专题04 二元一次方程组期末复习12大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题04 二元一次方程组 题型概览 题型01二元一次方程（组）的有关概念辨析 题型02用代入法解二元一次方程组 题型03用加减法解二元一次方程组 题型04二元一次方程组错解复原 题型05二元一次方程组的特殊解法 题型06含有参数的二元一次方程组 题型07数字问题 题型08古代问题 题型09几何问题 题型10营销问题 题型11方案问题 题型12三元一次方程组 二元一次方程（组）的有关概念辨析题型01 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·河北廊坊·期末）若方程有一组解为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·河北邢台·期末）若是关于x，y的方程组的解，则a的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（11-12七年级下·全国·课后作业）若一个二元一次方程的解为则这个方程可以是 ．（答案不唯一） 6．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是二元一次方程的一组解，则 ． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是方程的解，则 ； 8．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）已知是二元一次方程的一个解． (1)则_________ (2)试直接写出二元一次方程的所有正整数解． 用代入法解二元一次方程组题型02 9．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A．y＝2x+10 B．y＝2x+5 C．x=﹣2y+10 D．x＝ 10．（22-23七年级下·河北沧州·期末）用代入法解方程组的简单方法是（    ） A．消 B．消 C．消和一样 D．无法确定 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 12．（21-22七年级下·河北邢台·期末）用代入法解方程组时，将①式代入②式可得，则②可以是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）把方程，改写成用含的式子表示的形式是 ． 14．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）计算：． （2）解方程组： 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）解方程组 (1)； (2)． 用加减法解二元一次方程组题型03 16．（22-23七年级下·广东广州·期中）解方程组时，下列消元方法不正确的是（    ） A．，消去a B．由，消去b C．，消去b D．由②得：③，把③代入①中消去b 17．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（    ） A．要消去y，可以将①② B．要消去x，可以将①② C．要消去y，可以将①② D．要消去x，可以将①② 18．（21-22七年级下·河北沧州·期末）解以下两个方程组①；②较为简便的方法是（  ） A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法 C．都用代入法 D．都用加减法 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将①×5－②×3；琪琪说：要消去y，可以将①×3＋②×2；关于嘉嘉、琪琪的说法，下列判断正确的是（    ） A．嘉嘉对，琪琪不对 B．嘉嘉不对，琪琪对 C．嘉嘉和琪琪都不对 D．嘉嘉和琪琪都对 20．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 21．（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知关于，的二元一次方程组有下列说法：①当时，；②当与互为相反数时，解得；③当时，；④无论为何值，与的值一定满足关系式，其中正确的是 ．（填序号） 22．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）小明解方程组的过程如下： 解：由①，得，…………第一步 ，得，…………第二步 得.…………第三步 把代入①，得，…………第四步 所以原方程组的解为． (1)小明的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解方程组的过程. 23．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 24．（23-24七年级上·山东滨州·期末）解方程组： (1)； (2)． 二元一次方程组错解复原题型04 25．（20-21七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则a2020﹣（﹣）2121的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2 26．（22-23七年级下·河北张家口·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，求出原方程组的正确解 ． 27．（23-24七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 二元一次方程组的特殊解法题型05 28．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 29．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ． 30．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）已知方程组，则等于 ． 31．（22-23七年级下·河北保定·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 含有参数的二元一次方程组题型06 32．（23-24七年级下·山东泰安·期中）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 33．（18-19八年级上·山东济南·期中）已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 34．（22-23七年级下·河北沧州·期末）已知方程组的解为则被遮盖的□、■分别表示数（    ） A．1，2 B．2，4 C．2，3 D．1，3 35．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 36．（22-23七年级下·河北邢台·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚． （1）嘉淇把“□”猜成3，则二元一次方程组的解为 ； （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”则原题中“□”是 ． 数字问题题型07 37．（22-23七年级下·河北保定·期末）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 38．（22-23八年级上·河北保定·期末）一个两位数的十位数字与个位数字的和是，把这个两位数加上后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，设这两个数的十位数的十位数字为，个位数字为，根据题意列得方程组 ． 39．（23-24七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则： (1)____________________； (2)的值为__________． x P 2 1 y 古代问题题型08 40．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为，物价为钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（22-23七年级下·河北承德·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（    ）． A． B． C． D． 42．（22-23八年级上·河北保定·期末）“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程为（    ） A． B． C． D． 43．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法： 甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为； 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为． 对于两位同学的做法，判断正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）《孙子算经》中有一道题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则列出的方程组为 ． 46．（22-23八年级上·河北保定·期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 几何问题题型09 47．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·河北保定·期末）在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ． 49．（21-22七年级下·河北保定·期末）如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（    ） A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 50．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 51．（20-21七年级下·河北保定·期末）某企业用规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一或裁法二,裁剪出甲型与乙型两种板材(单位：cm)． （1）求图中a、b的值； （2）若将40张标准板材按裁法一裁剪，5张标准板材按裁法二裁剪,裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面,做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个(接缝处的长度忽略不计)． ①一共可裁剪出甲型板材　　　　张，乙型板材　　　　张； ②恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子多少个？ 营销问题题型10 52．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 53．（24-25八年级上·河北保定·期末）在春节来临之际，某商场计划采购A，B两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示． A B 进价/（元/件） 30 50 售价/（元/件） 50 80 (1)若该商场花费7600元购进A，B两种商品共200件，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ (2)若商场花费5700元购进A，B两种商品若干件，全部售出后可获利3600元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ 54．（24-25八年级上·河北保定·期末）近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法．察觉到商机的某服装超市购进，两种款式的军大衣．据了解，8件款式军大衣和10件款式军大衣的进价共计2000元；10件款式军大衣和20件款式军大衣的进价共计3100元． (1)求，两种款式的军大衣每件进价分别是多少元； (2)该服装超市计划恰好用4500元购进，两种款式的军大衣（两种均购买），求该服装超市共有哪几种采购方案． 55．（23-24七年级下·河北邢台·期末）【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 56．（20-21八年级下·河北沧州·期末）在全国人民的努力下，中国新冠疫情得到了有效控制，但是仍存在小范围反弹的危险，所以我们仍要严加防控，注意个人防护．某药店销售A 、B两种类型的口罩，已知销售800包A型口罩和450包B型口罩的利润为2100元，销售400包A型口罩和600包B型口罩的利润为1800元， （1）求每包A型口罩和B型口罩的利润． （2）该药店计划一次购进两种型号的口罩2000包，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x包，这2000包口罩的利润为y元． ①求y关于x的函数关系式 ②该药店购进A、B型口罩各多少包才能使销售总利润最大？ 57．（20-21七年级下·河北承德·期末）应用题 小亮跟爸爸于9月初和10月初两次到超市购买食品，具体信息如图． 根据信息，你能求出打折前牛奶和面包的单价各是多少元吗？ 方案问题题型11 58．（24-25八年级上·河北保定·期末）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如下表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 (1)求每件商品A，B的标价； (2)若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有等几种购买方案？ 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克． (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？ 60．（21-22七年级下·河北沧州·期末）随着2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人们的喜爱．一批发市场将冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品玩具分为小套装和大套装两种进行销售．已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元． (1)求这两种套装的单价分别为多少元？ (2)某学校计划用不多于1350元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 61．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）某学校计划组织七年级500名师生去博物馆参观，出行采取租用大、小两种型号的客车作为交通工具．已知1辆大型客车一次可以乘载的人数是1辆小型客车的1.6倍，5辆大型客车和3辆小型客车一次可以乘载的总人数为275人． (1)满员时，1辆大型客车和1辆小型客车一次可分别乘载多少人？ (2)若学校计划一次可送完所有的师生，且恰好每辆车都坐满，已知每辆大型客车和小型客车的租金分别需要300元和180元，则共有几种方案，哪种方案使用的租金最少？ (3)在（2）的基础上，学校计划给乘坐大型客车的师生统一订购粉色的帽子，给乘坐小型客车的师生统一订购紫色的帽子，已知粉色的帽子每顶9元，紫色的帽子每顶11元，则订购帽子需要花费多少钱？ 62．（22-23七年级下·河北邢台·期末）某文具经销商计划购进一批签字笔，已知供货商有，，三种不同价格的签字笔，进价分别是种签字笔每箱1500元，种签字笔每箱2000元，种签字笔每箱2500元． (1)求花费50000元购进24箱签字笔的平均价格； (2)若经销商同时购进两种不同型号的签字笔24箱，刚好用去50000元，请你设计采购方案． 63．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）某校要购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买100套队服和个足球，下表是甲、乙两个商场的优惠方案： 商场名称 优惠办法 甲 每购买十套队服，送一个足球 乙 若购买队服超过90套，则购买足球打七折；否则按原价出售 ①请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用； ②当时，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？说明理由． 64．（21-22七年级上·河北石家庄·期末）甲地某果蔬批发市场计划运输一批蔬菜至乙地出售，为保证果蔬新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为50千米/小时，B型车的平均速度为60千米/小时，从甲地到乙地B型车比A型车少用2小时． (1)请求出甲乙两地相距多少千米？ (2)已知A型车每辆可运3吨，B型车每辆可运2吨，若从甲地到乙地共需运送蔬菜15吨，则两种型号货车分别需要多少辆可恰好完成运输任务？有哪几种方案？（要求：每种型号货车至少配1辆） 三元一次方程组题型12 65．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 66．（21-22七年级上·河北邢台·期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 67．（22-23七年级上·河北·期末）小丽跟几个同学去看电影，电影院准备了如下三种小食品餐供观众选择购买，若小丽和她的同学们一共买了个汉堡，杯可乐，包薯片，则买餐的份数是（  ）． A． B． C． D． 68．（19-20七年级下·河北保定·期末）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组 ． 69．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）有甲、乙、丙三种商品，若购甲1件、乙2件、丙3件，共需136元；若购甲3件、乙2件、丙1件，共需240元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需 元． 70．（22-23七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 试卷第2页，共50页 第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 题型概览 题型01二元一次方程（组）的有关概念辨析 题型02用代入法解二元一次方程组 题型03用加减法解二元一次方程组 题型04二元一次方程组错解复原 题型05二元一次方程组的特殊解法 题型06含有参数的二元一次方程组 题型07数字问题 题型08古代问题 题型09几何问题 题型10营销问题 题型11方案问题 题型12三元一次方程组 二元一次方程（组）的有关概念辨析题型01 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（21-22七年级下·河北廊坊·期末）若方程有一组解为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入方程，即可求的值． 【详解】解：方程有一组解为，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 4．（21-22七年级下·河北邢台·期末）若是关于x，y的方程组的解，则a的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】将代入原方程组即可求解． 【详解】将代入原方程组得：， 解得：a=6． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练地将方程组的解代入原方程组求出参数是解题的关键． 5．（11-12七年级下·全国·课后作业）若一个二元一次方程的解为则这个方程可以是 ．（答案不唯一） 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的含义构建方程即可． 【详解】解：一个二元一次方程的解为则这个方程可以是：， 故答案为： 6．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是二元一次方程的一组解，则 ． 【答案】 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，直接将解代入方程即可求得结果． 【详解】解：由题意可知，将代入得：， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北保定·期末）若是方程的解，则 ； 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 把代入得到，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：是方程的解， ， ， 故答案为： ． 8．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）已知是二元一次方程的一个解． (1)则_________ (2)试直接写出二元一次方程的所有正整数解． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值； （2）将a的值代入方程2x+y=a，再用列举法求出方程的解即可． 【详解】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5； 故答案为：5 （2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为： ，． 【点睛】考查二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系． 用代入法解二元一次方程组题型02 9．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　） A．y＝2x+10 B．y＝2x+5 C．x=﹣2y+10 D．x＝ 【答案】A 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：∵−x=5， ∴y-2x=10， 解得y=2x+10， 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（22-23七年级下·河北沧州·期末）用代入法解方程组的简单方法是（    ） A．消 B．消 C．消和一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据未知数的系数的关系得出选项即可． 【详解】解：∵方程组中未知数y的系数是和， ∴方程组中第一个方程用含x的式子表示y，代入第二个方程消掉y， 即用代入法解方程组的简单方法是消y． 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种． 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 【详解】解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 12．（21-22七年级下·河北邢台·期末）用代入法解方程组时，将①式代入②式可得，则②可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“代入法”的意义将x﹣4x+2＝4，转化为x﹣2（2x﹣1）＝4即可． 【详解】解：将y＝2x﹣1①式代入②式可得x﹣4x+2＝4， 即可得x﹣2（2x﹣1）＝4， 也就是x﹣2y＝4， 因此②可以是x﹣2y＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，理解“代入法”的意义是解决问题的前提，将x﹣4x+2＝4转化为x﹣2（2x﹣1）＝4是正确解答的关键． 13．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）把方程，改写成用含的式子表示的形式是 ． 【答案】 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 14．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）计算：． （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据平方根、立方根、以及绝对值的意义计算即可 （2）利用代入消元法解方程组即可 【详解】（1）原式 ； （2） 由①得： 将③代入②得： ， 解得：， 再将代入③得：， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由①得：，     把③代入②得：， 解得， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解： 得：， 解得， 把代入①得： 解得， 则方程组的解为． 用加减法解二元一次方程组题型03 16．（22-23七年级下·广东广州·期中）解方程组时，下列消元方法不正确的是（    ） A．，消去a B．由，消去b C．，消去b D．由②得：③，把③代入①中消去b 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据消元的方法，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A． ，消去a，故该选项正确，不符合题意； B．由，消去b，故该选项正确，不符合题意； C． ，不能消元，故该选项符合题意， D．由②得：③，把③代入①中消去b，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 17．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）利用加减消元法解方程组时，下列说法正确的是（    ） A．要消去y，可以将①② B．要消去x，可以将①② C．要消去y，可以将①② D．要消去x，可以将①② 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解二元一次方程组，观察字母系数，化为相同或者互为相反数再使用减法或者加法消元即可． 【详解】解： 要消去y，可以将， 要消去x，可以将， 故选C． 18．（21-22七年级下·河北沧州·期末）解以下两个方程组①；②较为简便的方法是（  ） A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法 C．都用代入法 D．都用加减法 【答案】B 【分析】观察两个方程的特点确定出相应的解法即可． 【详解】解：解下面的两个方程组：①；②， 在上列提供的两题解法中，较为简便的是①用代入法，②用加减法． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19．（23-24七年级下·河北张家口·期末）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将①×5－②×3；琪琪说：要消去y，可以将①×3＋②×2；关于嘉嘉、琪琪的说法，下列判断正确的是（    ） A．嘉嘉对，琪琪不对 B．嘉嘉不对，琪琪对 C．嘉嘉和琪琪都不对 D．嘉嘉和琪琪都对 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，对于任何一个二元一次方程组，既可以用代入法求解，也可以用加减法求解；而对于加减不过，既可以消去未知数x，也可以消去未知数y； 按照加减法解二元一次方程组的步骤进行判断即可． 【详解】解：由加减法解二元一次方程组知，嘉嘉、琪琪的说法都正确， 故选：D． 20．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）【问题】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值. 嘉嘉同学有如下两种解题思路和部分步骤： Ⅰ.将方程组中的两个方程相加并整理，可得到，再求k的值； Ⅱ.解方程组，得到，再代入中，可求k的值. 下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ的解题思路不正确 B．Ⅱ的解题思路不正确 C．Ⅱ的解题思路正确，求解不正确 D．Ⅰ与Ⅱ的解题思路与求解都正确 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元二次方程组，根据题中的方法求解，再求得k的值，最后进行判断即可． 【详解】解：Ⅰ：， 由得，，即， ∵关于x，y的方程组的解满足， ∴， 解得， ∴Ⅰ的解题思路正确； Ⅱ：∵关于x，y的方程组的解满足， ∴的解满足， 由得，， 由得，， 把代入①得，， 把，代入，得， ∴Ⅱ的思路正确， 故选：D． 21．（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知关于，的二元一次方程组有下列说法：①当时，；②当与互为相反数时，解得；③当时，；④无论为何值，与的值一定满足关系式，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解法、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法． 根据二元一次方程的解法、加减消元法对结论进行逐一判断即可求解． 【详解】解：依题得：， 当时，， 即，①正确； 与互为相反数， 即， 将其代入原二元一次方程组可得， 解得，②正确； ， ， 即， ， ， 即，③正确； ， ， 即， ， ④正确． 综上，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 22．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）小明解方程组的过程如下： 解：由①，得，…………第一步 ，得，…………第二步 得.…………第三步 把代入①，得，…………第四步 所以原方程组的解为． (1)小明的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解方程组的过程. 【答案】(1)二 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据得，得出答案； （2）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：得， 第二步开始出现错误； 故答案为：二； （2）解： 解：①，得， 得，， 将代入①得， 解得：， ∴． 23．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)三 (3) 【分析】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，淇淇的方法是加减消元法， 故答案为：加减； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误， 故答案为：三； （3）解：， 由②得，， 将③代入①得，， 解得，， 将代入③得，， ∴． 24．（23-24七年级上·山东滨州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． （2）解：原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 二元一次方程组错解复原题型04 25．（20-21七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则a2020﹣（﹣）2121的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2 【答案】A 【分析】将代入方程4x＝by﹣2求b，将代入方程ax+5y＝15求a，从而求出代数式的值． 【详解】将代入方程4x＝by﹣2，得：8＝b﹣2， ∴b＝10， 将代入方程ax+5y＝15，得：5a+20＝15， ∴a＝﹣1， ∴a2020﹣（﹣）2121＝（﹣1）2020﹣（﹣）2121＝1﹣（﹣1）＝2． 故选：A． 【点晴】考查了二元一次方程组的解和解一元一次方程．解题关键是将所求出的解代入对应的方程． 26．（22-23七年级下·河北张家口·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，求出原方程组的正确解 ． 【答案】 【分析】把代入②，代入①得到关于a，b的方程组，求出a，b，代入原方程即可求解． 【详解】解：解方程组 把代入②，代入①得　　   解得 原方程组为 解得 原方程组的正确解是：． 【点睛】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键是把方程的解代入原方程． 27．（23-24七年级下·河北保定·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可； （2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：原方程组为， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 二元一次方程组的特殊解法题型05 28．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 29．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，将①②得：，变形即可得出答案． 【详解】解： 由①②得：， ∴， 故答案为：5． 30．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）已知方程组，则等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握整体思想成为解题的关键．利用加减消元法两个方程相加，再利用整体法求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即，解得：． 故答案为2． 31．（22-23七年级下·河北保定·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 5 【分析】（1），得，再由得，则； （2）根据两个方程组的系数特点，得到，，从而确定、的值． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 则； （2）解：∵方程组，方程组的解是， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题关键． 含有参数的二元一次方程组题型06 32．（23-24七年级下·山东泰安·期中）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据与互为相反数得到，代入方程组中计算即可求出的值．本题考查了二元一次方程组的解，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是关键． 【详解】解：由与互为相反数，得到，即， 代入方程组得：， 由解得：， 把代入， 得：， 解得：． 故选：A． 33．（18-19八年级上·山东济南·期中）已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：． 故选： B． 34．（22-23七年级下·河北沧州·期末）已知方程组的解为则被遮盖的□、■分别表示数（    ） A．1，2 B．2，4 C．2，3 D．1，3 【答案】D 【分析】先把代入求出y，再把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了对二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解． 35．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（    ） A．甲的判断正确 B．乙的判断正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确 【答案】C 【分析】将方程组的两个方程相加，得出，当，的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断正确；用表示出，解方程组得出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【详解】解：， 得：， ∴， 当，的值互为相反数时，， ∴，故甲判断正确； 解方程组得出， ∴ ，故乙判断正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键． 36．（22-23七年级下·河北邢台·期末）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“□”印刷不清楚． （1）嘉淇把“□”猜成3，则二元一次方程组的解为 ； （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”则原题中“□”是 ． 【答案】 5 【分析】（1）运用加减消元法解方程组即可； （2）由题意可得，代入，求出方程组得解，然后代入求出缺少的系数即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将，代入①得， ∴方程组的解为； 故答案为：； （2）由题意可得，代入， 解得，， 所以， 设“□”为，则有， 解得，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 数字问题题型07 37．（22-23七年级下·河北保定·期末）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 38．（22-23八年级上·河北保定·期末）一个两位数的十位数字与个位数字的和是，把这个两位数加上后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，设这两个数的十位数的十位数字为，个位数字为，根据题意列得方程组 ． 【答案】 【分析】根据关键语句“十位数字与个位数字的和是7”可得方程，十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数是，对调后组成的两位数是，根据关键语句“这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程，联立两个方程即可得到答案． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 39．（23-24七年级下·河北承德·期末）“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个弐格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则： (1)____________________； (2)的值为__________． x P 2 1 y 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据题意和表格中的数据，可以先求出的值； （2）设第一列从上往下第三个数为，则，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：； （2）设第一列从上往下第三个数为， 则， 解得，， ， 故答案为：． 古代问题题型08 40．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为，物价为钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 依题意得：． 故选：B． 41．（22-23七年级下·河北承德·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有辆车，人数为人，依题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 42．（22-23八年级上·河北保定·期末）“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可知盗贼人数失窃绸缎数，由此等量关系列出另一方程即可． 【详解】解：盗贼有人，失窃的绸缎有匹， 根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可列另一方程为：， 故选：A． 【点睛】本题考查列二元一次方程解决实际问题，能够根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． 43．（21-22七年级下·河北石家庄·期中）《九章算术》有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，可得方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：①5只雀的重量+6只燕的重量=16两，②4只雀的重量+1只燕的重量=1只雀的重量+5只燕的重量，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为x两，y两，由题意得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，熟练掌握计算法则是解题关键． 44．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法： 甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为； 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为． 对于两位同学的做法，判断正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，根据甲、乙同学的方法求解即可． 【详解】解：由题意得，甲同学：设每头牛值金x两， 可列方程为，故甲同学的做法正确， 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两， 可列方程组为，故乙同学的做法正确， 故选：A． 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）《孙子算经》中有一道题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则列出的方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设木长尺，绳子长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺”，即可得出方程组．找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设木长尺，绳子长尺， 根据题意得，， 故答案为：． 46．（22-23八年级上·河北保定·期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是． (1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________． (2)解由图2列出的方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，结合题目所给的运算法则即可列出方程组； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故答案为：． （2）解： 将可得：， 将可得：， 将代入①中可得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及解方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 几何问题题型09 47．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 48．（24-25八年级上·河北保定·期末）在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 空白部分的面积和为． 故答案为：171． 49．（21-22七年级下·河北保定·期末）如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（    ） A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 【答案】D 【分析】根据两条小路面积相等，改造后绿地面积是小路面积的4倍，列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在生活中的应用，理解题意，结合图形，找出等量关系，是解题的关键． 50．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 51．（20-21七年级下·河北保定·期末）某企业用规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一或裁法二,裁剪出甲型与乙型两种板材(单位：cm)． （1）求图中a、b的值； （2）若将40张标准板材按裁法一裁剪，5张标准板材按裁法二裁剪,裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面,做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个(接缝处的长度忽略不计)． ①一共可裁剪出甲型板材　　　　张，乙型板材　　　　张； ②恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子多少个？ 【答案】（1）60，40；（2）①甲：85；乙50；②27 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解． （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生甲型板材和乙型板材的张数；②根据竖式与横式礼品盒所需要的甲、乙两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，求解，即可得出结论． 【详解】解:(1)依题意,得：    解得：a=60  b=40 答:a、b的值分别为60,40 ． (2)①一共可裁剪出甲型板材40×2+5=85(张) 乙型板材40+5×2=50(张)． 故答案是：85，50； ②设可做成m个竖式无盖装饰盒,n个横式无盖装饰盒． 依题意得：， 解得：m=4，n=23 所以m+n=27，故答案为27个 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于m、n的二元一次方程． 营销问题题型10 52．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元 (2)全部售出后共可获利1480元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答． 【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，， 解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，， 解得：， 购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个， 全部售出后共可获利（元）， 答：全部售出后共可获利1480元． 53．（24-25八年级上·河北保定·期末）在春节来临之际，某商场计划采购A，B两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示． A B 进价/（元/件） 30 50 售价/（元/件） 50 80 (1)若该商场花费7600元购进A，B两种商品共200件，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ (2)若商场花费5700元购进A，B两种商品若干件，全部售出后可获利3600元，则该商场购进A，B两种商品各多少件？ 【答案】(1)该商场购进A种商品120件，B种商品80件 (2)该商场购进A种商品90件，B种商品60件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购进A种商品件，B种商品件，根据商场用7600元购入这两种商品，列出二元一次方程组，解方程组即可． （2）设购进A种商品件，B种商品件，根据商场用5700元购入这两种商品全部售出后可获利3600元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设购进A种商品件，B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进A种商品120件，B种商品80件． （2）解：设购进A种商品件，B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进A种商品90件，B种商品60件． 54．（24-25八年级上·河北保定·期末）近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法．察觉到商机的某服装超市购进，两种款式的军大衣．据了解，8件款式军大衣和10件款式军大衣的进价共计2000元；10件款式军大衣和20件款式军大衣的进价共计3100元． (1)求，两种款式的军大衣每件进价分别是多少元； (2)该服装超市计划恰好用4500元购进，两种款式的军大衣（两种均购买），求该服装超市共有哪几种采购方案． 【答案】(1)款式军大衣每件进价为150元，款式军大衣每件进价为80元 (2)该服装超市共有3种采购方案，分别为购进款式军大衣22件，购进款式军大衣15件；购进款式军大衣14件，购进款式军大衣30件；购进款式军大衣6件，购进款式军大衣45件． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设款式军大衣每件进价为元，款式军大衣每件进价为元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进款式军大衣件，购进款式军大衣件，根据题意得出，根据、为正整数求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设款式军大衣每件进价为元，款式军大衣每件进价为元， 由题意得：，解得， 答：款式军大衣每件进价为150元，款式军大衣每件进价为80元； （2）解：设购进款式军大衣件，购进款式军大衣件 由题意得：， 整理得：， 、为正整数， 或或， 该服装超市共有3种采购方案，分别为购进款式军大衣22件，购进款式军大衣15件；购进款式军大衣14件，购进款式军大衣30件；购进款式军大衣6件，购进款式军大衣45件． 55．（23-24七年级下·河北邢台·期末）【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； (2)购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用； （1）设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； （2）依题意，甲方案购买共需要（元）， 乙方案购买共需要（元）， 当， 解得， ∴； 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算； 56．（20-21八年级下·河北沧州·期末）在全国人民的努力下，中国新冠疫情得到了有效控制，但是仍存在小范围反弹的危险，所以我们仍要严加防控，注意个人防护．某药店销售A 、B两种类型的口罩，已知销售800包A型口罩和450包B型口罩的利润为2100元，销售400包A型口罩和600包B型口罩的利润为1800元， （1）求每包A型口罩和B型口罩的利润． （2）该药店计划一次购进两种型号的口罩2000包，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x包，这2000包口罩的利润为y元． ①求y关于x的函数关系式 ②该药店购进A、B型口罩各多少包才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每包A型口罩和B型口罩的利润分别为1.5元，2元；（2）①（）；②购进A、B型口罩各3750包才能使销售总利润最大 【分析】（1）设A型口罩每包的利润为x元，B型口罩每包的利润为y元 ，然后根据题意列出方程求解即可； （2）①购进A型口罩x包，这2000包口罩的利润为y元，B型口罩的进货量为（）只，依据题意求出x与y的函数关系式即可； ②根据B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，列出不等关系求解即可. 【详解】解：（1）设A型口罩每包的利润为x元，B型口罩每包的利润为y元 ，B型口罩的进货量为（）只 由题意得：   解得 答：每包A型口罩和B型口罩的利润分别为1.5元，2元． （2）解：①B型口罩的进货量为（）只， ∴ ， 整理得（） ②由题意得B型口罩的进货量为（）只， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 由可知随的增大而减小， ∴当=500时，2000-500=1500时，有最大值为， =3750， 答：购进A、B型口罩各3750包才能使销售总利润最大. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确从题中获取信息找到关系式求解. 57．（20-21七年级下·河北承德·期末）应用题 小亮跟爸爸于9月初和10月初两次到超市购买食品，具体信息如图． 根据信息，你能求出打折前牛奶和面包的单价各是多少元吗？ 【答案】打折前牛奶的单价为1元，面包的单价为2元． 【分析】设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合9月初和10初两次购买的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：打折前牛奶的单价为1元，面包的单价为2元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案问题题型11 58．（24-25八年级上·河北保定·期末）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如下表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 (1)求每件商品A，B的标价； (2)若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有等几种购买方案？ 【答案】(1)A的标价为50元，B的标价为40元 (2)三种购买方案：①购买商品A12件，商品B5件；②购买商品A8件，商品B10件；③购买商品A4件，商品B15件． 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，理解题意正确列方程是解题关键． （1）设每件商品A的标价为x元，每件商品B的标价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买商品Am件，商品Bn件，根据题意列二元一次方程，得到，进而得到m、n的可能取值，即可得到答案． 【详解】（1）设每件商品A的标价为x元，每件商品B的标价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件商品A的标价为50元，每件商品B的标价为40元； （2）设购买商品A，m件，商品B，n件， 由题意得：， 解得：， ∵m、n为正整数， ∴m、n的可能取值为或或， 即张老师有三种购买方案：①购买商品A12件，商品B5件；②购买商品A8件，商品B10件；③购买商品A4件，商品B15件． 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克． (1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？ (2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型、B型球各有多少只？ 【答案】(1)每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克； (2)A型球、型球各有3只、2只． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， （1）直接利用1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克得出方程求出答案； （2）利用分类讨论得出方程的解即可， 熟练掌握分类讨论列方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题意可得： ，解得：， 答：每只型球的质量是3千克、型球的质量是4千克； （2）现有型球、型球的质量共17千克， 设型球1个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球2个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球3个，设型球个，则， 解得：， 设型球4个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 设型球5个，设型球个，则， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述：型球、型球各有3只、2只． 60．（21-22七年级下·河北沧州·期末）随着2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人们的喜爱．一批发市场将冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品玩具分为小套装和大套装两种进行销售．已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元． (1)求这两种套装的单价分别为多少元？ (2)某学校计划用不多于1350元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 【答案】(1)小套装的单价为50元，大套装的单价为120元 (2)5个 【分析】（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，根据“购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出这两种套装的单价； （2）设该校购买大套装m个，则购买小套装（20-m）个，利用总价=单价×数量，结合总价不多于1350元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买大套装的数量． 【详解】（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元， 依题意得：，解得：． 答：小套装的单价为50元，大套装的单价为120元． （2）设该校购买大套装m个，则购买小套装个， 依题意得：，解得：． ∴m的最大值为5． 答：该校最多可以购买大套装5个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 61．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）某学校计划组织七年级500名师生去博物馆参观，出行采取租用大、小两种型号的客车作为交通工具．已知1辆大型客车一次可以乘载的人数是1辆小型客车的1.6倍，5辆大型客车和3辆小型客车一次可以乘载的总人数为275人． (1)满员时，1辆大型客车和1辆小型客车一次可分别乘载多少人？ (2)若学校计划一次可送完所有的师生，且恰好每辆车都坐满，已知每辆大型客车和小型客车的租金分别需要300元和180元，则共有几种方案，哪种方案使用的租金最少？ (3)在（2）的基础上，学校计划给乘坐大型客车的师生统一订购粉色的帽子，给乘坐小型客车的师生统一订购紫色的帽子，已知粉色的帽子每顶9元，紫色的帽子每顶11元，则订购帽子需要花费多少钱？ 【答案】(1)1辆大型客车一次可乘载40人，1辆小型客车一次可乘载25人 (2)2种，方案一使用的租金最少 (3)5100元 【分析】（1）设1辆大型客车一次可乘载人，1辆小型客车一次可乘载人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设租用辆大型客车，辆小型客车，根据题意得，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案． （3）求出乘坐大型客车和小型客车的人数，即可得出答案． 【详解】（1）设1辆大型客车一次可乘载人，1辆小型客车一次可乘载人， 根据题意，得 解得 答：满员时，1辆大型客车一次可乘载40人，1辆小型客车一次可乘载25人． （2）设租用辆大型客车，辆小型客车 根据题意得 整理得 因为，正整数或 租车方案共有2种 方案一：租用大型客车5辆，小型客车12辆，租金为（元）； 方案二：租用大型客车10辆，小型客车4辆，租金为（元）； 3 ∴方案一使用的租金最少． （3）由（2）可知，学校计划租用大型客车5辆，小型客车12辆． 乘坐大型客车的师生共有（人）． 乘坐小型客车的师生共有（人）． 订购两种颜色的帽子共花费（元）． 答：订购帽子需要花费5100元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 62．（22-23七年级下·河北邢台·期末）某文具经销商计划购进一批签字笔，已知供货商有，，三种不同价格的签字笔，进价分别是种签字笔每箱1500元，种签字笔每箱2000元，种签字笔每箱2500元． (1)求花费50000元购进24箱签字笔的平均价格； (2)若经销商同时购进两种不同型号的签字笔24箱，刚好用去50000元，请你设计采购方案． 【答案】(1)元； (2)种签字笔10箱，种签字笔14箱或种签字笔20箱，种签字笔4箱． 【分析】（1）用即可求解； （2）分两种情况讨论，分别列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：购进24箱签字笔的平均价格为元； （2）解：∵购进24箱签字笔的平均价格为（元）， ∴必须购进种签字笔． 若设购进种签字笔箱，种签字笔箱， 根据题意，得， 解得． 若设购进种签字笔箱，种签字笔箱， 根据题意，得， 解得． 综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的签字笔共有两种方案可行，即种签字笔10箱，种签字笔14箱或种签字笔20箱，种签字笔4箱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，分别列出二元一次方程组是解题的关键． 63．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）某校要购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买100套队服和个足球，下表是甲、乙两个商场的优惠方案： 商场名称 优惠办法 甲 每购买十套队服，送一个足球 乙 若购买队服超过90套，则购买足球打七折；否则按原价出售 ①请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用； ②当时，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？说明理由． 【答案】(1)每套队服200元、每个足球的价格是150元． (2)①到甲商场所花费的钱：，到乙商场所花费的钱：；②到甲商场合算． 【分析】（1）根据已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等，列出二元一次方程组，求解即可． （2）①根据图表分别用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用； ②当时，分别代入，比较即可． 【详解】（1）解：设每套队服x元，每个足球的价格为y元， 解得：，， 答：每套队服200元、每个足球的价格是150元． （2）①到甲商场所花费的钱： ， 到乙商场所花费的钱： ， ②当时 到甲商场所花费的钱：（元） 到乙商场所花费的钱：（元） 到甲商场合算． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程组． 64．（21-22七年级上·河北石家庄·期末）甲地某果蔬批发市场计划运输一批蔬菜至乙地出售，为保证果蔬新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为50千米/小时，B型车的平均速度为60千米/小时，从甲地到乙地B型车比A型车少用2小时． (1)请求出甲乙两地相距多少千米？ (2)已知A型车每辆可运3吨，B型车每辆可运2吨，若从甲地到乙地共需运送蔬菜15吨，则两种型号货车分别需要多少辆可恰好完成运输任务？有哪几种方案？（要求：每种型号货车至少配1辆） 【答案】(1)甲乙两地相距600千米； (2)共有2种租车方案，方案1：租用1辆A型车，6辆B型车可恰好完成运输任务；方案2：租用3辆A型车，3辆B型车可恰好完成运输任务． 【分析】（1）设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x-2）小时，利用路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可； （2）根据一次运送蔬菜15吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x-2）小时， 依题意得：50x=60（x-2）， 解得：x=12， 50x=600． 答：甲乙两地相距600千米； （2）解：设计划租用A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：3m+2n=15， ∴m=5-n． 又∵m，n均为正整数， ∴或， 答：共有2种租车方案，方案1：租用1辆A型车，6辆B型车可恰好完成运输任务；方案2：租用3辆A型车，3辆B型车可恰好完成运输任务． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 三元一次方程组题型12 65．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键．设租用A型车x辆，B型车y辆，根据公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完列出方程，根据x，y均为正整数求出所有的租车方案即可． 【详解】解：设租用A型车x辆，B型车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为正整数， ∴或或， ∴存在3种租车方案， 故答案为：B． 66．（21-22七年级上·河北邢台·期末）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解． 【详解】解：设■，▲，●， ， ， 又， ， ， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键． 67．（22-23七年级上·河北·期末）小丽跟几个同学去看电影，电影院准备了如下三种小食品餐供观众选择购买，若小丽和她的同学们一共买了个汉堡，杯可乐，包薯片，则买餐的份数是（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设套餐买了份，设套餐买了份，设套餐买了份，找到等量关系，列出方程，解出方程，即可． 【详解】设套餐买了份，设套餐买了份，设套餐买了份， 根据题意可得：， 解得：， ∴买餐的份数是． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法：代入消元法和加减消元法． 68．（19-20七年级下·河北保定·期末）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：， ①②得：， ②③得：， 方程组为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法． 69．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）有甲、乙、丙三种商品，若购甲1件、乙2件、丙3件，共需136元；若购甲3件、乙2件、丙1件，共需240元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需 元． 【答案】94 【分析】设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，建立方程组，整体求解． 【详解】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元， 根据题意有：， 把这两个方程相加得：， 即， ∴． 即购甲、乙、丙三种商品各一件共需94元钱． 故答案为：94． 【点睛】本题考查三元一次方程，明确题中的等量关系是解题关键． 70．（22-23七年级下·河北保定·期末）先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】(1)；1 (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 (3) 【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论； （3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：． 故答案为：；1； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由可得， ； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 试卷第2页，共50页 第2页，共50页 学科网（北京）股份有限公司 $$