清单05 三角形（6个考点梳理+11题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材冀教版

清单05 三角形 （6个考点梳理+11题型解读） 清单01 三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 清单02 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 清单03 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 清单04 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 清单05 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 清单06 三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【考点题型一】三角形的识别与有关概念（） 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【变式1-1】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·假期作业）观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【考点题型二】构成三角形的条件（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【考点题型三】三角形三边关系的应用（） 【例3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（七年级下·河北石家庄·期末）现有，，，长的四根木棒，任选三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 个． 【考点题型四】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 【例4】 （七年级下·河北唐山·期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【变式4-2】（23-24七年级下·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 【考点题型五】三角形折叠中的角度问题（） 【例5】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点的位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【考点题型六】三角形内角和定理的应用（） 【例6】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．， 【变式6-1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图，已知点 P 是射线上一动点 (不与点 O 重合)，， 若是钝角三角形， 则的取值范围是 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1和2，在三角形中，，，过点A，N分别作直线和射线且，的平分线交于点D，设（其中），将点A绕M逆时针旋转得到点，当直线与直线不平行时，设与交点为P．（注：三角形内角和为） (1)如图1，当点M在反向延长线上，求； (2)如图2，当时，求的值； (3)用含的代数式表示，直接写出结果； (4)当时，直接写出的值． 【考点题型七】三角形的外角的定义及性质（） 【例7】（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，D为边上的动点（不与点B，C重合），点E在边上，始终保持．当的度数每增加时，的度数（　　） A．增加 B．减小 C．增加 D．减小 【变式7-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某加工零件标出部分数据(如图)，小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应为 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在D的右侧，平分平分所在直线交于点． (1)的度数； (2)若，试求的度数（用n的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将线段沿方向平行移动，其他条件不变，直接用含n的代数式表示的度数． 【考点题型八】三角形角平分线的定义（） 【例8】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【变式8-2】（七年级下·河北承德·期末）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理． 【考点题型九】根据三角形中线求长度（） 【例9】．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 【变式9-2】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是角平分线（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【考点题型十】根据三角形中线求面积（） 【例10】．（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图，的中线、相交于点 F ， 若的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，中，于点，点为上的点（不与点重合），连接，，，． (1)当平分时，求的度数； (2)若为的中线，且的面积为10cm2，直接写出的长． 【考点题型十一】与三角形的高有关的计算问题（） 【例11】．（23-24七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【变式11-1】（22-23七年级下·河北承德·期末）已知为的中线，E为线段上一点．   　　  　　 (1)如图1，若，周长为10，求周长； (2)若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离； (3)如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 三角形 （6个考点梳理+11题型解读） 清单01 三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 清单02 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 清单03 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 清单04 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 清单05 三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 清单06 三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 【考点题型一】三角形的识别与有关概念（） 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ． 【答案】2 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【详解】解：如图，的面积为 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合网格特点，将所求的三角形的面积正确转化为长方形与直角三角形的面积关系是解题关键． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·假期作业）观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 【考点题型二】构成三角形的条件（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：“任意两边之和大于第三边，”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不符合题意； B、，不能组成三角形，故不符合题意； C、，不能组成三角形，故不符合题意； D、，能组成三角形，故符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 【答案】② 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵，∴不能组成三角形， ∵，∴2，3，4能组成三角形， ∵，∴1，4，2不能组成三角形， ∵，∴6，2，3不能组成三角形， 故答案为：②． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系： （1）可以构成三角形； （2）不能构成三角形； （3），可以构成三角形； （4），可以构成三角形； 故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形． 【考点题型三】三角形三边关系的应用（） 【例3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（七年级下·河北石家庄·期末）现有，，，长的四根木棒，任选三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 个． 【答案】2 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”即可解答． 【详解】其中的任意三条组合有①2cm、4cm、5cm；②2cm、4cm、8cm；③4cm、5cm、8cm；④2cm、5cm、8cm共四种情； ①③符合题意，②④不能构成三角形，不符合题意， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练地掌握“三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是解题的关键． 【考点题型四】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 【例4】 （七年级下·河北唐山·期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAB的度数，在△ABE中，利用三角形内角和求出∠AEB的度数，从而可得∠D的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−50°−80°＝50°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝25°， 在△ABE中，∠AEB＝180°−∠B−∠BAE＝75°， ∴∠AEB＝∠DEF＝75°， ∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴∠D＝180°−∠DFE−∠DEF ＝180°−90°−75° ＝15° 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键． 【变式4-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级下·河北唐山·期末）的两条角平分线、相交于点 I． (1)如图1： ①若求 的度数； ②若直接写出 °(用含β的式子表示)； (2)如图2，连接， 平分，作分别交、于点D、E．你发现与一定相等的角有 ； 与一定相等的角有 ． 【答案】(1)①；② (2)，；， 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． （1）①先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； ②先求出，然后根据角平分线的定义求出，，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据垂线定义得出，根据解析（1）得出，根据三角形外角性质得出，，得出；根据，，即可得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知，， 根据三角形外角的性质可知：， ， ∴； 根据解析（1）可知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【考点题型五】三角形折叠中的角度问题（） 【例5】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点的位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题）三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到，再利用三角形内角和定理及平角的定义即可求出所求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ． 【答案】120 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据折叠前后对应角相等可得，，结合三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和为180度列式求出，即可出． 【详解】解：由折叠得，， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和定理，根据折叠的性质，平角的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴； 【考点题型六】三角形内角和定理的应用（） 【例6】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出角度即可做出判断． 【详解】解：A、， ， 解得：，， 故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； B、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； C、，，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； D、，，，故此条件能够判定为直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图，已知点 P 是射线上一动点 (不与点 O 重合)，， 若是钝角三角形， 则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为和钝角三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：当为锐角时，则为钝角， ∴，， ∵， ∴此时； 当为钝角时，则； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1和2，在三角形中，，，过点A，N分别作直线和射线且，的平分线交于点D，设（其中），将点A绕M逆时针旋转得到点，当直线与直线不平行时，设与交点为P．（注：三角形内角和为） (1)如图1，当点M在反向延长线上，求； (2)如图2，当时，求的值； (3)用含的代数式表示，直接写出结果； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，旋转性质等． （1）根据三角形内角和定理得，利用平行线性质得，利用角平分线性质得，继而得到本题答案； （2）先得到，再由平行线性质得，再利用余角列式即可得到； （3）利用，，即可得到； （4）过点作，继而得，，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将点A绕M逆时针旋转得到点， ∴， ∴， ∵，，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，解得：； （3）解：∵，， ∴； （4）解：过点作， ， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵将点A绕M逆时针旋转得到点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 【考点题型七】三角形的外角的定义及性质（） 【例7】（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，D为边上的动点（不与点B，C重合），点E在边上，始终保持．当的度数每增加时，的度数（　　） A．增加 B．减小 C．增加 D．减小 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，由，，得，从而得出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴当的度数每增加时，的度数增加， 故选：C． 【变式7-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某加工零件标出部分数据(如图)，小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角性质．延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】解：延长交于点，如图， ，，是的外角， ， ，是的外角， ． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在D的右侧，平分平分所在直线交于点． (1)的度数； (2)若，试求的度数（用n的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将线段沿方向平行移动，其他条件不变，直接用含n的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质以及三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定和性质可得，，从而得到，，即可求解； （3）分四种情况讨论，结合平行线的判定和性质以及三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ； （2）解：过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ； （3）解：过点作， ①如图1，点在点的右边时， 由（2）得：不变，为； ②如图2，点在点的左边时， 平分，平分，，， ，， ， ， ，， ， ③如图3中，点在的上方时，延长交于点K， 平分，平分，，， ，， ， ， ， ； ④如图4中，点在的下方时，延长交于点K， 平分，平分，，， ，， ， ， ， ． 综上所述，的度数变化，度数为或或． 【考点题型八】三角形角平分线的定义（） 【例8】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 【变式8-1】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【答案】线段 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出． 【详解】解：三角形的角平分线是线段． 故选B． 【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 【变式8-2】（七年级下·河北承德·期末）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理． 【答案】AD//BC，理由见解析． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】根据AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，利用三角形的外角性质，∠B+∠C＝∠EAC，得出∠C＝∠CAD解题即可． 【详解】解：AD//BC． 理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC， ∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角， ∴∠EAC＝∠B+∠C， ∴ ， ∴∠CAD＝∠C， ∴AD//BC． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【考点题型九】根据三角形中线求长度（） 【例9】．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 和周长的差， 的周长为，比长， 周长为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键． 【变式9-1】（23-24·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 【答案】 或 【知识点】线段的和与差、根据三角形中线求长度 【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解； 分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的中点， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：； 如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 【变式9-2】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是角平分线（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，是高，求的度数； (3)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）首先由是中线得，再分别求出和的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据是的高得，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的外角定理可得的度数； （3）先利用三角形的内角和定理求出，由此可根据据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：是中线， ， ，， 的周长，的周长为， ． 故答案为：1． （2）解：是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （3）解：， ， 是的角平分线， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键． 【考点题型十】根据三角形中线求面积（） 【例10】．（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图，的中线、相交于点 F ， 若的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质是解题的关键．根据三角形的中线等分面积，得出，再根据等式的性质判断即可． 【详解】解：∵的中线、相交于点， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是 ． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点E为的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）如图，中，于点，点为上的点（不与点重合），连接，，，． (1)当平分时，求的度数； (2)若为的中线，且的面积为10cm2，直接写出的长． 【答案】(1) (2)5cm 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求长度 【分析】（1）由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质得到； （2）由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 于点， ， ； （2）解：为的中线， ， 的面积为， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、根据三角形的中线求长度、三角形的面积，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解题的关键． 【考点题型十一】与三角形的高有关的计算问题（） 【例11】．（23-24七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在中，是边上的高，的平分线与边交于点F．若，，求的度数．”对于其答案．甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到答案．根据题意画出图形进行计算即可． 【详解】解：①， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，乙同学正确， ②， 是边上的高，的平分线与边交于点F， ，丙同学正确． 故选B． 【变式11-1】（22-23七年级下·河北承德·期末）已知为的中线，E为线段上一点．   　　  　　 (1)如图1，若，周长为10，求周长； (2)若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离； (3)如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 【答案】(1)13 (2)5，图见解析 (3)或或 【知识点】根据三角形中线求长度、角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到， 根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形的高的概念作出，根据三角形的面积公式求出EF，得到点E到直线BC的距离； （3）分、、三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴． ∵， ∴，即的周长的周长 ∵的周长为10， ∴的周长为13； （2）解：如图，过点E作于F，则即为所求的的边上的高．    ∵的面积为20， ∴ ∵， ∴，即点E到直线的距离为5； （3）解：∵射线平分，， ∴． 如图，当时，；    当时，； 当时，． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查的是三角形的周长和面积的计算、三角形的中线和高的概念、垂直的定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$