精品解析：江苏省常州市田家炳高级中学2024-2025学年高一下学期期中联合调研数学试卷

2024-2025学年第二学期高一年级期中联合调研数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 (选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可化简复数，即可根据模长公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B 2. 在中， 若， 则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式可得，即可得求解. 【详解】由正弦定理和可得， 故, 由于，故,结合为三角形的内角，故， 故三角形为直角三角形， 故选：A 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解. 【详解】因为，则，因为，则，可得， 因为，则，， 所以，，， 所以， ， 所以，. 故选：A. 4. 已知在中，角所对的边分别为，满足 ，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据余弦定理以及面积公式得出，A选项可判断为直角三角形；B根据余弦定理得出，可利用勾股定理判断；C利用正弦定理求出，再结合角的范围即可判断；D利用正弦定理求出，再结合角的范围即可判断. 【详解】因， 则在中利用余弦定理可得，，则， 因，则； 若，则为直角三角形，故A错误； 若，则由余弦定理可得， 则，则， 故为直角三角形，故B错误； 若，则由正弦定理可得，， 则， 因，则角在和内分别存在一值， 则可能为钝角三角形，故C错误； 若，则由正弦定理可得，， 则， 因，则，则，故为锐角三角形，故D正确. 故选：D 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可. 【详解】已知，且， 则，所以， 则. 故选：C. 6. 计异下列合式的值， 结果为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， 则有， 所以 ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：C 7. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，标出，，，四个点的坐标，写出向量，的坐标，即可表示出，进而可求得其范围． 【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系， 易知，，， 当在线段上运动，设，其中， 所以，， 则， 因为，所以， 当在线段上运动，设，则，且, 则，故，， 则， 因为，所以，综上，的取值范围为. 故选：C. 8. 的内角的对边分别为，若 则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据恒等变换以及弦切互化可得，即可根据正切的和差角公式以及基本不等式求解的最大值为，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得, ， 故， , 则同号，故为锐角，故，即，当且仅当时取等号， 故的最大值为， 故，故面积的最大值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. B. 已知在上的投影向量为且，则 C. 若非零向量，满足 则与+的夹角是30° D. 已知 ，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断与平行时的取值可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为在上的投影向量为，所以， 又，所以，则，故B错误； 对于C，因为非零向量满足， 则，即有， 所以，又， 所以与的夹角的余弦值为， 又，可得与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 当与平行时，，解得， 此时与的夹角不为锐角，故D错误. 故选：AC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若复数满足则 B. 若为复数，则 必成立 C. 若复数则 D. 若复数满足， 则为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由复数的运算性质对选项逐一判断. 【详解】对于A，若设，即，则，，故A正确， 对于B，若，则，，故B错误， 对于C，若 ， 故，故C正确， 对于D，设，则， 故，化简可得，，故为纯虚数，D正确， 故选：ACD 11. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了向量的数量积、利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题. 先由向量的数量积、正弦定理和三角恒等变换得，则，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可. 【详解】对于A选项，依题意，， 则， 由正弦定理，， 因为，且， 故，故， 因为，故，故A错误； 对于B选项，由选项A可知，，故其外接圆面积为，故B正确； 对于C、D选项，因为，记， 所以，，，， 在中，由正弦定理，，即， 在中，由余弦定理，， 故，解得， 因为，则，，故C、D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中，，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可. 【详解】由z1>z2，得， 即，解得. 故答案为：0 13. 设平面向量 若则平面向量的坐标是_______.(写出其中一个的坐标) 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】设， 由则，故，化简可得， 取，则， 故， 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知 则______________________ 【答案】##0.68 【解析】 【分析】根据正切的和差角公式得，进而根据正切的二倍角公式解得或，进一步弦切互化齐次式得，即可求解. 【详解】由于，故， 因此， 所以，故， ，故或， 当时，， 当时，， 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算可得，即可得共轭复数； （2）可知：、是方程的根，利用韦达定理即可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以z的共轭复数. 【小问2详解】 由题意可知：、是方程的根， 则，即. 16. 若已知向量，，设函数. （1）若且，求角的大小； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量平行坐标表示列式化简求角； （2）由向量数量积公式结合三角恒等变换求值，最后应用两角和差正弦公式计算. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， . 17. 记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， （1）求 （2）设，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值； （2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高. 【小问1详解】 在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， 【小问2详解】 由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 18. 如图，在中，已知，是的中点，是上的点，且，相交于点.设 （1）若，求的面积; （2）若求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可. （2）表达出，求出,,,求出. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 【小问2详解】 易知， 则， ， ， 所以. 19. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科. （1）已知，试证明此三倍角公式； （2）若角满足 ，求的值； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 【答案】（1） 由 ， 得证； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论； （2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论； （3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，可得， 又 ， 故. 【小问3详解】 由，则， 所以，则， 所以，可得（负值舍）， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级期中联合调研数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 (选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知， 则（ ） A. B. C. D. 2. 在中， 若， 则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，角所对的边分别为，满足 ，则下列条件能使成为锐角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 计异下列合式的值， 结果为2的是（ ） A. B. C. D. 7. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，若 则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. B. 已知在上的投影向量为且，则 C. 若非零向量，满足 则与+的夹角是30° D. 已知 ，且与夹角为锐角，则的取值范围是 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若复数满足则 B. 若为复数，则 必成立 C. 若复数则 D. 若复数满足， 则为纯虚数 11. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中，，则的值为__________. 13. 设平面向量 若则平面向量的坐标是_______.(写出其中一个的坐标) 14. 已知 则______________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）求z的共轭复数； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值． 16. 若已知向量，，设函数. （1）若且，求角的大小； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 17. 记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， （1）求 （2）设，求边上的高. 18. 如图，在中，已知，是的中点，是上的点，且，相交于点.设 （1）若，求的面积; （2）若求的值. 19. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科. （1）已知，试证明此三倍角公式； （2）若角满足 ，求的值； （3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $