精品解析：福建省泉州市惠东七校联考2024-2025学年八年级下学期期中联考数学试题

2025年春季期中质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来值 D. 缩小为原来值 3. 如图，分别给出了变量与之间的相应关系，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 5. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （1，2） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，1） 6. 若k≠0，则函数y＝和y＝kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是( ) A. B. C. D. 7. 关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两点在反比例函数的图像上，两点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围_____． 12. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的．分子的直径只有，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将用科学记数法表示是__________． 13. 将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_____． 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为______． 16. 如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当______s时，的面积为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解分式方程：. 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小红在商店停留了______分钟，由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了______米； （2）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是______米分钟； （3）小红在骑车______分钟时，距离舅舅家300米． 21. 已知与成正比例，且它的图像过点． （1）求与之间的函数解析式； （2）若点在此函数图像上，求点坐标． 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 23. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 24. 我们定义：如果两个分式A与B差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+n（n＜0）与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）若n＝﹣1，点A坐标为(2，3)． ①直接填空：m的值为_______，k的值为_______； ②点P是x轴上一点，且位于点B的右侧．若△PAC的面积为6，求点P的坐标； （2）过点M(1，0)作y轴的平行线l与函数y＝的图象交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线y＝kx+n交于点P（点P、D不重合）．问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期中质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式，熟练掌握分母整式中含有字母是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式，其余都不是，故B正确． 故选：B． 2. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来值 D. 缩小为原来值的 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则，即可解答． 【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍， ∴， ∴分式的值不变， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 3. 如图，分别给出了变量与之间的相应关系，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．根据定义判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可知对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， 选项B中图象不符合这一特征， 选项B图象不能表示y是x的函数， 故选：B． 4. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握据分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，且， 解得， 故选：D． 5. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （1，2） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键． 关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 6. 若k≠0，则函数y＝和y＝kx+3在同一直角坐标系上图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象所过象限与系数符号的关系判断题目答案即可 【详解】解：①当k>0时，一次函数过一、二、三象限；反比例过一、三象限； ②当k<0时，一次函数过一、二、四象限；反比例过二、四象限 ∴选A 故答案是：A. 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数图象所过象限的问题，熟记函数图象所过象限的特征是解题的关键. 7. 关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解决本题的关键．先解关于的分式方程得．再根据增根的定义，解决此题． 【详解】解： 去分母，得， 移项，得． 关于的分式方程有增根， ， ． 故选：． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 故选：D． 9. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 10. 如图，两点在反比例函数的图像上，两点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，，，，分别用含的式子表示出的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设，，，， ∵， ∴，则， ，则， ∵， ∴，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，理解并掌握反比例函数图像的性质，点坐标表示两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意知， 解得． 故答案为：． 12. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的．分子的直径只有，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将用科学记数法表示是__________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 13. 将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：直线向上平移a()个单位长度后的解析式为：， ∴， 解得： 故答案为： 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，再把化简为，再把用替换，约分即可得到答案. 【详解】解：根据通分合并得到： ， 即：， ∴. 【点睛】本题主要考查了整体转换思想，把复杂的问题转换为简单的思想，通过对条件和结论的转换，最终求得问题的答案，求得是解本题的关键. 15. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 16. 如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当______s时，的面积为． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键．先算乘方，绝对值，再算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】解：原式 ． 18. 解分式方程：. 【答案】无解 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解. 【详解】方程两边同乘，得 解得 检验：当时， 不是原方程的解，即原方程无解. 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小红在商店停留了______分钟，由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了______米； （2）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是______米分钟； （3）小红在骑车______分钟时，距离舅舅家300米． 【答案】（1）4，1200 （2） （3）4或 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图像、函数图像的应用等知识点，从函数图像上获取所需信息成为解题的关键． （1）根据题意以及图像可知，小红在商店停留了4分钟，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个600米； （2）根据图像中的数据用路程除以所用的时间即可； （3）分开始去时和离开商店去时，两种情况分别根据图像解答即可． 【小问1详解】 解：小红在商店停留了的时间为分钟，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个600米，即1200米． 故答案为：4，1200． 【小问2详解】 解：在分钟时，速度为：（米/分钟）； 在分钟时，速度为：（米/分钟）； 在分钟时，速度为：0（米/分钟）； 分钟时，（米/分钟）， 所以，小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是450米分钟． 故答案为：450． 【小问3详解】 解：由函数图像可知小红4分钟时距离家1200米，即距离舅舅家300米； 由函数图像可得：当小红再次离开商店时速度米分钟， ∴当小红再次离开商店后距离舅舅家距离300米的时间为：； 故答案为：4或． 21. 已知与成正比例，且它的图像过点． （1）求与之间的函数解析式； （2）若点在此函数图像上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查成正比例的意义，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征， （1）设与之间的函数关系式为，再将代入，得到关于的方程，求解即可； （2）利用一次函数图像上点的坐标特征可求出值，进而可得出点的坐标； 解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图像上点的坐标特征求出值． 【小问1详解】 解：∵与成正比例，且它的图像过点， 设， ∴， 解得：， ∴与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 ∵点在函数的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 22. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 【答案】（1）每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元． （2）该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式与分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元，根据“用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”可列出分式方程，故可求解； （2）设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元，列出不等式组，求得的范围，再求得y关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意 ． 每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元， 根据题意，得， 解得（为整数）． ， ， 随的增大而减小， （为整数）， 当时，值最大，， 此时购进空调的数量是台， 该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 23. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 24. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】（1）C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，求出、的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：C为D“雅中式”，且“雅中值”为，证明如下： ∵，， ∴， ∴C为D的“雅中式”，且“雅中值”为； 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是1， ， ， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：， 的值为：， ； 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， ∴， ∴， ∵式子恒成立： ， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+n（n＜0）与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）若n＝﹣1，点A的坐标为(2，3)． ①直接填空：m的值为_______，k的值为_______； ②点P是x轴上一点，且位于点B的右侧．若△PAC的面积为6，求点P的坐标； （2）过点M(1，0)作y轴的平行线l与函数y＝的图象交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线y＝kx+n交于点P（点P、D不重合）．问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 【答案】（1）①6，2；②P(，0)；（2）当k＝1时，PD+DE的值为定值1，此时m，n应该满足的条件是0＜m﹣n＜1 【解析】 【分析】（1）①将点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，结合可得和的值； ②设，根据的面积为6，则，列方程解出可得结论； （2）分两种情况：①如图2，当点在直线的左侧时，即时，②如图3，当在直线的右侧时，即时，根据计算可得结论． 【详解】解：（1）当时，， ①直线与反比例函数的图象交于第一象限的点，且点的坐标为， ，， ， 故答案为：6，2； ②如图1， 当时，， ， 设， 的面积为6， ， ， ， ，； （2）依题意得：，， ， 当时，， ， ，， 如图2，当点在直线的左侧时，即时， ， ， 当时，的值为定值1； ，，，， ， ； 当时，的值为定值1，此时、应满足的条件是； 如图3，当在直线的右侧时，即时， ， ， 当时，的值为定值， ，的值为正数， 当不合题意，舍去， 综上，当时，的值为定值1，此时，应该满足的条件是． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用，解题时正确画图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$