上海奉贤·二模）在中，点C是弧的中点，交弦于点D，且D是的中点． (1)求的度数； (2)延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 2．（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 3．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 4．（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 5．（2025·上海崇明·二模）如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合），，交与点，设的面积为． (1)求关于的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)设与相交于点，当点是的重心时，求的面积． 6．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，，点为边的中点，以为圆心，以为半径作弧交边于点，求和的长． 7．（2025·上海普陀·二模）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的值； (2)连接交于点，求的长． 题型二、反比例函数与一次函数 8．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 9．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 10．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 11．（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 12．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 13．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 题型三、统计与数据分析 14．（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（~）和谷时段（~次日）分别计费．为了解年月新居的平时段用电量，小明连续天，每天记录了电表平时段的读数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数 （单位：千瓦时） 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时； (2)计算小明家月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ (3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 15．（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 16．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 17．（2025·上海黄浦·二模）某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量：②书籍的总页数；③书籍的类别；④网络评分．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式，其中、、、是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为分，那么小海的得分计为．如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数． 评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）． 指标因素 系数 书籍的数量 书籍的总页数 书籍的类别 网络评分 表1 (1)指标因素“书籍的数量”的系数的值为_______________； (2)确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为_______________； (3)表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． 得分 甲 4 1500 3 7 乙 3 1800 2 4 表2 ①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分． 甲得分为_______________，乙得分为_______________； ②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：_______________． 18．（2025·山西·一模）健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出A，B两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择50人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：5分；比较满意：4分；基本满意：3分；不太满意：2分；不满意：1分】评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 A套餐 3.8分 3.9分 3.48分 B套餐 3.4分 4.6分 3.48分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给A套餐打5分的人数多于给B套餐打5分的人数，因此她判断A套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按3：4：3的比例计算满意度综评得分，并求得A套餐综评得分为3.744分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某校为了加强学生们的身体素质，增强班级的凝聚力，举行了跑操比赛． (1)学校将从服装统一、步伐一致、队形整齐和口号响亮四项，按的比例确定各班比赛的最终成绩． 学生代表对九年级（1）班各项打出的成绩如下表（每项满分均为100分）． 评比项目 服装统一 步伐一致 队形整齐 口号响亮 九年级（1）班 100分 90分 85分 100分 请你计算九年级（1）班比赛的最终成绩； (2)比赛共设置了四个奖项，奖项与教师代表打出的相应评分如下表（满分10分，评分均为正整数，每个班的评分均不低于6分）．学校根据九年级22个班的平均成绩将每个等级得奖的班级个数制成了如下条形统计图，则九年级22个班级评分的中位数是______________，评分的众数对应的获奖等级为______________； 奖项 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 评分 10分 9分 8分 7分 (3)假设该校每个年级的学生跑操情况大致相同，请用九年级的获奖情况，估计全校66个班级中获得特等奖的数量． 题型四、解直角三角形的应用 20．（2025·上海松江·二模）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 21．（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 22．（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     23．（2025·河北·模拟预测）图-1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图-2是其侧面示意图，线段表示路灯的灯支架，为路灯灯杆．线段为太阳能光伏板，可绕点旋转，．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，．结果精确到） (1)当三点共线时，，求的长度； (2)若某一时刻太阳光线与地面的夹角为时，恰好太阳能光伏板与所成夹角，求太阳能光伏板落在地面上的影子的长． 24．（2025·广东佛山·二模）项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 25．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 26．（2025·重庆渝中·二模）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 27．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【研究背景】济源博物馆文物丰富，藏品15000余件（套），珍贵文物3480余件（套），尤以汉代釉陶明器最具地方特色．馆藏文物种类丰富，包括铜器、陶器、瓷器、玉器、石刻、砖瓦、古生物化石、历代钱币、雕塑造像、文件宣传品、档案文书、图书古籍、碑刻等各种门类．1966年4月，济源市西官桥河边出土了商铜爵． 【数据测量】小明利用周末参观济源博物馆后，产生了浓厚的研究兴趣，在网上买了一个仿制的商铜爵（图1），经过测量，绘制了平面图．图2是其示意图．已知管状矩流，矩形是器身，，，，，，求该商铜爵流口距地面的高度（结果精确到）（参考数据：，，，） 题型五、方法探究与画图 28．（2025·上海宝山·二模）【问题】如图，在中，，，，D是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由平行x轴，可得， ，，， 同理可得，，于是点D坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，连接，点M、N分别在线段、上，，连接，求的长．   29．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 30．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 31．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 32．（2025·上海青浦·二模）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 33．（2025·上海·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 34．（2025·上海金山·二模）如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 35．（2025·上海徐汇·二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 题型六、分式方程应用 36．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 37．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 38．（2025·安徽宿州·一模）某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为元． (1)根据上面提供的信息，请完成下列表格． 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 (2)与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？ 39．（2025·湖南长沙·二模）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 40．（2025·重庆·一模）合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片． (1)小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ (2)由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价． 试卷第1页，共3页 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押06 上海中考21-22题 3年上海考题 猜押考点 考情分析 押题依据 2024年 一次函数、反比例函数、解直角三角形、勾股定理、圆的相关证明与计算、画图、统计 21题：一次函数、反比例函数、求角的正弦值 22题：解直角三角形、画图 第21题对一次函数和反比例函数考查较为固定，22题2024年二模、2024年中考都出现了画图新题型，整体难度加大.最近模拟22题也将统计问题回归，22题的考查较为丰富，需要重点关注画图和统计，预计2025年中考可能考查画图探究或统计. 2023年 21题：圆周角、勾股定理、解直角三角形 22题：一次函数的应用 2022年 21题：一次函数、解直角三角形 22题：解直角三角形的应用（仰俯角） 题型一、解直角三角形与圆的相关计算 1．（2025·上海奉贤·二模）在中，点C是弧的中点，交弦于点D，且D是的中点． (1)求的度数； (2)延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 【答案】(1)60度 (2) 【知识点】等边对等角、垂径定理的推论、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形，圆周角定理，等边对等角等等，熟知垂径定理的推理是解题的关键． （1）由垂径定理的推论可得，再由线段中点的定义可得，据此解直角三角形即可得到答案； （2）先求出，则，再由垂径定理的推论得到，，解直角三角形得到，再证明，解直角三角形得到，则． 【详解】（1）解：连接 ∵在中，点C是弧的中点， ∴， ∵D是的中点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵在中，点C是弧的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠； （2）设，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵半径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，． 3．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先根据三角函数计算出，，从而得到，结合角平分线得到，即可得到答案； （2）根据垂直得到，从而得到，，即可得到答案． 【详解】（1）解析：，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ； （2）解：为中线， 为中点， ，， ∴， ∴， ∴ 为中点， ， 同理可得，， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据题意找到直角三角形，合理的应用三角函数． 4．（2025·上海松江·二模）如图，在△中，，，点在边上，以为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点． (1)当时，求的半径长； (2)求的值． 【答案】(1)的半径长为4 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理 【分析】此题考查了切线的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用切线的性质和含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案； （2）连接、，则，证明△和△是等边三角形，再利用含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：与边相切于点， 于点， ， ，， ， ， ， ， 的半径长为4． （2）连接、，则， ，， ， △是等边三角形， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的值为． 5．（2025·上海崇明·二模）如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合），，交与点，设的面积为． (1)求关于的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)设与相交于点，当点是的重心时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是证明相似． （1）证明，得出，即，得出．依题，由，即可得． （2）根据点是的重心，得出．代入（1）中结论得出．根据，即，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ， 即， ． ， ， 依题， 由， ． （2）解：是的重心， ． ． 与同高， ，即． ． 6．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，，点为边的中点，以为圆心，以为半径作弧交边于点，求和的长． 【答案】， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和等腰三角形的性质．连接，，作于点，根据等腰三角形的性质得，，，解直角三角形和勾股定理即可求出，根据尺规作图和等腰三角形的性质得，，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，作于点， ，点为边的中点， ，，， ， 设，则 ， ， 解得负值舍去， ， ， 以为圆心，以为半径作弧交边于点， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 解得负值舍去， ， ． 7．（2025·上海普陀·二模）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的值； (2)连接交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理逆定理得到，然后根据正切的定义求解即可； （2）连接交于点，首先利用勾股定理求出，然后求出，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，连接交于点， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型二、反比例函数与一次函数 8．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 【答案】(1)的值为 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，求出值即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，再利用三角形相似的性质得到，最后根据正切的定义求出的正切值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 解得； 所以，的值为2． （2）解：过点分别作轴的垂线，垂足为点， 由（1）可知，点，则，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 所以，在中，． 9．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 10．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 11．（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得反比例函数解析式，将点代入反比例函数，得到点坐标，然后将点、分别代入一次函数，解方程组即可； （2）先求得一次函数的图像与x轴交点为，然后利用，即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得，解得， ， 将点代入反比例函数，得， ， 将点、分别代入一次函数，得． 解这个方程组，得． 一次函数解析式为； （2）解：当时，代入，得到， 一次函数的图像与x轴交点， ． 12．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 （2）当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 13．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、内错角相等两直线平行、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 题型三、统计与数据分析 14．（2025·上海浦东新·二模）小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（~）和谷时段（~次日）分别计费．为了解年月新居的平时段用电量，小明连续天，每天记录了电表平时段的读数，如下表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数 （单位：千瓦时） 根据表格提供的信息，解答下列问题： (1)小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是________千瓦时； (2)计算小明家月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ (3)小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)月份平时段用电总量约为千瓦时． (3)小明的说法不正确，理由见解析． 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、求中位数、求众数 【分析】（1）分别计算每日平时段用电量，比较后即可得到平时段单日用电量最大的那天的用电量； （2）计算出这几天的用电总量，再结合月的总天数进行计算即可； （3）将数据从小到大排列后，根据中位数和众数的定义即可得解． 【详解】（1）解：分别计算每日平时段用电量： 周日：； 周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； 周六：， 比较可得用电量最大的是周五，为千瓦时． 故答案为：． （2）解：这天平时段用电总量：千瓦时， 月份有天，则月份平时段用电总量约为千瓦时． 答：月份平时段用电总量约为千瓦时． （3）解：这几天平时段日用电量，从小到大排序为、、、、、、， 中位数：数据个数为，是奇数个，中位数取最中间的数据，即千瓦时； 出现的次数最多，则众数是千瓦时． 所以小明的说法不正确． 【点睛】本题考查的知识点是有理数的运算法则、中位数定义、众数定义，解题关键是熟练掌握中位数和众数的定义． 15．（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 16．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求加权平均数 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 17．（2025·上海黄浦·二模）某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量：②书籍的总页数；③书籍的类别；④网络评分．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式，其中、、、是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为分，那么小海的得分计为．如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数． 评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）． 指标因素 系数 书籍的数量 书籍的总页数 书籍的类别 网络评分 表1 (1)指标因素“书籍的数量”的系数的值为_______________； (2)确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为_______________； (3)表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． 得分 甲 4 1500 3 7 乙 3 1800 2 4 表2 ①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分． 甲得分为_______________，乙得分为_______________； ②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：_______________． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数． （1）利用加权平均数计算即可求解； （2）根据“阅读之星”的得分公式计算即可求解； （3）①根据“阅读之星”的得分公式计算即可求解；②合理即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：； （3）解：①甲得分为， 乙得分为； 故答案为：；； ②可适当调整书籍的总页数的得分公式，因为这项的分值占比太大， 可调整得分公式为，其余要求不变． 18．（2025·山西·一模）健康管理不仅是个人问题，更是关乎全民健康的国家战略．学校食堂积极响应健康饮食理念，推出A，B两种套餐．为了解学生对两种套餐的满意度情况，食堂管理员从两种套餐都吃过的学生中随机选择50人，请他们分别从口味、营养、价格三方面对两种套餐进行满意度评分【非常满意：5分；比较满意：4分；基本满意：3分；不太满意：2分；不满意：1分】评分数据全部收回且有效，并整理得到如下统计图（不完整）和统计表： 两种套餐各项满意度得分平均数 种类 得分平均数 口味 营养 价格 A套餐 3.8分 3.9分 3.48分 B套餐 3.4分 4.6分 3.48分 请根据上述信息，解决下列问题： (1)补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分； (2)小颖分析两种套餐价格满意度条形统计图时，发现给A套餐打5分的人数多于给B套餐打5分的人数，因此她判断A套餐价格满意度更高．小明认为她的观点是片面的，请结合上述图表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）； (3)食堂管理员将两种套餐口味、营养、价格得分的平均数按3：4：3的比例计算满意度综评得分，并求得A套餐综评得分为3.744分．请通过计算比较两种套餐的综评得分，并给综评得分较低的套餐提一条改进建议． 【答案】(1)32，见解析 (2)见解析 (3)A套餐综评得分较低，建议：A套餐要更加关注营养搭配 【知识点】画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、求加权平均数、运用中位数做决策 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，中位数，众数； （1）从两个统计图可知，求出A套餐3分占比和4分人数再补全图形即可； （2）根据条形统计图的数据分析结论即可； （3）求出加权平均数后再给出建议即可． 【详解】（1）解：A套餐3分占比， A套餐4分人数（人）， 补全扇形统计图和条形统计图中空缺的部分如下： （2）解：①A套餐价格满意度中位数为3分，小于B套餐价格满意度中位数4分，所以从中位数角度看，B套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ②A套餐价格满意度众数为3分，小于B套餐价格满意度众数4分，所以从众数角度看，B套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的； ③A套餐价格满意度平均数为3.48分，等于B套餐价格满意度平均数3.48分，所以从平均数角度看，A，B套餐价格满意度一样，所以小颖的观点是片面的； ④给A套餐打5分，4分，3分的人共有人，给B套餐打5分，4分，3分的人共有人，，即B套餐价格满意度达到“基本满意”及以上的人数多于A套餐，所以B套餐价格满意度更高，所以小颖的观点是片面的． （3）解：A套餐得分（分）， B套餐得分（分）， 因为， 所以，A套餐综评得分较低． 建议：答案不唯一，例如：A套餐要更加关注营养搭配． 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某校为了加强学生们的身体素质，增强班级的凝聚力，举行了跑操比赛． (1)学校将从服装统一、步伐一致、队形整齐和口号响亮四项，按的比例确定各班比赛的最终成绩． 学生代表对九年级（1）班各项打出的成绩如下表（每项满分均为100分）． 评比项目 服装统一 步伐一致 队形整齐 口号响亮 九年级（1）班 100分 90分 85分 100分 请你计算九年级（1）班比赛的最终成绩； (2)比赛共设置了四个奖项，奖项与教师代表打出的相应评分如下表（满分10分，评分均为正整数，每个班的评分均不低于6分）．学校根据九年级22个班的平均成绩将每个等级得奖的班级个数制成了如下条形统计图，则九年级22个班级评分的中位数是______________，评分的众数对应的获奖等级为______________； 奖项 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 评分 10分 9分 8分 7分 (3)假设该校每个年级的学生跑操情况大致相同，请用九年级的获奖情况，估计全校66个班级中获得特等奖的数量． 【答案】(1)九年级（1）班比赛的最终成绩为90分 (2)9分；一等奖 (3)估计全校66个班级中获得特等奖的数量为15个 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求加权平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查了条形统计图，加权平均数，众数以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案； （2）根据中位数、众数的定义即可得出答案； （3）用66乘九年级中获得特等奖的班级所占的百分比即可． 【详解】（1）解：（分）， 所以，九年级（1）班比赛的最终成绩为90分； （2）解：22个评分数据中，按大小顺序排列最中间的2个数据是第11，12个， ∵， ∴九年级22个班级评分的中位数是9分； 由条形统计图可知一等奖的班级数量最多有7个， 所以这22个班级得奖等级的众数是一等奖； 故答案为：9分；一等奖； （3）解：（个）， 答：估计全校66个班级中获得特等奖的数量为15个． 题型四、解直角三角形的应用 20．（2025·上海松江·二模）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】任务1：展板最低点到地面的距离为；任务2：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． 21．（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】(1)斜坡的坡比为； (2)的长米． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； （2）解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 22．（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【答案】（1）、；（2） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，． （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ． 23．（2025·河北·模拟预测）图-1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图-2是其侧面示意图，线段表示路灯的灯支架，为路灯灯杆．线段为太阳能光伏板，可绕点旋转，．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，．结果精确到） (1)当三点共线时，，求的长度； (2)若某一时刻太阳光线与地面的夹角为时，恰好太阳能光伏板与所成夹角，求太阳能光伏板落在地面上的影子的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，作出辅助线构造直角三角形． （1）连接，过点作于点，先解，求得，进而解，求得，进而根据，即可求解； （2）连接，过点作于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，则，解，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， 在中， ∴， 当三点共线时，在中， ∴ ∴ （2）解：如图， 连接，过点作于点，设交于点， ∵， ∴ 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 答：太阳能光伏板落在地面上的影子的长为． 24．（2025·广东佛山·二模）项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 【答案】（1）点D到墙的距离约为米；（2）铁树能被太阳光照射到；（3）l的最大值为米，此时的度数． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点，证明，利用勾股定理求解即可； （2）作于点，证明四边形为矩形，求得，，再根据正切函数的定义求得，据此求解即可； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，利用四边形内角和定理求得，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即点D到墙的距离约为米； （2）作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， ∴米， ∵， ∴铁树能被太阳光照射到； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米， ∴l的最大值为米，此时的度数． 25．（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①；②见解析 (3)①见解析；② 【知识点】实际问题与反比例函数、已知三视图求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． （3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 26．（2025·重庆渝中·二模）某款座椅（如图1）的椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，其侧面示意图如图2所示．在调节椅背的过程中，椅面与地面保持平行，支架，与水平地面的夹角也保持不变．已知椅背，，与椅面的夹角为时，．（参考数据：，，，） (1)求椅面与地面之间的距离； (2)为避免座椅与墙面发生碰撞，要求座椅的任何部位与墙面的距离不少于，图2中座椅底端与墙面的距离为，此时能否将椅背调节至最大角度到处？请通过计算说明． 【答案】(1)椅面与地面之间的距离为 (2)不能，理由见详解 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意得到，如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离，在中，，由此即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：与椅面的夹角为时，， ∴， ∵与地面保持平行， ∴， 如图所示，过点作于点，则即为椅面与地面之间的距离， 在中，， ∴， ∴椅面与地面之间的距离为； （2）解：不能，理由如下， 如图所示，延长交于点，过点作于点，作点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵椅背与椅面之间的夹角可以在到之间任意调节，假设此时能将椅背调节至最大角度到处，即， ∴，且， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴假设有误， ∴此时不能将椅背调节至最大角度到处． 27．（2025·河南省直辖县级单位·一模）【研究背景】济源博物馆文物丰富，藏品15000余件（套），珍贵文物3480余件（套），尤以汉代釉陶明器最具地方特色．馆藏文物种类丰富，包括铜器、陶器、瓷器、玉器、石刻、砖瓦、古生物化石、历代钱币、雕塑造像、文件宣传品、档案文书、图书古籍、碑刻等各种门类．1966年4月，济源市西官桥河边出土了商铜爵． 【数据测量】小明利用周末参观济源博物馆后，产生了浓厚的研究兴趣，在网上买了一个仿制的商铜爵（图1），经过测量，绘制了平面图．图2是其示意图．已知管状矩流，矩形是器身，，，，，，求该商铜爵流口距地面的高度（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作，交的延长线于点过点作，交于点，在和中利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点过点作，交于点 在中，， 在中，， ． 答：该商铜爵流口距地面的高度约为． 题型五、方法探究与画图 28．（2025·上海宝山·二模）【问题】如图，在中，，，，D是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由平行x轴，可得， ，，， 同理可得，，于是点D坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，连接，点M、N分别在线段、上，，连接，求的长．   【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形相似的判定和性质，两点间距离公式，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作轴，轴于点Q，证明，，得出，同理得出，得出点N坐标是，同理得出点M坐标是，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作轴，轴于点Q，如图所示： ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴点N坐标是， 同理可得，点M坐标是， ． 29．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． 30．（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】正比例函数的性质、反比例函数与几何综合、画圆(尺规作图) 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 31．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 32．（2025·上海青浦·二模）已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． (1)请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出，垂足为点D； ②在图2中，作出的重心O； (2)利用②的作图结果，求的值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【知识点】重心的有关性质、作垂线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O，则点O即为所求． （2）由图可得，，结合勾股定理求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图1，即为所求． ②如图2，取的中点M，的中点H，连接，相交于点O， 则点O即为所求． （2）由图可得，． 由勾股定理得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2025·上海·二模）我们知道“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点、、、分别在四边形的边、、、上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图）： ①在边上任取符合条件的一点，作，交边于点； ②作，交边于点；③作，交边于点；④连接． (1)求证：小明画出的四边形是平行四边形； (2)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，点在边上，，请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形，使点、、分别在边、、上，且此平行四边形的边与或平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据平行线的传递性及平行线分线段成比例定理得，，，，继而得到，，证明得，推出，则，即可得证； （2）取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，取格点、、、、，交于点，交于点，连接交于点，连接、、、、， ∵在的网格中，每个小正方形的边长都为，四边形的顶点均在格点上，，， ∴，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 34．（2025·上海金山·二模）如图，已知在中，，，． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，即可； （2）设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则，解直角三角形求出，再求出，勾股定理求出，证明，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：如图，点 为所作； （2）解：设的垂直平分线与交于点G，过点作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 35．（2025·上海徐汇·二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 【答案】(1)小杰的作法正确，理由见解析； (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据矩形的性质证明四边形和四边形都是平行四边形，即可得到答案； （2）先根据（1）提出类似问题，再过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．利用平行四边形的判定和性质，即可证明四边形就是所求作的四边形． 【详解】（1）解：小杰的作法正确，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， 四边形就是所求作的四边形． （2）解：如图2，点是菱形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线的夹角度数等于菱形的一个内角度数． 作法：1．过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． 理由如下：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，，，， ， ， ， 四边形就是所求作的四边形． 题型六、分式方程应用 36．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1) (2)180册 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题意算出2024年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，2024年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求即可． 【详解】（1）解：2024年购进新书总支出：元， 2022年购进社会科学类图书支出：元， 2024年购进社会科学类图书支出：元， 2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：； （2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元， 设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册， 由题意得 ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：2025年计划购入自然科学类图书180册． 37．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 38．（2025·安徽宿州·一模）某超市本周开展促销活动，将某种农产品降价出售，李叔叔本周用120元购买这种农产品，比上周用相同的钱购买这种农产品多买了6千克，设上周这种农产品的单价为元． (1)根据上面提供的信息，请完成下列表格． 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 (2)与上周相比，这种农产品每千克便宜了多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)每千克便宜了1元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】（1）由本周与上周该农产品单价间的关系可得出本周这种农产品的单价为元//千克，利用数量=总价÷单价，可得出上周和本周购买这种农产品的数量； （2）由(1)的结论结合本周比上周多买了6千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，即可求出结论． 【详解】（1）解：补充表格如下． 时间 单价（元/千克） 购买农产品的数量/千克 上周 本周 （2）由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，（元）， ∴与上周相比，这种农产品每千克便宜了1元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量及找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 39．（2025·湖南长沙·二模）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可． 【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元． 根据题意，，解得， 经检验，是原方程的根， ． 答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元． （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， ， 解得． 又型机器人模型要尽可能的多， 取最大值15，此时． 答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台． 40．（2025·重庆·一模）合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片． (1)小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？ (2)由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价． 【答案】(1)每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元 (2)56元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据两种桃片的总价、单价关系以及购买的总袋数列出分式方程． （1）设每袋香甜口味桃片元，每袋椒盐口味桃片元，根据题意列出二元一次方程； （2）设每袋椒盐口味桃片元，根据题意列出分式方程，解分式方程并检验，得到每袋椒盐味桃片的售价． 【详解】（1）设每袋香甜口味桃片元，每袋椒盐口味桃片元， 根据题意得：， 解得． 答：每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元； （2）解：设每袋椒盐口味桃片元， 根据题意得： 解方程得：， 经检验：为原方程的解． 答：每袋椒盐口味桃片56元． 试卷第1页，共3页 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $$