精品解析：安徽省亳州市蒙城县实验永兴中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 （北师大版） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将化为，结合特殊角的三角函数可得结果. 【详解】因为, 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：C. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】因，则， 则. 故选：A 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的部分图象得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，可得的解析式，将可得的值. 【详解】由图象可得函数的最小正周期为，则， 又，则， 则，，则，， ，则，，则， . 故选：D. 5. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得. 【详解】当时，， 则由题意可得在上有3个实数根， 即可得， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 6. 若向量在向量上投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式得，结合，利用数量积的运算律求得，代入数量积的夹角公式即可得解. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【详解】中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 8. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：，，整理可得，代入结合二次函数运算求解. 【详解】由题意可知：，， 整理可得，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，则（ ） A. B. 函数在区间上为增函数 C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：代入结合诱导公式运算求解；对于B：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：代入检验结合正弦函数对称性分析判断；对于D：可知为最小值，即可得判断. 【详解】因为， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，则， 且正弦函数在内不单调， 所以函数在区间上不单调，故B错误； 对于选项C：因为， 所以是函数的图象的一个对称中心，故C正确； 对于选项D：因为为最小值， 所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知任意两个不共线向量、，，，，，则（ ） A. B. 、、三点共线 C. 若，则点为的中点 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用共线向量的基本定理可判断B选项；分析可知，求出的值，可判断C选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断D选项. 【详解】对于A选项，， ， 所以，， 无法判断的符号，无法确定与的大小关系，A错； 对于B选项，由题意可得， ， 所以，，故、、三点共线，B对； 对于C选项，若为的中点，则， 因为，， 所以，，解得，C错； 对于D选项，若，则，故，D对. 故选：BD. 11. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，点P与点Q重合 D. 当点与点重合时，点的坐标可以为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据任意角的定义求出运动秒后，点的坐标，则可判断ABC选项；D利用诱导公式化简，即可结合C选项判断. 【详解】运动秒后，点， 由题意可知，点的初始位置为， 则运动秒后， 则， 则时，，故A正确； 时，， 故B错误； 当时，， 即，故C正确； 因， 则由C选项可知，秒后点与点在点处重合，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化成弧度是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用弧度与角度之间的转化规则计算. 【详解】因，则. 故答案为： 13. 已知命题p：若为第一象限角，且，则，能说明命题p为假命题的一组的值可以是__________，__________． 【答案】 ①. （答案不唯一）； ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只要找到一组满足题意的角即可. 【详解】因为为第一象限角，且， 取，则且在第一象限，此时， 故命题p为假命题，满足题意， 所以的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）. 14. 已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，，转化条件为 ，数形结合即可求解.． 【详解】设则，，， 则点A,B分别在x,y轴上运动，点C在单位圆的第一象限（包含与坐标轴正半轴的交点）上，， ，，如图所示， 则， 分别作点C关于关于y轴、x轴的对称点,则均在圆上，为单位圆的直径， 所以， 所以， 当且仅当点A,B在线段上时，等号成立，此时， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上． （1）若角终边上一点P的横坐标为，求和； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，结合任意角三角函数的定义运算求解； （2）由题意可知：，利用诱导公式结合齐次式问题运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以，. 【小问2详解】 由题意可知：， 所以 16. 已知向量，． （1）当，求x； （2）当，求； （3）在平面直角坐标系xOy中，，，若三角形AOB的重心G在y轴上，求x的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求，结合向量共线的坐标表示运算求解； （2）根据向量垂直可得，进而可求模长； （3）分析可知，根据题意结合重心坐标公式运算求解. 【小问1详解】 因为，，则， 若，则，解得 【小问2详解】 由题意可得：， 若，则，解得， 则，所以. 【小问3详解】 因为，，即， 可知三角形AOB的重心， 若在y轴上，则，所以. 17. 如图，在梯形中，． （1）令，，用，表示，，； （2）若，且，求，． 【答案】（1）， ， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律及得到方程，求出，最后根据及运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， ， ； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为， 且， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以 ． 18. 已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）当时，求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， ①当时，求函数的值域； ②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 【答案】（1） （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性和周期性可得，再结合正弦函数的单调性分析求解； （2）根据图象变换可得.①以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；②整理可得，结合正弦函数图象分析判断，再结合对称性运算求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，则， 且，所以， 设的最小正周期为， 由题意可知：，即， 且，则，可得， 所以， 因为，则， 且在内单调递减，在内单调递增， 可得，即 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， ①因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为； ②令，则， 因为，则， 由图象可知：与在内有4个交点，所以， 且， 可得， 所以. 19. 已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数． （1）对于向量序列、，求、的值； （2）设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量的横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）根据定义，分别讨论当和为最小值时和，比较大小即可； （3）不妨设①若， 因为中任意，存在；②若，由，，所以一定存在正整数，使得，可得，即可得，设，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，，满足题意． 小问1详解】 对于向量序列、，由题中定义可得， . 【小问2详解】 ， ， 当为最小时，， 因为，，所以， 当为最小时，， 因为，，所以， 所以两种情况下均有. 【小问3详解】 不妨设， ①若， 因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可； ②若， 因为，，所以一定存在正整数， 使得， 可得， 又因为 ． 设，，则 ， 当且仅当时取等号， 所以，时， ，； 综上所述，存在两个非空子集、，满足题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 （北师大版） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. =(　　) A. B. C. D. 2 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知扇形的半径为r，弧长为l，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，则（ ） A. B. 函数在区间上为增函数 C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 10. 已知任意两个不共线向量、，，，，，则（ ） A. B. 、、三点共线 C. 若，则点为的中点 D. 若，则 11. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与圆O的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时，点P与点Q重合 D. 当点与点重合时，点的坐标可以为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化成弧度是__________． 13. 已知命题p：若为第一象限角，且，则，能说明命题p为假命题的一组的值可以是__________，__________． 14. 已知向量，，满足：，，．m，，则的最小值为__________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上． （1）若角终边上一点P横坐标为，求和； （2）求． 16 已知向量，． （1）当，求x； （2）当，求； （3）在平面直角坐标系xOy中，，，若三角形AOB的重心G在y轴上，求x的值． 17. 如图，在梯形中，． （1）令，，用，表示，，； （2）若，且，求，． 18. 已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）当时，求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， ①当时，求函数的值域； ②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 19. 已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数． （1）对于向量序列、，求、的值； （2）设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$