广东省阳江市第三中学2024-2025学年高三下学期数学考前适应性训练卷

2024-2025学年“金榜题名会有时之一举夺魁天下知” 高三数学考前适应性训练卷 班级： 姓名： 学号： 时间：2025年5月14日 一、单选题(人生就是不断选择的过程。善于积累足够知识。做对每一道单项选择题，踏准无悔的人生征途！) 1．(人人拥有各自的集合，这辈子我们会与多少人有交集？亲情、爱情、友情交汇在一起，我们才是完整的！只要心中充满爱，人生定会很精彩！）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．(实数——面包和水，是实际的物质生活品；虚数——信仰和文化，是我们的精神家园。在这个人生的复平面内，两者缺一不可。）已知复数满足，则（     ） A． B． C．1 D． 3．(法国数学家拉普拉斯曾说过：“人生中最重要的问题，在绝大多数情况下，真的就只是概率问题。概率让我们相信：做好当下，即是未来。)四位同学各自在“五一”劳动节五天假期中任选一天参加公益活动，则甲在5月1日、乙不在5月1日参加公益活动的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（如果你是双曲线，我就是那渐近线，让我慢慢靠近你，懂你，激励你，直到静静地看你走向理想中的大学校园)已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 5．(向量，既有大小，亦有方向。人生如向量，总要面临选择，更加需要努力，选择即方向，努力即长度。)已知两个单位向量满足，则（     ） A．0 B． C．1 D．2 6．（多少年以后，同学相聚，我们不比财富多少，只畅谈青春岁月：若有闲暇，常回曾经的心灵港湾三中看看。)已知，，，则（     ） A． B． C． D． 7．(从高中到大学，生活如一幅渐渐展开的画卷，过程中的点点滴滴，就是展开式中每一项。)若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，在的展开式中，的系数为（     ） A．30 B．60 C．40 D． 8．(“横看成岭侧成峰”，太在乎别人的看法，我们会活得很累，需有自己的坚持。)已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 二、多选题(人生一辈子要解决的事情，不是该要什么，而是不该要什么，执于欲念，痛苦放不下，只会打乱内心的安宁) 9．(人生就像函数图像，有高潮也有低谷，努力吧，少年！)已知函数，则（     ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 10．(你用数学，成就自我，放飞梦想，寻找你的人生坐标，我用数学，教书育人，坚守讲台，去解我的生活方程)已知抛物线的焦点为，点在上，则（     ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 11．(向量人生，大小与方向同频共振，追逐独特的运动轨迹)已知向量，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 三、填空题(未来，若是空白，就来填补；若不是，则来点缀，不管怎样，该昂首向前。) 12．(生活就是在一定的约束条件下，寻求自我的最优解，细心的你肯定会让失误减少到最小，让正常发挥到最大。）写出一个同时满足下列三个性质的函数 ． ①若，则；②；③在上单调递减． 13．(数列遵循的是规律，人生不变的是初心）已知为等差数列的前项和，若，则 . 14．(人生就像抛物线，不管我们走得有多高，终会回归到原点）已知点在抛物线上，的焦点为，则 ． 四、解答题(成功只是结果，过程才是人生，规范答题，分步得分，俊朗少年，去享受做题的过程吧！) 15．(人生都有求和时，不是减来就是加，就是加；人生多像七彩霞，不是诗来就是画，就是画。）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和. 16．(人生犹如三角形，工作、快乐、健康，三条边画得越粗越好！）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ；(2)若 ，点 在边 上，且 ，求 的长． 17．(人生的发展，也会遵循空间几何学：“点”：人生的定位，“线”：人生的轨迹，“面”：观察的视野，“体”：生存的空间。）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. (1)证明：平面ABCD. (2)若，求二面角的余弦值. 18．(生活，一定是把压轴的好运留给了你，做好压轴题，让你人生轻松逆袭）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的零点个数； (3)对于恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年“金榜题名会有时之一举夺魁天下知” 高三数学考前适应性训练卷解析版 2025.5.14 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由，，所以. 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D【详解】因为，所以． 3．四位同学各自在“五一”劳动节五天假期中任选一天参加公益活动，则甲在5月1日、乙不在5月1日参加公益活动的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】四位同学参加公益活动的试验有个基本事件，它们等可能， 甲在5月1日、乙不在5月1日参加公益活动的事件含有的基本事件数是，所以. 4．已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D【详解】由题可得，所以的离心率为. 5．已知两个单位向量满足，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C【详解】由两个单位向量，可得，因为，可得，所以，则，所以. 6．已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①令， 令，， 当时，单调递增，又，∴，又， ∴在成立，∴，即；②令，则， 在时，，则为减函数，∴，即； ③令，则，故在为减函数， ∴，即；∴，令，则， 即，∴，∴． 7．若为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，在的展开式中，的系数为（   ） A．30 B．60 C．40 D． 【答案】B【详解】因为为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数， 且，所以，所以的展开式的通项为， 令，所以展开中的系数为. 8．已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：，代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 【答案】BD【详解】， 不是偶函数，故A错误；令，则，当时，，所以是函数的对称轴，故B正确； ，故C错误；令，则， 当时，，故在上单调递减，故D正确. 10．已知抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误；对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得，解得，所以C正确；对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 11．已知向量，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时， 【答案】ABD【详解】对于A，因为向量，所以，即，故A正确；对于B，等价于，即，则， 所以，所以，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故C错误；对于D，， 当，即时，取得最大值时，此时，故D正确． 三、填空题 12．写出一个同时满足下列三个性质的函数 ． ①若，则；②；③在上单调递减． 【答案】（答案不唯一）【详解】比如，，故，又，也即成立，又在上单调递减． 13．已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】590 【详解】设公差为， 由可得解得，故， 14．已知点在抛物线上，的焦点为，则 ． 【答案】2 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线为， 所以点到准线的距离，则. 四、解答题 15．已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和. 【详解】（1），当时，；当时，，且满足上式，所以. （2）， ，数列的前项和为. 16．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ；(2)若 ，点 在边 上，且 ，求 的长． 【详解】（1）由 和正弦定理，可得， 因，则，化简得，. （2）由（1）得，由余弦定理，，即,将代入化简：，解得，因，由可得： ,即，解得. 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，. (1)证明：平面ABCD.(2)若，求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为底面为正方形，所以.又因为，，平面，所以平面PBD；因为平面，所以.因为，与相交，平面. 所以平面. （2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为. ，易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，讨论函数的零点个数； (3)对于恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导得，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，函数和都为增函数，则函数为增函数， 而，，则， 当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，因此函数在上无零点； 当时，，当时，， 即当时，，函数在上单调递增，又， 于是函数在上有1个零点，所以函数在上有1个零点. （3）令，，， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递增， ①当，即时，， 函数在上单调递增，，在上恒成立； ②当，即时，，由函数在上的图象连续不断， 知，当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意，所以实数m的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$