精品解析：甘肃省张掖中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

张掖中学2024—2025学年第二学期期中考试 高一数学考试试卷 命题人：杨开发 注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简后，逆用差角的正弦公式计算即得. 【详解】 . 故选：B. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：B 4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得. 【详解】由正弦定理得，得． 故选：A. 5. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式，求得，结合百分位数的算法，即可得到答案. 【详解】由数据的平均数为16，可得，可得， 将这组数据从小到大排列，可得， 因为，所以这组数据的第65百分位数为. 故选：A. 6. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可求解． 【详解】， 因为，所以，则，即， 故选：C． 7. 已知，， 则= （ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件切化弦，再利用二倍角的正余弦公式变形计算作答. 【详解】因，，则， 所以. 故选：D 8. 已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，根据三点共线，则存在实数，满足，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 可得，， 因为三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件结合大角对大边可得，结合正弦定理可得，判断A，对于B，结合两角和正切公式化简条件可求，由此可求，再求，判断B，对于C，结合余弦定理化角为边，化简可得，判断C，对于D，结合正弦定理化边为角，化简可得，判断角的关系，判断D. 【详解】设的外接圆半径为，则，，， 对于A，因为，由大角对大边可得，所以， 所以，A正确； 对于B，因为， 所以， 若，则， 所以，矛盾， 所以，故， 所以，又， 所以，所以， 所以是钝角三角形，B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形；C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 又，，， 所以，则是等边三角形，D正确； 故选：ABD. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. 向量、的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示可求出的值，可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为向量，，则， 因为，则，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 因为，故，即向量、的夹角为，B对； 对于C选项，，故，C对； 对于D选项，在上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C. 若复数是纯虚数，则实数的值为2 D. 若是关于的方程（）的根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的模的定义计算判断A；利用复数对应点的坐标判断B；利用纯虚数的定义计算判断C；把根入方程，利用复数相等的条件计算可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限在第四象限，故B错误； 对于C，若复数是纯虚数， 则，解得，故C正确； 对于D，若是关于的方程（）的根， 则，整理可得， 所以，解得，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 与平面向量同向共线的单位向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量模长，再结合题设条件即可求解. 【详解】因为向量的模长为， 所以与平面向量同向共线的单位向量的坐标为. 故答案为：. 13. 有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为______． 【答案】24 【解析】 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】由题意，得新数据的平均数为， 设其方差为．因为， 所以．所以． 故答案为：24 14. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知复数（）． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）或4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据复数的运算得出+的坐标，再根据复数的几何意义列出不等式求解即可． 【小问1详解】 因为的实部与的模相等， 所以， 化简为， 解得或4． 【小问2详解】 复数在复平面上的对应点为在第四象限， 所以， 故的取值范围为． 16. 已知、均为锐角，. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用同角三角函数关系式，结合两角差的余弦公式计算即可； （2）运用两角和的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为均为锐角，所以. 又，所以. 【小问2详解】 根据第（1）问可知： 17. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【答案】（1） （2）74 （3）2，4，8. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图，结合加权平均数运算求解即可； （3）可知评分低于70分的三组频率之比为，根据分层抽样运算求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 【小问2详解】 由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74. 【小问3详解】 评分低于70分的三组频率之比为， 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8. 18. 已知平面向量与的夹角为，且，. （1）求向量的模； （2）若，求实数的值； （3）设为实数，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据向量垂直，得数量积为0，即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ，且，，. ，. 【小问2详解】 ， ， ，，，，解得 【小问3详解】 ， 当时，取得最小值为. 19. 若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由； （2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），理由：当为“可平衡”函数时， 由题意可得对于定义域内的任意实数成立， 即对于定义域内的任意实数成立， 所以，即对于定义域内的任意实数成立， 则，解得， 综上，当，时，函数为“可平衡”函数. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据“可平衡”函数的定义结合两角和差的正弦公式求解即可； （2）先根据余弦的二倍角公式转化为，再利用待定系数，令系数为0时恒等于0判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有 成立， 则对于定义域内的任意实数成立， 即， 即， 即对于定义域内的任意实数成立， 因为，所以， 所以，即，，解得， 综上，当，时，函数为“可平衡”函数. 【点睛】方法点睛： 根据“可平衡”函数的定义，结合三角恒等变换，根据题意列出参数满足的关系式，利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张掖中学2024—2025学年第二学期期中考试 高一数学考试试卷 命题人：杨开发 注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第65百分位数为（ ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 6. 已知的内角的对边分别是，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，， 则= （ ） A. 2 B. -2 C. D. 8. 已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. 向量、的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C. 若复数是纯虚数，则实数的值为2 D. 若是关于的方程（）的根，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 与平面向量同向共线的单位向量的坐标为__________. 13. 有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为______． 14. 已知，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知复数（）． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 16. 已知、均为锐角，. （1）求，的值； （2）求的值. 17. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 18. 已知平面向量与的夹角为，且，. （1）求向量的模； （2）若，求实数的值； （3）设为实数，求的最小值. 19. 若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由； （2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $