精品解析：湖南省部分校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

湖南省高一年级四月考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至必修第二册第八章8.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用指数函数单调性得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 3. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故选：C 4. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，则， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：A. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，， 且， 所以. 故选：D. 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理角化边，得出.设，联立方程组求得，，的值，根据余弦定理及其推论，计算求解即可得出答案. 【详解】由正弦定理角化边结合已知得， 设， 则，解得， 所以由余弦定理及其推论可得， ． 故选：C. 7. 已知函数，则使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得. 【详解】易知是偶函数， 当时，令，则可转化为， 因为函数在上单调递增，函数是上的增函数， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 故选：D 8. 如图，在四边形中，分别是的中点，，，与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求解. 【详解】由于分别是的中点，故,由可得, 故, 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】求出变换之后得到的的解析式，依次代入选项判断可得结果. 【详解】依题意可得， 对于A，因正弦函数的值域为，则，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由，可得，则在上先增后减，故D错误． 故选：AC. 10. 的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】由求出的范围，即可判断, 【详解】由满足的有两解，可得，即， 即，则符合题意的有BC. 故选：BC 11. 如图，正方体的棱长为6，P是AB的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体内切球的表面积为 B. 若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为 C. 若点是的外心，则 D. 若动点满足，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由球的体积以及表面积公式即可判断AB，由，结合数量积的运算律代入计算，即可判断C，由题意可得三点共线，然后将正方体展开，结合勾股定理代入计算，即可判断D 【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则其内切球的半径， 内切球的表面积为，故A正确； 对于B，由条件可知，点的轨迹是以为球心，为半径的球的， 则的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为，故B错误； 对于C，因为是以为边长的等边三角形， 若点是的外心，即是的重心， 由重心定理可得， 则 ，故C正确； 对于D，若动点满足， 由三点共线定理可知，三点共线，即点在线段上， 将平展在一个平面中，如图所示： 则， 故， 故的最小值为，故D 正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，且，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由可得, 所以， 设，则，解得，故, 故答案为： 13. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接用斜二测画法画出梯形水平放置时的直观图.再计算即可. 【详解】运用斜二测画法根据直观图画出原图，如下， 梯形的面积为30，，则原图梯形的高为， 即，解得.，则. 根据直观图与原图的长度关系，知道原图高为. 故答案为：. 14. 某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 【答案】20 【解析】 【分析】根据正弦定理计算求解. 【详解】如图； 由题意得：，，，则． 由正弦定理， 得，所以乙船的航行速度是． 故答案为：20. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若为实数，求； （2）若为虚数，求的取值范围； （3）若为纯虚数，求. 【答案】（1）或5 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【小问1详解】 由题意得 得或5 【小问2详解】 由题意得 得且 【小问3详解】 由题意得 得故，所以,所以． 16. 如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体． （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意，该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的，利用圆锥的体积公式计算即可； （2）该几何体的表面积为两个圆锥的侧面积加一个圆环面积，计算即可. 【小问1详解】 由，可得， 则， 则该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的． 所以，该几何体的体积为． 【小问2详解】 由题及（1）可得，， 则该几何体的表面积为． 17. 如图，在平行四边形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 【答案】（1）， （2） 是直角三角形． 证明如下：由题意得，， 则 所以．故是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）用平面向量的线性运算可得，,并结合已知条件可得； （2）根据题意，，再通过计算得，即可得证. 【小问1详解】 由题意得，， 则． ． 【小问2详解】 略 18. 已知的内角所对的边分别为． （1）已知外接圆的面积为． ①求； ②求的最大值． （2）若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解①，根据余弦定理可得，即可根据基本不等式求解②， （2）利用向量的线性运算，结合向量垂直的关系，即可求解得，进而利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ①外接圆的半径为，则，故， 所以, ②由可得，故， 故，当且仅当时取等号，故的最大值为. 【小问2详解】 由于，所以 由于为的垂心，故， ， 故，故， 由可得，故 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 【答案】（1）3 （2）①； ②的上确界是，证明如下： 由题意可得， 由得， 所以故， 接下来证明是的上确界， ， 对任意给定的， 若，可取，使得， 若,可取，使得， 综上可得的上确界是. 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的单调性求解值域，即可根据确界的定义求解， （2）根据可得，进而根据可得求解①，化简，即可利用正弦函数的性质求解，利用上确界的定义求证即可. 【小问1详解】 由于， 进而，故的上确界为3. 【小问2详解】 由可得，故，则, 设距离最短的两个交点为， 则， 因此，即， , 得， 则， 解得， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省高一年级四月考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至必修第二册第八章8.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与单位向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，分别是的中点，，，与的夹角为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 10. 的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，正方体的棱长为6，P是AB的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体内切球的表面积为 B. 若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为 C. 若点是的外心，则 D. 若动点满足，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，且，则点的坐标为______． 13. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________. 14. 某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若为实数，求； （2）若为虚数，求的取值范围； （3）若为纯虚数，求. 16. 如图，在中，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体． （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积． 17. 如图，在平行四边形中，，，. （1）用，表示，； （2）若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 18. 已知的内角所对的边分别为． （1）已知外接圆的面积为． ①求； ②求的最大值． （2）若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求． 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得．这时，称为集合的上确界． （1）直接写出集合的上确界． （2）在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为． ①求； ②求集合的上确界，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $