猜押08 上海中考24题（压轴题）(9类题型)-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

猜押08 上海中考24题（压轴题） 3年上海考题 猜押考点 考情分析 押题依据 2024年 待定系数法求函数解析式二次函数与一次函数 二次函数图象平移 二次函数与相似三角形 待定系数法求函数解析式、二次函数图像平移、相似三角形 近三年都考查了二次函数图像的平移，二次函数与一次函数图象结合也是考试重点，最近二模出现第一问求非解析式的问题也需要重视，线段长、坐标问题等等.预测2025年中考依旧会考查图象平移、与一次函数、相似三角形结合. 2023年 y=a(x-h)2+k的图象和性质、二次函数图象的平移、二次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式 2022年 待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、三线合一 题型一、二次函数图象的平移 1．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 2．（新定义）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 3．已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 5．如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形． ①求的值； ②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标． 题型二、二次函数与一次函数 6．（三角形面积问题）（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 7．（相似三角形）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点为坐标原点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（线段最值与三角形面积问题）如图，二次函数 经过点，，，为抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当最短时，的面积是 ． 9．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 题型三、二次函数线段周长问题 10．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 11．（新定义）已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“双语交互函数”．例如：与互为“双语交互函数”． (1)判断：和；和；和，其中互为“双语交互函数”的是________（填序号）． (2)已知的“双语交互函数”的图象经过两个定点，（点在点的左侧），试在轴上求一点P，使得的值最大，并求出此时点的坐标； (3)若三个不同的点都在二次函数（，，为常数，且）的“双语交互函数”的图象上，满足：，对任意满足条件的，恒成立，求的取值范围． 12．（2025·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点． ①如图1，当时，求点的横坐标； ②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值． (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围． 题型四、二次函数与相似三角形 14．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 15．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 16．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B． (1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式； (2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值； (3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标． 17．（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 18．（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 19．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，求周长的最大值； (3)如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标 题型五、二次函数角度问题 20．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 21．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 22．（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 23．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 题型六、二次函数特殊三角形问题 24．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 25．（2025·四川宜宾·一模）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 26．（2025·四川泸州·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 27．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 29．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 题型七、二次函数特殊四边形问题 30．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 31．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 32．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 34．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 题型八、二次函数与解直角三角形问题 35．（2025·广东惠州·一模）探究如下问题： (1)【观察猜想】 ①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________ （用“>”“<”或“=”填空）． ②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________； (2)【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B， ③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．） ④如图4，当时，求证：． 36．（2025年天津市和平区九年级中考二模数学试题）已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 37．（2025·湖北随州·二模）已知，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线l：（）交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线：交线段于点Q（不与M，P重合），设的面积为，求的取值范围． 38．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接． ①求的面积的最大值； ②若，求的取值范围． 题型九、新定义型二次函数 39．（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 40．（2025·辽宁朝阳·一模）数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】（1）填空：的顶点坐标为__________，的顶点坐标为__________． 【知识应用】（2）求的互利函数解析式； （3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设的顶点为M． 若，，求证：这两个函数的图象的交点为，； 【拓展延伸】（4）已知二次函数的互利函数与轴交于点，与轴交于点，．点在点的右侧，直线经过点，点关于的对称点恰好在线段上，直线与抛物线交于另一点． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，点是互利函数在第一象限内的抛物线上一点，始终有，直接写出点横坐标的取值范围． 41．（2025·辽宁葫芦岛·一模）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点旋转180°后得到的点，称是关于点的“对称关联点”，且满足，． 对于函数，其图象上所有点关于点的“对称关联点”所构成的新函数，函数成为原函数关于点的“对称关联函数”． 例如：和是关于点的“对称关联点”，函数和是关于点的对称关联函数． (1)已知点，当时，点关于点的“对称关联点”的坐标为__________． (2)若点关于点的“对称关联点”在反比例函数的图象上，求出的值． (3)当时，二次函数的图象顶点为A，关于点的“对称关联函数”的图象顶点为． ①若，求的值； ②已知点关于点的“对称关联点”为点，当和组成的图象与线段有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押08 上海中考24题（压轴题） 3年上海考题 猜押考点 考情分析 押题依据 2024年 待定系数法求函数解析式二次函数与一次函数 二次函数图象平移 二次函数与相似三角形 待定系数法求函数解析式、二次函数图像平移、相似三角形 近三年都考查了二次函数图像的平移，二次函数与一次函数图象结合也是考试重点，最近二模出现第一问求非解析式的问题也需要重视，线段长、坐标问题等等.预测2025年中考依旧会考查图象平移、与一次函数、相似三角形结合. 2023年 y=a(x-h)2+k的图象和性质、二次函数图象的平移、二次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式 2022年 待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、三线合一 题型一、二次函数图象的平移 1．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）令，则或1，即可求解； （2）求出， ，平移后的点，再运用待定系数法求出直线表达式为．把点代入直线表达式，求出，即可求解； （3）点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即可求解． 【详解】（1）解：令，即， ∵ ， ∴， 解得：，， 由于点在点左侧，可得，， 从而：． （2）解：由，可得：， 平移后的点， 设直线AD表达式：， 把A、D坐标代入， 解得 ∴直线表达式为． 当点、、在同一直线时，把点代入直线表达式，解得：． ∴抛物线的表达式：． （3）解：设直线的表达式为， 把点、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 又点， 作轴交于点H，则， 则四边形的面积， 则， 则抛物线的表达式为：； 则点、， 则， ∵点P不与点B重合且与相似，则存在，即， 即，则， ∴, ∴点． 2．（新定义）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 3．已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可； （2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案； （3）证明，可以得到， 即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)的值为或 (3)或或 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与坐标轴交点问题，平移的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）取，求得的值，即可求得点的坐标，求得抛物线的对称轴，则可以得到点的横坐标，得点的纵坐标为，即可求得点的坐标； （2）把二次函数整理为顶点式，可得二次函数本身的最大值为，那么分类探讨所给的取值范围都在对称轴的左侧或右侧时的最高点即可得到的值； （3）得出点和点的坐标，分类探讨抛物线的开口向上，顶点在线段上；抛物线的开口向上，点在抛物线的内部；抛物线的开口向下，点在抛物线的外部，三种情况下的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 由题意得：抛物线的对称轴为：直线， 抛物线的对称轴与轴交于点， 点的坐标为； （2）解：时，二次函数为：， 二次函数的开口方向向下，最大值为， ①时，对应的最高点为：， ， 解得：， 不合题意，舍去， ②时，对应的最高点为：， ， 解得： 不合题意，舍去，， 综上：的值为或； （3）解：直线经过点， 点的坐标为， 点的坐标为， ①抛物线的顶点在线段上，此时，抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为， ， ， 解得：； ②如图，抛物线的开口向上，点在抛物线的内部， 当时，， ， 解得：； ③如图，抛物线的开口向下，点在抛物线的外部， 当时，， ， 解得：． 综上：抛物线与线段只有一个公共点，则或或． 5．如图，已知抛物线经过点与点，且交轴于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为，连结，直线将分割成面积相等的两个三角形． ①求的值； ②在新的抛物线上寻找点，使，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【知识点】二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点与点代入解析式，即可求解； （2）由抛物线平移得，抛物线得顶点为， ①交于，过作交轴于，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，可求，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解； ②（ⅰ）当在直线的右侧时，当时，，待定系数法得直线的解析式为，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； （ⅱ）当在直线的左侧时，方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、，设，由勾股定理得，，，，联立可求，同理可求直线的解析式为，联立直线的解析式与抛物线的解析式，即可求解； 方法二：抛物线与轴交于，联结，可求，由等腰直角三角形的性质得 ，由可判定（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， 顶点为， 故该抛物线的表达式，顶点坐标； （2）解：将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移个单位， ， 抛物线得顶点为， ①如图，设交于，过作交轴于， 直线将分割成面积相等的两个三角形． ， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：， 故的值为； ② ， （ⅰ）当在直线的右侧时， 当时，， 同理可求：直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； （ⅱ）当在直线的左侧时， 方法一：作关于的对称点，作射线交于，联结、， 设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； 方法二：抛物线与轴交于，联结， 当时， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 满足条件； 综上所述：点的坐标或． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数图象的平移，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质等；掌握二次函数图象的平移，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法，勾股定理进行求解，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 题型二、二次函数与一次函数 6．（三角形面积问题）（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、的坐标得，进而求得的长； （2）根据点、的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线的表达式为：，则点，代入点，求得，进而得到抛物线的表达式； （3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∴； （2）解：∵点、，设直线的表达式为：， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线的表达式为：， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， ∴（舍去）或， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：∵点与点关于原点对称， ∴点，    ∴新抛物线的表达式为：， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线的表达式为：，且， ∴， ∴， ∴△的面积． 7．（相似三角形）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点为坐标原点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，利用是平行四边形，得出方程，解方程即可求解； （3）根据两点，得出的直线方程为，求出的值，过点作轴于点，过点作轴于点，得出，求出直线的表达式，与抛物线方程联立，求出点坐标，并分两种情况讨论，当时和当时，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解． 【详解】（1）图象与轴交于点和， 设抛物线的解析式为， ， ， 将点代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）已知，， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 四边形恰好是平行四边形， ， ， 即， 解得， ． （3）在直线上是否存在点，使得与相似，理由如下， 是的中点，点， 点， 由（2）可知，点， 设直线的直线方程为， 则， 解得， 直线的直线方程为， ，有， 点在直线上， ， ， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图2， ， ， ， ， 直线与直线关于直线对称， ， ， ， 设直线的表达式为， 将点，代入， 则， 解得， 直线的表达式为， 将直线的表达式与抛物线表达式联立， 得，整理得， 解得或， 点， ， ， ， ， ， ， ， ，点与点为对应点， 设点的坐标为， 则， 当时， ， ， 即， 整理得， 解得，（在点右侧，舍去）， ， 当时，， ， 整理得， 解得（舍去）或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和相似三角形的性质等．解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 8．（线段最值与三角形面积问题）如图，二次函数 经过点，，，为抛物线的顶点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当最短时，的面积是 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为，顶点坐标，又由对称性可得，即得，可知当点三点共线时，最短，最短值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点的坐标，最后利用三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了用待定系数法求函数解析式，轴对称最短线段问题，三角形的面积，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标， ∵点在抛物线的对称轴上，点关于对称轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，最短，最短值为的长， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 题型三、二次函数线段周长问题 10．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为； （3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 11．（新定义）已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，恒有点和点关于点对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“双语交互函数”．例如：与互为“双语交互函数”． (1)判断：和；和；和，其中互为“双语交互函数”的是________（填序号）． (2)已知的“双语交互函数”的图象经过两个定点，（点在点的左侧），试在轴上求一点P，使得的值最大，并求出此时点的坐标； (3)若三个不同的点都在二次函数（，，为常数，且）的“双语交互函数”的图象上，满足：，对任意满足条件的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)最大值时，； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称的性质，两点间的距离等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据互为“双语交互函数”定义即可求解； （）由，可得该函数的“双语交互函数”为，整理得，令，得出，，作点关于轴的对称点，连接，并延长交轴于点，此时的值最大，为线段的长度，然后求出直线的解析式为，从而可求出点的坐标； （）先求出二次函数的“双语交互函数”为，由，在函数的图象上， 则，，求出，又，的纵坐标相等，则抛物线的对称轴为直线，可得，设，则对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故有，又因为对任意满足条件的，恒成立，则可求出． 【详解】（1）解：由和， 则，不符合“双语交互函数”； 由和， 则，符合“双语交互函数”； 由和， 则，符合“双语交互函数”； 故答案为：； （2）解：∵， ∴该函数的“双语交互函数”为， ∵图象经过两个定点，（点在点的左侧），， ∴令， 解得，， ∴，， 作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，此时的值最大，为线段的长度， 设直线的解析式为，把，，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， ∴此时点的坐标为； （3）解：， ∴二次函数的“双语交互函数”为， ∵，在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且， ∵， ∴，                                     ∵，的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴，                         设， ∴对称轴为直线，当时，随的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， ∵对任意满足条件的，恒成立， ∴． 12．（2025·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； (3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)和，过程见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）先求得点A、C的坐标，进而求得及直线的表达式为，过P作轴交直线于H，则可得，当的长度最大时，的长度最大；设，则，利用二次函数的性质求得最大时点P的坐标，将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，由由三角形的三边关系可得，由两点坐标距离公式求得即可； （3）先求得,进而利用勾股定理及其逆定理得到，设，，则，，利用正切定义得到，，推导出，进而求得；利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到新抛物线的表达式为，设，分当Q在x轴上方时和当Q在x轴下方时两种情况，分别利用正切定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，由得，， ∴，， 当时，，则，， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 如图1，过P作轴交直线于H，则， ∵， ∴，当的长度最大时，的长度最大； 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，即的长度最大，此时； ∵， ∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时， ∴，当G在的延长线上时取等号， ∵, ∴的最大值为； （3）解：∵直线上有一点，且点的横坐标为2， ∴当时，，则, ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，， 下面推导与、的关系， 如图，已知矩形中，，，， 设，，，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， 将抛物线关于轴对称得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为， 设， 当Q在x轴上方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时； 当Q在x轴下方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时， 综上，满足条件的Q坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形、最值问题等知识，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点． ①如图1，当时，求点的横坐标； ②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值． (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)①点的横坐标为；②； (2)或或． 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知正切值求边长、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）①先求出、、，则、．设点的坐标为（），然后根据正切的定义列式计算即可； ②先运用待定系数法求得直线的表达式为．再求得抛物线的对称轴为；设点的坐标为（），则点的坐标为．可表示出、，然后再列出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可． （2）由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．则平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为．然后分抛物线的顶点在线段上时以及、三种情况解答即可． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的性质、正切的定义、二次函数与几何的综合、平移的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 【详解】（1）解：①令得，解得或； 点，， 令，得， ． ，． 设点的坐标为（）， ， ，即． ，解得或（舍去） 点的横坐标为； ②设直线的表达式为． 将点、代入，得，解得， 直线的表达式为：． ，对称轴为直线． 设点的坐标为（），则点的坐标为． ，． 矩形的周长， 当时，矩形的周长有最小值． （2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为． ∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为． ①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点， 则， ． ②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点， 则当时，，解得； ③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点， 则当时，，解得． 综上，的取值范围为或或． 题型四、二次函数与相似三角形 14．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 15．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【知识点】二次函数图象的平移、已知两点坐标求两点距离、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 16．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B． (1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式； (2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值； (3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，一种是经过原点与x轴另一交点，一种是抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，根据根的判别式以及在y轴右侧是下降的进行求解即可； （3）记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为，先求出顶点，，，由平移的性质可得，那么，则，，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入 得：， 整理得：， 解得：或， ∵抛物线不经过第二象限， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵，且抛物线在y轴右侧是下降的， ∴对称轴， 令，则 ①当抛物线经过原点时， ， ∴， 解得：或（舍）； ②当抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，则， ∴， 解得：， 综上所述：m的值为或； （3）解：记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为， ∵， ∴顶点， 当，， ∴ ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为点C， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质与性质以及综合运用各知识点进行求解． 17．（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点不存在 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与y轴的交点坐标、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得，进而待定系数法得出直线解析式为，将代入得：得出，进而根据抛物线对称轴公式，即可求解； （2）由（1）抛物线解析式为，得出，进而求得得出，可得解方程得出点的值，即可求解． （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据得出，进而得出，证明，得出是等腰直角三角形，根据得出，进而求得，最后判断得出不在线段上，故点不存在． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 设直线解析式为 把，代入得： ，解得 直线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 （2）由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令得， ， 在中，令得， ， ， ， 解得舍去或， 抛物线的表达式为； （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： 抛物线对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 令得， 解得或， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段上，故点不存在． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题． 18．（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 【答案】(1)①；②点的横坐标为 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、重心的有关性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形重心定理，中点坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是数量掌握以上性质并正确作辅助线． （1）①利用对称轴确定系数的关系，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式； ②利用圆周角定理确定点的位置，过点做辅助线构造直角三角形，假设出点的坐标，表示出相关点的坐标，证出，利用列出方程，解方程即可； （2）做辅助线确定的重心，表示出，和相关线段的长度，证明，利用对应边成比例表示出，设，则，利用等腰直角三角形的性质和点在直线上，列出方程求解即可求出的值． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴是直线， ，即， 将代入抛物线得：， 则， 解得：， ， 抛物线的表达式为； ②如图，连接,以为直径作圆，与抛物线在第一象限的交点即为点,过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在中，令，则， ， 直线交抛物线于点，， 设，则，， ，，，， ， ，即， 整理可得：， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作轴于点、交于点，过点作轴于点，与交于点，连接交于点， ， 抛物线的开口向下，与轴交于点和，， ，即，， 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 是的重心，点是的中点， 点在上，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， 点关于直线的对称点是， ，， ，， ， ， ， ，即， 整理得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入得：， 整理得：， ∴， 解得， 又∵， ∴可整理为， 解得或（舍去）， 所以. 19．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，求周长的最大值； (3)如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标 【答案】(1) (2) (3)点C的坐标为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据，即，则，从而求得，则的周长为，所以当取得最大值时，的周长也取得最大值．然后设，则，求得，根据二次函数的性质求得当时，取得最大值，最大值为4，从而求得，，即可由周长的最大值求解． （3）过点E作轴于点M，延长交y轴于点N，则轴．设，则，，所以，，．再根据翻折和性质证明，得出，从而求得，．根据，得到，解得（舍去），．继而可求出点点C的坐标． 【详解】（1）解：∵， 令，则， 令，则， ∴，． 把，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴当取得最大值时，的周长也取得最大值． 设，则， ∴， 当时，取得最大值，最大值为4， ∴， ∴周长的最大值． （3）解：如图③，过点E作轴于点M，延长交y轴于点N，则轴． 设，则，， ∴，，． 由翻折可得，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 解得（舍去），． 当时，， ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点，待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的图象性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质．此题属二交命题止，难度较大，属中考压轴题． 题型五、二次函数角度问题 20．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①对称轴方程是；②点P的坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，根据，得出，把，代入求出a的值，即可得出解析式； （2）①先求出，则，进而得出边上的高是5，设，求出直线的解析式为，把代入得，则可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，即可解答； ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，易证，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，得出，设，则，，根据在中，，求出a的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，可得， 又， 则， 把，代入得 ，    所以，抛物线的表达式是． （2）解：①由， 可得抛物线的对称轴方程是，， 由，，， 可得， 则， 根据题意， 设边上的高是h， ∴， 解得， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：，则， 由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则， 所以，新抛物线的表达式是， ∴对称轴方程是． ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得， 在中，，则， 根据题意可得，则， ∴，即， 过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，， 解得， 所以，点P的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的平移规律，解直角三角形． 21．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 22．（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、正切的概念辨析、角度问题(二次函数综合) 【分析】（）由一次函数解析式得，，再根据待定系数法解答即可求解； （）由二次函数解析式得顶点的坐标是，在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点，可得，，即得，过点作，垂足为点，则，由锐角三角函数得，设，则，由可得，即得到，，即得，即可求解； （）由，得点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为，即可得点的横坐标为，得到点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，据此得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点， ∴，， 又∵对称轴是直线， ∴，解得， ∴的表达式为； （2）解：∵抛物线的对称轴是直线， 当时，， ∴顶点的坐标是， 在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴的下方， ∴点在线段上， ∴， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为， 将代入直线，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位，再向下平移得到点， ∴点的坐标， ∴平移后的抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的平移等，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 23．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 题型六、二次函数特殊三角形问题 24．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 25．（2025·四川宜宾·一模）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： （2）由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， （3）设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 26．（2025·四川泸州·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）先利用勾股定理的逆定理判断，继而可得，在轴上取点，连接，易得是等腰直角三角形，可得，进一步可推出，可得，然后利用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，再解方程组求出点的坐标，然后分三种情况求出的值，再求出直线的解析式，进而可求出点的坐标和点的坐标，问题可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为， 把代入，可得：即，解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，可得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标是． （3）解：设直线交y轴于点，如图， 轴， ，， 若为等腰三角形，则也为等腰三角形， ，， 直线的解析式为， 设， ， 直线的解析式为， 解方程组，得， 点的坐标是， ，，， 当时，，解得：（舍去正值）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ， 当时，，解得或（舍）或（舍）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 当时，，解得或（舍去）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 综上，或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 27．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，符合条件的点P的横坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，一次函数的几何综合，解一元二次方程，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： ，解得：或， 根据题意， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴所有符合条件的点P的横坐标是或． 28．（2025·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D． (1)用含c的代数式表示点P及点D的坐标； (2)将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)①该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为，得到新抛物线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，推出直线与直线重合，得到，由题意得到，利用勾股定理列式计算求得，据此即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，根据被y轴平分，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； （2）解：①该抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则顶点的坐标为， ∵， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵顶点落在线段的延长线上， ∴直线与直线重合， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ， ， 即， 解得， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当时，， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵，且被y轴平分， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴原抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 29．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求二次函数解析解即可，根据抛物线解析式再求对称轴即可． （2）①作于C，证明，由相似三角形的性质可得出， 可得出， 进而可求出点C的坐标， 则可得出点P的坐标． ②延长交轴于点，可得，设，解方程得出，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为∶， 对称轴为： （2）①如图所示，作于C，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交轴于点，    ∵ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得： ∴直线的表达式为． 题型七、二次函数特殊四边形问题 30．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 31．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 32．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 33．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴； （3）解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，     ∴， ∵， ∴，       设，， ∵， ∴，       设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 34．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)① ② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用． （1）由待定系数法可求出答案； （2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案； ②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点． ∴直线的表达式为， ∴设， ∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形， ∴，， ∴， 分以下两种情况讨论： 当（点E在点H左侧，如图1所示），，， 当时，点E在H右侧，如图2所示，，， ∴； ②L关于m的函数图象如图所示， 当时，， 当时，， 由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围． 题型八、二次函数与解直角三角形问题 35．（2025·广东惠州·一模）探究如下问题： (1)【观察猜想】 ①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接．作的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接，则___________ （用“>”“<”或“=”填空）． ②请在图1作出对应的（保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的曲线是___________； (2)【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点，定直线，为点到直线上的距离，当满足时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B， ③如图3，以线段为直径作圆C，求证：圆C与定直线相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度等于上底与下底之和的一半．） ④如图4，当时，求证：． 【答案】(1)①；②抛物线 (2) (3)见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质直接判断即可，②根据题目要求画出点，根据所画点的位置解答即可； （2）根据，利用点的坐标列出方程，化简方程即可得出函数关系式； （3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G，根据梯形中位线证明即可；④过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K， 利用三角函数表示出，再计算推理即可． 【详解】（1）解：①因为的垂直平分线，过M作x轴的垂线和相交于P，连接， 所以； ②对应的（保留作图痕迹）如图所示：            通过观察，可以发现到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的是一条曲线，猜想它是抛物线． （2）解：已知，定直线，则﹐ ∵， ∴ 两边同时平方得： 整理得： 故点P的坐标x与y的关系式：． （3）③过A作垂直直线于D，过C作垂直直线于E，过B作垂直直线于G， 则， 由（1）（2）可知，， ∴， 故是的半径，且与相切，即以为直径的与相切． ④当时，点定，定直线， 过A作垂直y轴于H，过B作垂直y轴于K， 设，则在中，， ∵， ∴， 又由（1）（2）可知，， ∴， 解得：， 同理可得：， 故． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、圆的切线和证明比例，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和圆的切线的判定进行证明和推理． 36．（2025年天津市和平区九年级中考二模数学试题）已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为，点的坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出直线的解析式为．由为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，设点，则，得到的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）求出．把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合．得到当点在同一条直线上时，取得最小值，进一步进行解答即可． 【详解】（1）解：①若，则抛物线， 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线为． 顶点的坐标为 ②当时，， 解得， ． 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为． ∵为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点， 设点，则． ． 当时，取得最大值1． 点的坐标为，点的坐标为 （2）， ． 点的坐标为． ． ， ． ， ． 过点作． ， 在， ． 把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合． ，点的坐标为． 在， ． 点的坐标为． 当点在同一条直线上时，取得最小值， ． 可得，解得． 点的坐标为，点的坐标为． 设抛物线解析式为． 把代入， 解得． 的值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、勾股定理、一次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，适当添加辅助线是解题的关键． 37．（2025·湖北随州·二模）已知，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； (3)如图2，经过点的直线l：（）交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线：交线段于点Q（不与M，P重合），设的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，分别求解即可； （3）根据经过点，则，得到，代入得，联立与， 解得，再根据三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵对称轴为直线， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，①当时，，则， 设直线解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴直线解析式为：， 联立抛物线与直线得：， 整理得：， 解得：，（舍去）； ②当时，，作，如图2， ∵，对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴，， ，， 作，则， 设，， ∴， ∴， ∴点， ∴直线解析式为：， 联立抛物线与直线，得：， 解得，（舍去）， 综上所述点的横坐标为或； （3）解：直线：交线段于点（不与重合）， 当时，， ∴点， ∴， ∵直线：经过点， ， ∴， ∴直线：， 联立直线：与直线：，得： ， 解得：， 又∵， ， ，随的增大而减小， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 38．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接． ①求的面积的最大值； ②若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）①先求出直线的解析式，过点P作轴于点R，交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，由，然后结合二次函数的性质即可解答； ②根据轴，轴，推出，在中，由即可得解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴二次函数的表达式可写为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①设直线的表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 如图：过点P作轴于点R，交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴． ∴ ． ∵动点P在直线的上方（不与B，C重合）， ∴． ∴当时，面积取得最大值，最大值是； ②∵轴， ∴轴， ∴． ∴ ∵，， ∴在中， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与面积综合、二次函数与角度综合问题、待定系数法求抛物线解析式、抛物线的最值、解直角三角形等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 题型九、新定义型二次函数 39．（2025·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为． 【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ； 【探究】（2）已知是的“型相关量”， ①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值； ②若随的增大而增大，试比较与的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质等知识点，理解“型相关量”的定义成为解题的关键。 （1）根据“型相关量”的定义得，即可求出； （2）①根据“型相关量”的定义得，再由是定值得，进而可求解；②根据一次函数的性质解答即可； （3）先求出，再根据对称轴与的关系分情况讨论，求出最大值后解方程即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的“型相关量”为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵是的“型相关量”， ∴， ∵是定值， ∴， ∴， 此时，， 即若是定值，则，； ②由①得， ∵随的增大而增大， ∴， ∴； （3）由题意知，二次函数的“型相关量”为： ， ∴，二次函数的图象的对称轴为， ∵当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2， ∴当时，此时当时，二次函数随的增大而增大，当时有最大值， ∴，解得，此时； 当时，此时当时有最大值， ∴，解得，此时； 当时，此时当时，二次函数随的增大而减小， 当时有最大值，则，解得，此时无解； 综上所述，或． 40．（2025·辽宁朝阳·一模）数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】（1）填空：的顶点坐标为__________，的顶点坐标为__________． 【知识应用】（2）求的互利函数解析式； （3）已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点N，设的顶点为M． 若，，求证：这两个函数的图象的交点为，； 【拓展延伸】（4）已知二次函数的互利函数与轴交于点，与轴交于点，．点在点的右侧，直线经过点，点关于的对称点恰好在线段上，直线与抛物线交于另一点． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，点是互利函数在第一象限内的抛物线上一点，始终有，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据顶点式直接写出顶点的坐标，即可求解； （2）根据定义，直接写出互利函数解析式，即可求解； （3）根据定义分别得出，，根据二次函数经过，得，则，，进而验证经过点，即可求解； （4）①根据定义得出，进而求得的坐标，证明是直角三角形，且，根据题意，得出是的中点，求得，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； ②先求得直线的解析式为，直线的解析式为，根据平行线间的距离相等可得，当点是互利函数在第一象限内的抛物线上一点，始终有，此时，进而求得临界点，即可求解． 【详解】解：（1）的顶点坐标为，的顶点坐标为， 故答案为：，；． （2）解： ∴互利函数解析式为； （3）证明：∵，， ∴ 设的顶点为M． ∴， ∴的互利函数 ∴， ∵二次函数经过 ∴ 解得： ∴， ∴ 当时， ∴经过 ∴这两个函数的图象的交点为，； （4）的互利函数为 当时， 解得： ∴， 当时，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∵直线经过点，点关于的对称点恰好在线段上， ∴直线是的角平分线， ∴ ∴是的中点， ∵， ∴ 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ ②设直线的解析式为 代入， 解得： ∴直线的解析式为 设直线的解析式为 代入， 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，过点作，连接，设与交于点， 联立， 解得：， 则 当在直线上方时，总有， 如图当在下方时，存在， 当在直线的下方时，不一定存在， ∴横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，新定义，理解新定义其实就是中心对称，还考查了勾股定理，对称的性质，一次函数综合问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 41．（2025·辽宁葫芦岛·一模）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点旋转180°后得到的点，称是关于点的“对称关联点”，且满足，． 对于函数，其图象上所有点关于点的“对称关联点”所构成的新函数，函数成为原函数关于点的“对称关联函数”． 例如：和是关于点的“对称关联点”，函数和是关于点的对称关联函数． (1)已知点，当时，点关于点的“对称关联点”的坐标为__________． (2)若点关于点的“对称关联点”在反比例函数的图象上，求出的值． (3)当时，二次函数的图象顶点为A，关于点的“对称关联函数”的图象顶点为． ①若，求的值； ②已知点关于点的“对称关联点”为点，当和组成的图象与线段有一个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)①或；②的取值范围是或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据“对称关联点”的定义求解即可； （2）根据“对称关联点”的定义得，再利用待定系数法求解即可； （3）①根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，再利用两点之间的距离公式求解即可； ②求得是关于点的“对称关联函数”，，分四种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 根据“对称关联点”的定义，， 这里，，， ∴，， ∴点关于点的“对称关联点”的坐标为； 故答案为：； （2）解：∵，， 根据“对称关联点”的定义得，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； （3）解：①当时，点， 对于二次函数， 其顶点坐标为， 根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，即， ∵， ∴， 整理得， ∴， 解得或； ②点关于点的“对称关联点”为点，， 是关于点的“对称关联函数”，， 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得； 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与性质，正确理解“对称关联点”和“对称关联函数”是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $$