精品解析：浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

浙东北县域名校发展联盟（ZDB） 2024/2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式的形式，直接判断函数的性质. 【详解】AB的两个函数都是奇函数，故不正确； C.，所以在区间单调递减，故不正确； D.是偶函数，且在区间单调递增，故正确. 故选：D 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性求解. 【详解】已知，根据正态分布的对称性可知，．  故选：C． 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据常见函数的求导公式及复合函数求导法则来逐一分析选项． 【详解】，该A选项正确． ，该B选项错误． ，该C选项错误． ，该D选项错误． 故选：A． 4. 已知函数则（ ） A. B. 100 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】可根据分段函数的定义，先求出的值，再将的值代入函数中，求出的值． 【详解】已知函数，因为，所以将代入中，可得．  因为，所以将代入中，可得．故． 故选：B． 5. 某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】先将必须相邻的环节捆绑，再考虑不相邻环节的排列，最后根据排列组合的乘法原理计算出总的安排方式． 【详解】因为环节A、B必须相邻，所以将A、B看作一个整体，考虑A、B之间的排列顺序，则A、B的排列方式有种．  此时相当于有两个元素（捆绑后的A、B和E）进行排列，排列方式有种．  经过步骤2的排列后，形成了3个空位，从这3个空位中选2个空位插入C、D，根据排列数公式，其排列方式有种．  所以不同的安排方式一共有种．  故选：B． 6. 对于随机事件、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式结合条件即可求解. 【详解】因为，. 故选：D 7. 已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件将，代入线性回归方程，然后通过对数函数的性质求出的最值． 【详解】已知，把，代入可得： ．  得到．  因为，所以，那么，即．  因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为．  变量的估计值有最大值为． 故选：A． 8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和. 【详解】由可得：，又因为..， 所以，即的对称中心为； 由可得：， 即（常数）， 令，则，所以，即的对称轴为； 所以，，故，， 所以，的周期. 因为，所以； 因为，令代入，所以； 根据对称性可知：，，，， 所以. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D. 决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】利用波动大小判断A；利用残差图的意义判断B；利用相关系数、决定系数的意义判断CD. 【详解】对于A，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据波动性不变，方差不变，A正确； 对于B，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，B错误； 对于C，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，C错误； 对于D，决定系数越接近于1，说明拟合效果越好，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3个零点 B. 既存在极大值，也存在极小值 C. 若时，，则的最大值为2 D. 若函数有2个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于函数的零点，可令函数值为求解；对于极值，通过求导判断导数的正负来确定函数的单调性，进而得到极值点；对于最值，结合函数单调性来分析；对于函数的零点问题，可转化为与的交点问题．逐项判断即可. 【详解】令，因为恒成立，所以只需． 可得，即有个零点，所以选项错误．  对求导，可得． 令，即，因为恒成立，所以，解得或． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以是极小值点，是极大值点，既存在极大值，也存在极小值，选项正确．  由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，． 当时，，若时，，则的最大值为，选项正确．  函数有个零点，即与的图象有个交点． ，结合函数单调性和极限情况可知， 当时，与的图象有个交点，选项正确．  故选：BCD. 11. 高考数学新课标I卷试题的第二部分为多选题，每题设有4个选项，其中正确选项的数量为2个或3个.若正确答案共2个选项，每选对1个得3分；若正确答案共3个选项，每选对1个得2分.需要注意的是，全部选对才能得6分，一旦选中任何错误选项，该题即得0分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三个正确选项的概率是，记X、Y、Z分别为张三随机选择1个、2个、3个选项的得分，则（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意依次写出各随机变量的取值，并求出各取值的概率，再结合均值和方差公式计算均值和方差即可判断各选项. 【详解】由题X可取0，2，3；Y可取0，4，6；Z可取0，6. 则，，； ，，； ，. 所以， ，， ，， ，， 所以，， ，， 所以， 故选项ABD正确，选项C错误. 故选：ABD 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____. 【答案】81 【解析】 【分析】令，得到答案. 【详解】中，令得 . 故答案为：81 13. 已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据样本点坐标求出样本中心点，再利用经验回归直线过样本中心点这一性质来求解的值． 【详解】样本中心点横坐标的计算公式为，其中为样本点的个数，为的总和． 已知，，将其代入公式可得： 样本中心点的纵坐标的计算公式为，其中为样本点的个数，为的总和． 已知，，将其代入公式可得： 因为经验回归直线过样本中心点， 所以将，代入经验回归方程中，可得：，解上述方程： 故答案为：． 14. 已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值是_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题设条件，先分析出函数的最大值只有在中产生，再结合绝对值不等式即可求解． 【详解】由题可知，， ， ， 则， 所以（当，时取等），即的最小值是， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据不等式求解函数的单调区间； （2）根据导数的几何意义，即可求解. 【小问1详解】 ， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为 【小问2详解】 ， ，所以切线方程为，即. 16. 2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%. （1）根据所给数据，完成列联表； 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 20 女性 40 合计 （2）在（1）的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）性别与满意度有关联 【解析】 【分析】（1）根据总人数200以及满意率为80%．即可求解满意的人数，进而可求. （2）计算卡方，与临界值比较即可求解. 【小问1详解】 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 120 20 140 女性 40 20 60 合计 160 40 200 【小问2详解】零假设为：性别与满意度无关. 此时. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立. 即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 17. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的项数直接可得； （2）利用二项展开式的通项直接求解即可； （3）求得含有项的所有系数计算即可. 小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项为， 所以二项式系数最大的项为； 【小问3详解】 由（2）分析可知令，得，即； 令，可得. 综上：展开式中的系数为 18. 近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是. （1）若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望； （2）若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量； （3）若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办? 【答案】（1）分布列见解析， （2）5个 （3）40 【解析】 【分析】（1）首先确定随机变量服从二项分布，根据二项分布概率公式，以及期望公式，即可求解； （2）首先确定随机变量服从二项分布，再根据不等式，即可求解； （3）方法一：求获赠1个齐天大圣的次数，再计算花费；方法二：利用状态转移的方法，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 可取0，1，2，3，由题可知.则，， 分布列： 0 1 2 3 P 期望：； 【小问2详解】 设其开出的哪吒手办的数量为，则. 所以. 由，得，其中且. 即，解得. 所以开出的哪吒手办的最有可能的数量为5个 【小问3详解】 方法一：设通过活动购买第X个盲盒时，恰好连续开出2个哪吒手办，设其期望为E， 则. 解得. 平均需花费元. 方法二：设总共购买手办的个数的期望为E；表示没有开出哪吒手办，需要连开两个哪吒手办才能获赠；表示刚好开出一个哪吒手办，则需再开一个哪吒手办就能获赠. 由 解得 平均需花费元. 19. 已知函数. （1）求的最小值，并求出相应的； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）若直线（其中）与图象的交点横坐标分别为，，求证：. 【答案】（1）最小值为，相应的； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，从而得到函数最小值，并得到； （2）方法一：先得到，从而得到，即，再验证充分性，设，求导，得到其单调性和，证明出结论； 方法二：转化为对任意恒成立，构造函数，分和两种情况，得到函数单调性，得到只需，设函数，求导得到其单调性和最值，得到满足要求； 方法三：设，得，即证，，由，可得，利用必要性探路，得到，即，再验证充分性，可得. （3）证明出当时，，当时，，求出直线与直线的交点横坐标，与的交点横坐标，得到，再求出直线与函数的交点横坐标，得到，综上所述，. 【小问1详解】 由， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增， 故，即最小值为，相应的； 【小问2详解】 方法一：令，，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以（当且仅当时等号成立）， 可得，则，进一步，化简得， 所以，即. 验证充分性：当时，可设， 则在单调递增且， 进而可得在单调递减，在单调递增，所以. 综上所述，可得. 方法二：由题可知，即对任意恒成立 令，则且. ①当时，，所以在单调递增， 则当时，（不符题意，舍去）； ②当时，令，得出， 令得，令得， 则在单调递减，在单调递增. 所以只需. 设函数，可求得， 令得，令得， 故在单调递增，在单调递减，所以. 综上所述，可得. 方法三：设，得， 即证，，其中. 由，可得. 由，所以（必要性探路），即. 验证充分性：当时，可得， 进而可得在单调递减，在单调递增，所以. 综上所述，可得. 【小问3详解】 设，，，则直线，直线， 由（1）、（2）知：当时，，此时. 当时，令，所以， 由在单调递增，而， 所以存，使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，所以当时，所以， 即，此时， 设直线与直线的交点横坐标为，与的交点横坐标为， 联立方程得：，， 则； 设直线与函数的交点横坐标为和， 联立方程得：， 则. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙东北县域名校发展联盟（ZDB） 2024/2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 3. 下列函数求导正确是（ ） A B. C. D. 4. 已知函数则（ ） A. B. 100 C. 2 D. 1 5. 某活动共包含、、、、这5个环节，其中环节、必须相邻，环节、不能相邻，那么不同的安排方式一共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 6. 对于随机事件、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 8. 已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2025 D. 2026 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 将一组数据中每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D. 决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3个零点 B. 既存极大值，也存在极小值 C. 若时，，则的最大值为2 D. 若函数有2个零点，则 11. 高考数学新课标I卷试题的第二部分为多选题，每题设有4个选项，其中正确选项的数量为2个或3个.若正确答案共2个选项，每选对1个得3分；若正确答案共3个选项，每选对1个得2分.需要注意的是，全部选对才能得6分，一旦选中任何错误选项，该题即得0分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三个正确选项的概率是，记X、Y、Z分别为张三随机选择1个、2个、3个选项的得分，则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____. 13. 已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，则_____. 14. 已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值是_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求曲线在处的切线方程. 16. 2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%. （1）根据所给数据，完成列联表； 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 20 女性 40 合计 （2）在（1）的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 18. 近年来，购买盲盒成为当下年轻人潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是，开出敖丙手办的概率是. （1）若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为，求的分布列和期望； （2）若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量； （3）若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办? 19. 已知函数. （1）求的最小值，并求出相应的； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）若直线（其中）与图象的交点横坐标分别为，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$