专题05 三角形（必刷50题16种题型专项训练）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材冀教版

专题05 三角形（必刷50题16种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的识别与有关概念（高频） 题型二 构成三角形的条件（难点） 题型三 三角形的分类（高频） 题型四 三角形三边关系的应用（重点） 题型五 三角形内角和定理的证明（高频） 题型六 与平行线有关的三角形内角和问题 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型八 三角形折叠中的角度问题（重点） 题型九 三角形内角和定理的应用（重点） 题型十 三角形的外角的定义及性质（重点） 题型十一 三角形角平分线的定义（易错） 题型十二 画三角形的高（高频） 题型十三 重心的概念 题型十四 根据三角形中线求长度（难点） 题型十五 根据三角形中线求面积（高频） 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 题型一 三角形的识别与有关概念 1．（七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，的对边是 ．    题型二 构成三角形的条件 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形的分类 5．（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．（七年级下·河北邯郸·期末）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（    ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 题型四 三角形三边关系的应用 7．（24-25七年级下·河北张家口·期中）三边的长，，都是整数，，，则满足条件的三角形共有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 8．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，、为池塘岸边两点，小丽在池塘的一侧取一点，得到，测得米，米，、间最大的整数距离为 米． 9．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 题型五 三角形内角和定理的证明 10．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图所示，下列关系一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 题型六 与平行线有关的三角形内角和问题 13．（22-23七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    15．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题 16．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）阅读下面的数学问题： 如图，在中，于点，于点，，交于点，平分，平分． 甲、乙两人经过研究，分别得到如下结论： 甲：； 乙：． 其中判断正确的是（     ） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都错误 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．甲的结论正确，乙的结论错误 17．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，点P是的三条角平分线的交点，则等于（    ）    A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 题型八 三角形折叠中的角度问题 20．（七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 22．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 23．（22-23七年级下·河北唐山·期末）一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．      (1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______． (2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数． (3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系． 题型九 三角形内角和定理的应用 24．（24-25·河北唐山·期中）如图，已知则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级下·河北保定·期末）若三个角的大小满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为 ．    27．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____． 题型十 三角形的外角的定义及性质 28．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，平面上直线分别过线段两端点（数据如图），则相交所成的锐角是（　　） A． B． C． D． 29．（24-25·河北承德·期末）如图所示，直线，，，则的度数为 °．    30．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则_____； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用k表示）． 31．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图1，已知直线， 把一块含的直角三角板的边放置于直线上 ，与边交于点Q． (1)填空： °． (2)现将射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时立即返回；同时，射线绕点B 以每秒的转速逆时针旋转得到射线，当射线与重合时，射线、均停止转动．设旋转时间为t（秒）． ①当时，若射线与射线相交，设交点为P． （i）当（秒）时， °； （ii）若，求此时t的值． ②在旋转的过程中，是否存在；若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型十一 三角形角平分线的定义 32．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 33．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．直角三角形的高只有一条 B．三角形的高至少有一条在三角形内部 C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D．钝角三角形的三条高都在三角形外部 34．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是 ； （2）是三角形 的角平分线． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 题型十二 画三角形的高 36．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，边上的高线是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 题型十三 重心的概念 38．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 40．（23-24七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 题型十四 根据三角形中线求长度 41．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（22-23七年级下·河北张家口·期中）如图，的角平分线，中线交于点O，则： 结论Ⅰ：是的角平分线； 结论Ⅱ：是的中线.    对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中边上的中线把的周长分成30和20两部分，则的长为 ． 44．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 题型十五 根据三角形中线求面积 45．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，点，分别为，的中点．若的面积为4，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 46．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，的边上一动点，取的中点，连接，，如果的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 47．（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，是中线，是的高，且，．    (1)___________（填数字）； (2)求及的长； (3)若，求和的周长差． 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 48．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 49．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    50．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，，求四边形的面积．   $$专题05 三角形（必刷50题16种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的识别与有关概念（高频） 题型二 构成三角形的条件（难点） 题型三 三角形的分类（高频） 题型四 三角形三边关系的应用（重点） 题型五 三角形内角和定理的证明（高频） 题型六 与平行线有关的三角形内角和问题 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型八 三角形折叠中的角度问题（重点） 题型九 三角形内角和定理的应用（重点） 题型十 三角形的外角的定义及性质（重点） 题型十一 三角形角平分线的定义（易错） 题型十二 画三角形的高（高频） 题型十三 重心的概念 题型十四 根据三角形中线求长度（难点） 题型十五 根据三角形中线求面积（高频） 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 题型一 三角形的识别与有关概念 1．（七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 2．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，的对边是 ．    【答案】/ 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 【详解】解：在中，的对边是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义． 题型二 构成三角形的条件 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 故选：． 4．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 题型三 三角形的分类 5．（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 6．（七年级下·河北邯郸·期末）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（    ） A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类进行判断． 【详解】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 【点睛】考查了三角形的分类，解题关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形，注：等腰三角形包括等边三角形． 题型四 三角形三边关系的应用 7．（24-25七年级下·河北张家口·期中）三边的长，，都是整数，，，则满足条件的三角形共有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据题意，分三种情况：当，时；当，时；当，时；分别求解即可． 【详解】解：∵三边的长，，都是整数，，， ∴当，时，，即， ∴， ∴或或或或，共种情况： 当，时，，即， ∴， ∴或或，共种情况； 当，时，，即， ∴， ∴，共种情况； 综上所述，满足条件的三角形共有（个）， 故选：C． 8．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，、为池塘岸边两点，小丽在池塘的一侧取一点，得到，测得米，米，、间最大的整数距离为 米． 【答案】27 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】∵，， ∴由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴A、B间的最大的整数距离为27米， 故答案为：27． 9．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴A选项符合题意． 故选：A． 题型五 三角形内角和定理的证明 10．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图所示，下列关系一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明 【分析】根据三角形的外角的性质、三角形的三边关系逐项判断即可解答． 【详解】解：A．都是的内角，所以大小关系不确定，故不满足题意； B．，故满足题意； C．,但关系不明确，故不满足题意； D．都是的内角，所以大小关系不确定，故不满足题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角、三角形的外角的性质、三角形的三边关系等知识点，灵活理解三角形的外角的性质是解答本题的关键． 11．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得，再根据，通过等量代换可得． 【详解】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 题型六 与平行线有关的三角形内角和问题 13．（22-23七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】设交于点，交于点，由题意可得三角形是直角三角形，根据想内角和定理得出，根据平行线的性质以及对顶角相等即可求解． 【详解】如图，设交于点，交于点， 由题意可得三角形是直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    【答案】 70° 40°或80° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据平行可得，即可求出； （2）画出图形，先求出，再求出的度数即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ 当在右边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当在左边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40°或80°． 【点睛】本题考查三角形内角和及平行线的性质，熟记平行线的性质并选择合适的角度关系是解题的关键． 15．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题 16．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）阅读下面的数学问题： 如图，在中，于点，于点，，交于点，平分，平分． 甲、乙两人经过研究，分别得到如下结论： 甲：； 乙：． 其中判断正确的是（     ） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都错误 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．甲的结论正确，乙的结论错误 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理，根据，，得出，根据四边形内角和求出，即可判断甲正确；根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故甲正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，故乙正确； 综上分析可知：甲、乙均正确． 故选：A． 17．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，点P是的三条角平分线的交点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线性质可得，，，根据三角形内角和为即可解题． 【详解】解：点是三条边角平分线的交点， ，，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理． 18．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义： （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （2）平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （3）、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又，，， 即， ， 又∵，， ， ， ． 题型八 三角形折叠中的角度问题 20．（七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，折叠的性质，得到，平角的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 21．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 22．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【知识点】角平分线的有关计算、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；； （3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可； ②，代入计算即可． 【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键． 23．（22-23七年级下·河北唐山·期末）一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．      (1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______． (2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数． (3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． （2）根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． （3）连接，根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】（1）∵ 沿折叠，点C落在点的位置，， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）∵沿折叠，点C落在点的位置，，， ∴，， ∴． （3）．理由如下： 连接， ∵沿折叠，点C落在点的位置， ∴，      ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键． 题型九 三角形内角和定理的应用 24．（24-25·河北唐山·期中）如图，已知则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据对顶角和垂线的定义，得出再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：A． 25．（23-24七年级下·河北保定·期末）若三个角的大小满足，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：三个角的大小满足， ， ， 故选A． 26．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，平分，点E在射线上，于F，，，则的度数为 ．    【答案】/31度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关键． 由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ， 平分， ， ， 于F， ， ， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)6 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 题型十 三角形的外角的定义及性质 28．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，平面上直线分别过线段两端点（数据如图），则相交所成的锐角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．设a,b两条直线交于点A，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，设a,b两条直线交于点A， 由三角形的外角性质得：， 相交所成的锐角的度数是． 故选：D． 29．（24-25·河北承德·期末）如图所示，直线，，，则的度数为 °．    【答案】40 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图，∵直线， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为．    30．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则_____； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】与余角、补角有关的计算、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、补角的定义，熟练掌握以上知识点，理解新定义是解此题的关键． （1）根据k倍角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数；②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：是的5倍补角， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，过点E作， ， ， ，， ， 由题意得，， ， ，即； ②，， ， 由①得， ， ， 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， 是的外角， ， 同理可得， ； 综上所述，或． 31．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图1，已知直线， 把一块含的直角三角板的边放置于直线上 ，与边交于点Q． (1)填空： °． (2)现将射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时立即返回；同时，射线绕点B 以每秒的转速逆时针旋转得到射线，当射线与重合时，射线、均停止转动．设旋转时间为t（秒）． ①当时，若射线与射线相交，设交点为P． （i）当（秒）时， °； （ii）若，求此时t的值． ②在旋转的过程中，是否存在；若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120 (2)①（i）；（ii）；②存在， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理得出，再根据补角的定义求出． （2）①（i）先求出，恰好和重合，，再根据平行线的性质即可得出，（ii）当，分别表示出，，再根据三角形内角和定理列出关于t的一元一次方程，解方程即可得出t． ②分三种情况，根据题意表示出各角，再根据三角形内角和定理列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵，三角板的边放置于直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①（i）当时，，恰好和重合， ， ∵， ∴． （ii）当当时，， 如下图： 射线绕点Q旋转t秒后，，则， 射线绕点B旋转t秒后，，则． 在中， ． 即． 解得∶． ②分三种情况： 当时，如①（ii）当时，． 当时，当未返回时， 射线旋转的角度为，则， 射线旋转的角度为，则， 若，则， 根据三角形内角和定义可知：， 即， 解得：． ∵， ∴（舍去） 当时，当返回时， 射线旋转的角度为，则， 射线旋转的角度为，则， 若，则， 根据三角形外角的定义可知： 即， 解得：（舍去）， 综上：只有当秒时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形外角的定义以及三角形内角和定理，一元一次方程的应用等，学会分类思想是解题的关键． 题型十一 三角形角平分线的定义 32．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 33．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．直角三角形的高只有一条 B．三角形的高至少有一条在三角形内部 C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D．钝角三角形的三条高都在三角形外部 【答案】B 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误； B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确； C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误； D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误． 故选：B． 34．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是 ； （2）是三角形 的角平分线． 【答案】 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； ∵， ∴是三角形的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义． 35．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D． (1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【知识点】利用平移的性质求解、三角形角平分线的定义 【分析】考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等． （1）根据平移的性质得到，从而得到，然后根据平分得到，从而得到∶ （2）根据平移的性质得到进一步得到，然后根据平分得到，从而得到． 【详解】（1）解： ．理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到的， ． ． 平分， ． ． （2）证明：∵三角形是由三角形平移得到的， ． 平分， ． ． 平分． 题型十二 画三角形的高 36．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：所给图形中，线段能表示的高的是D选项， 故选：D． 37．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，边上的高线是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键．直接根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】解：由图可知：在中，边上的高线是线段． 故选：B． 题型十三 重心的概念 38．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 39．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 【答案】D 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 40．（23-24七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见解析， 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 题型十四 根据三角形中线求长度 41．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 42．（22-23七年级下·河北张家口·期中）如图，的角平分线，中线交于点O，则： 结论Ⅰ：是的角平分线； 结论Ⅱ：是的中线.    对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形角平分线和中线的定义判断即可． 【详解】解：是的角平分线， 平分，即平分， 结论Ⅰ：是的角平分线，正确； 是的中线， 点是的中点，而点不一定是的中点， 结论Ⅱ：是的中线，错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形角平分线和中线的定义，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中边上的中线把的周长分成30和20两部分，则的长为 ． 【答案】14 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查与三角形的中线有关的计算，根据中线的定义得到，根据，得到，根据把的周长分成30和20两部分，进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∵中线把的周长分成30和20两部分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 44．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和求出，再利用角平分线的定义得到，再求出，然后根据计算即可． 本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理． 【详解】（1）为边上的高，的面积为30， ， ， ， 为边上的中线， ； （2），， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 题型十五 根据三角形中线求面积 45．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，点，分别为，的中点．若的面积为4，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形中线把三角形的面积分成面积相等的两份是解答本题的关键． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两份逐步分析即可解答． 【详解】解：是的中点，的面积为， ， 是的中点， ， ． 故选：B． 46．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，的边上一动点，取的中点，连接，，如果的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质．根据三角形中线平分三角形面积可得，，即可推出，进而求解即可． 【详解】解：点是的中点， 是的中线，是的中线， ，， ， 故答案为：． 47．（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，是中线，是的高，且，．    (1)___________（填数字）； (2)求及的长； (3)若，求和的周长差． 【答案】(1)2 (2)， (3)1 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据三角形的中线的性质即可求解； （2）根据三角形的中线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求得； （3）根据三角形的周长公式，结合（1）（2）中结论即可求得． 【详解】（1）∵是中线， ∴， 即， 故答案为：2． （2）∵是中线， ∴， 又∵，且， 故． （3）∵的周长为， 的周长为， 且， 故和的周长差为 即和的周长差为1． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式，三角形的周长公式等，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 题型十六 与三角形的高有关的计算问题 48．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键； 利用三角形面积关系求出的长度，利用垂线段最短即可求解； 【详解】解：如图，过C作交于点， ， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， 线段的长度不可能是； 故选：A． 49．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】由是的中线可得的面积的面积，分别表达两个三角形的面积，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，解题的关键是掌握三角形中线及其应用． 50．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，，求四边形的面积．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】如图，过作于，而，可得所以，再利用四边形的面积等于两个三角形的面积之和可得答案． 【详解】解：如图，过作于，而，    所以，而， 所以四边形的面积为 ． 【点睛】本题考查的是利用割补法求解三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解本题的关键． $$