决胜2025年高考数学考前猜想章节融合试卷01-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

决胜2025高考数学考前猜想章节融合试卷01 一、章节融合题型汇总 1.集合与指数函数性质 10.立体几何与古典概型 2.复数与直线方程 11.曲线新定义与函数 3.向量与同角三角函数关系 12.集合、不等式与函数 4.正态分布与二项式定理 13.立体几何中的轨迹问题 5.指数运算与实际问题 14.数列新定义、计数原理与概率 6.数列与常用逻辑用语 15.解三角形与等差、等比数列 7.三角恒等变换与向量数量积 16.统计与概率 8.双曲线、圆、解三角形与基本不等式 17.空间向量与立体几何、解三角形与椭圆 9.统计与概率 18.导数与函数新定义 19.抛物线与数列 二、章节融合题型训练 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则（ ） A B. C. D.无法确定，与有关 4.已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 24 5. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 8.已知双曲线：，分别是的左、右顶点，P是双曲线上与不重合的一动点，直线与交于两点，，的外接圆半径分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列说法正确的是（ ） A. 一组数据“，，，，，”的第百分位数为 B. 已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，且，则 10.如图，在正方体中，为过正方体的任意两个顶点的直线，则（ ） A. S有56个元素 B. 若，则满足平面的概率为 C. S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D. 若，则，为异面直线的概率为 11.若曲线与圆恰有两个公共点，且该曲线将圆的周长和面积同时等分成两个部分.则称该曲线为圆的“太极曲线”.则下列结论正确的是（ ） A. 存在不为常数函数的偶函数，使其为某个圆的“太极曲线” B. 函数是圆的“太极曲线” C. 函数可以同时是无数个圆的“太极曲线” D. 不存在实数，使得曲线为圆的“太极曲线” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． 已知，则为____________． 13.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，动点在正方体表面运动，则，则点轨迹长度为____________ 14.已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.在中，角A、B、C的对边分别为、、，已知是与的等比中项，且是与的等差中项. （1）探究的形状； （2）求的值. 16.体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 17.三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点． （1）求PB与平面PCE所成角的正弦值； （2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 18.设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 19.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． （1）求的方程； （2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 决胜2025高考数学考前猜想章节融合试卷01 一、章节融合题型汇总 1.集合与指数函数性质 10.立体几何与古典概型 2.复数与直线方程 11.曲线新定义与函数 3.向量与同角三角函数关系 12.集合、不等式与函数 4.正态分布与二项式定理 13.立体几何中的轨迹问题 5.指数运算与实际问题 14.数列新定义、计数原理与概率 6.数列与常用逻辑用语 15.解三角形与等差、等比数列 7.三角恒等变换与向量数量积 16.统计与概率 8.双曲线、圆、解三角形与基本不等式 17.空间向量与立体几何、解三角形与椭圆 9.统计与概率 18.导数与函数新定义 19.抛物线与数列 二、章节融合题型训练 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题集合， 集合， 所以. 故选：D 2.已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由复数的几何意义可知，到的距离等于到的距离，故在和的垂直平分线上， 又的中点且，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即. 故选：A. 3.已知向量，，若，则（ ） A B. C. D.无法确定，与有关 【答案】C 【解析】由题，则， 所以. 故选：C 4.已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 24 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 所以二项式的展开式中，常数项为：. 故选：D 5. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】当时，，即， 则，得. 故选：C 6.在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 8.已知双曲线：，分别是的左、右顶点，P是双曲线上与不重合的一动点，直线与交于两点，，的外接圆半径分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知得，，，由双曲线的对称性，不妨设在第一象限． 所以，，所以， 设直线PA的方程为：，， 则直线PB的方程为：， 同时令，则，， 所以，且， 设，的外接圆的半径分别为，． 由正弦定理得，，， 所以． 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列说法正确的是（ ） A. 一组数据“，，，，，”的第百分位数为 B. 已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】AC 【解析】对于A选项，因为，因此，该组数据的的第百分位数为，A对； 对于B选项，由已知可得，， 将样本中心点的坐标代入经验回归方程得，解得，B错； 对于C选项，若随机变量，且，可得， 则，C对； 对于D选项，若随机变量，且， 则，D错. 故选：AC. 10.如图，在正方体中，为过正方体的任意两个顶点的直线，则（ ） A. S有56个元素 B. 若，则满足平面的概率为 C. S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D. 若，则，为异面直线的概率为 【答案】BCD 【解析】在正方体中，共有8个顶点，任取两个顶点组合共有条直线，所以S有28个元素，故A错； 满足平面的有，所以满足平面的概率为，故B正确； 根据正方体性质易知四条体对角线与所有棱的夹角相等，故C正确； 对应D，S有28个元素，12条棱，12条面对角线，4条体对角线，任取2条共有种， 与棱异面的直线有：共12条，所以与棱异面的有； 与面对角线异面有：共13条， 与面对角线异面的有； 与体对角线异面的有：共12条，所以与体对角线异面有； 即任选2条异面的共有：种，概率，故D正确， 故选：BCD. 11.若曲线与圆恰有两个公共点，且该曲线将圆的周长和面积同时等分成两个部分.则称该曲线为圆的“太极曲线”.则下列结论正确的是（ ） A. 存在不为常数函数的偶函数，使其为某个圆的“太极曲线” B. 函数是圆的“太极曲线” C. 函数可以同时是无数个圆的“太极曲线” D. 不存在实数，使得曲线为圆的“太极曲线” 【答案】ACD 【解析】对于A选项，根据题意圆，如图， 与圆交于点、，且在轴上方三角形面积与轴下方个三角形面积之和相等， 为圆的太极函数，且是偶函数，A对； 对于B选项，联立可得或， 故抛物线交圆于点、、、， 、， 所以，， 因，故，由对称性可知， 所以，函数没有平分圆的周长， 因此，函数不是圆的“太极曲线”，B错； 对于C选项，设，因为的定义域为， ， 所以， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为圆的“太极曲线”，C对； 对于D选项，若，则曲线表示直线， 圆的方程为，圆心为，半径为， 因为，此时，直线不过圆心，不合乎题意； 若，则曲线表示两平行直线和， 圆的圆心为， 若直线经过圆心，则，可得， 此时圆的方程为，圆心为， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相交， 此时，曲线不平分圆的周长，不合乎题意； 若直线经过圆心，则，解得， 圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相交， 此时，曲线不平分圆的周长，不合乎题意； 当直线、都不过圆心时， 若曲线平分圆的周长，设直线与圆交于点、， 直线交圆于点、，如下图所示： 记圆心为，则有， 所以， 则圆被夹在直线、之间部分的面积为 ， 所以，曲线不可能平分圆的面积， 综上所述， 不存在实数，使得曲线为圆的“太极曲线”，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合． 已知，则为____________． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 由题意可知即不等式的解集， 可化为，整理可得， 即，解得或， 所以. 故答案为： 13.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，动点在正方体表面运动，则，则点轨迹长度为____________ 【答案】 【解析】因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点，连接，如下图所示： 由正方体性质易知，又为的中位线，所以，； 因此点轨迹即为线段，且， 所以点轨迹长度为 故答案为： 14.已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________ 【答案】 ① 6 ②. 【解析】对于①： 当时，数列共有种可能. 需满足，分情况讨论： ：可取0，1，2，对应，共3种； ：可取0，1，共2种； ：可取0，共1种； 总数为. 对于②： 当时，数列共有种可能. 需满足存在至少一个三元组满足条件： 计算满足前三个条件的数列数目： 前三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算满足后三个条件的数列数目： 后三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算同时满足两个条件的数列数目： 需满足，，有4种可能. 根据容斥原理，总数为 所以概率为. 故答案为：①6 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.在中，角A、B、C的对边分别为、、，已知是与的等比中项，且是与的等差中项. （1）探究的形状； （2）求的值. 【答案】（1）是以角为直角的直角三角形 （2） 【解析】（1）由题设得：， 由正、余弦定理得：， 即， 又，所以，即， 故是以角为直角的直角三角形. （2）由（1）得，， 设，则， 由得：， 即， 解得或（舍去）， 又由余弦定理，， 于是， 故. 16.体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； （2）零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． （3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 17.三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点． （1）求PB与平面PCE所成角的正弦值； （2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】（1）连接PE，因为P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点， 可得平面，因为平面，所以， 在直角中，可得， 又因为平面PEC，所以平面平面，且交线为， 过B作于点，连接， 因为平面，由面面垂直的性质，可得平面， 故为与平面所成角， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又由，所以， 在中，由，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （2）假设存在点D满足要求，则二面角为直二面角， 即二面角和二面角和为． 取AB中点O，连接CO，过O作于点N，连接CN， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为且，平面，所以平面， 所以为二面角的平面角， 在直角中，因为，可得， 过D作DH垂直AB于点H，过H作HQ垂直PB于点Q，连接DQ， 同理可得为二面角的平面角，所以， 在平面中，以O为原点，OB为x轴正方向，CO为y轴正方向建立平面直角坐标系， 根据题意，点D点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，其标准方程为， 设D点横坐标为，则，，， 所以，解得，故假设成立，此时． 18.设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． (1)判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； (2)若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】(1)答案见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】（1）因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 19.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为． （1）求的方程； （2）已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为． ①证明：当时，； ②设的面积为，证明：． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 【解析】（1） 抛物线的准线方程为， 由题意可知，所以，解得， 所以的方程为； （2） ①设，因为， 所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为， 所以直线， 与联立可得，， 可得，即横坐标为， 所以， 当时，有， 又，故，所以； ②直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以， 所以， 由（1）知，即， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 当时，， 当时， ， 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$