北京市北京中学2024-2025学年高一下学期期中质量调研数学试题

第 1页，共 4页 2024—2025 学年度第二学期期中质量调研试题 高一 数学 本试卷共 4页，满分 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规 定处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡 交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．） 1． 5( 1)x  的展开式中，所有二项式系数的和为 A．0 B．1 C． 52 D． 62 2．某兴趣小组组织 A，B，C三项比赛，请甲、乙、丙三位同学参加，每项冠军只有一 人，若甲恰好拿到其中一项冠军，则不同的冠军归属有 A．6种 B．12种 C．18种 D．27种 3．定义在R 上的函数  f x 其导函数为  f x ，若  1f x  为偶函数，则 A．  1 0f   B．  1 0f    C．  1 0f  D．  1 0f   4．A，B，C三所大学发布了面向高一学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学. 某中学现有四位学生报名. 若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有 A．72种 B．81种 C．30种 D．36种 5．若奇函数  f x 的定义域为      ,0 0, , f x    在  ,0 上的图象如图所示，则不 等式     0f x f x  的解集是 A．    , 1 0,1   B．    1,0 1,    C．    , 1 1,     D．    1,0 0,1  6．若函数   1 2lnf x ax x x    在 1 ,2 2 x      上有极值，则 a的取值可能是 A． 1 B． 1 2  C．0 D．1 第 2页，共 4页 7．已知函数    2ln (f x x x b b    )R 在 1,2 上存在递减区间，则实数b的取值范围是 A． 3 , 2    B． 9 , 4    C． 3 , 2      D． 9 , 4      8.如右图，直线 2y ax  与曲线 ( )y f x 有 A B、 两个公共点，其中 A是切点，记    g x f x ax  ，则下列判断正确的是 A．  g x 只有一个极值点 B．  g x 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C． ( )g x 的极小值点小于极大值点，且极小值为 2 D． ( )g x 的极小值点大于极大值点，且极大值为 2 9. 在探究 ( )na b 的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，如下左图，借 助它发现规律．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了这 个表，因此，我们称其为杨辉三角. 杨辉三角第6行的 7个数依次为 06C ， 1 6C ， 2 6C … 5 6C ， 6 6C ．现将杨辉三角中第  1,n n n  N 行的第  1 1,r r n r n     N N 个数乘以 ( 1)r  ，第0行的一个数为0，得到一个新的 三角数阵如上右图：在这个新的三角数阵中，第  n n N 行的所有数的和为 A． 2nn  B． 12nn  C． 11 2nn  （ ） D． 1 2nn  （ ） 10．设函数    ln 1 sinf x x a x   ．若    0f x f 在  1,1 上恒成立，则 A． 0a  B． 1a  C．0 1a  D． 1a  第 3页，共 4页 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5分，共 30 分．） 11． 4(1 2 )x 的展开式中含 2x 项的系数为 ． 12．如图，函数 ( )f x 的图象是折线段 ABC，其中 A B C， ， 的坐标分别为 (0 4) (2 0) (6 4)，，，，， ，则 ( (0))f f  ；函数 ( )f x 在 1x  处的导数 (1)f   ． 13．将分别写有 2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不 为 0），则组成的不同四位数的个数有 .（用数字作答） 14．函数   lnf x x 与函数   2 1 2 g x mx  有两个不同的交点，则m的取值范围是 . 15．对于三次函数    3 2 0f x x bx cx d a     ，定义：设  f x 是函数  y f x 的函 数  y f x  的导数，若   0f x  有实数解 0x ，则称点   0 0x f x， 为函数  y f x 的“拐 点”；此时  f x 的图象关于“拐点”对称. 已知函数   3 23 2 2f x x x x    的“拐点”为A， 则点A坐标为 ，  y f x 在点A的切线为  y g x ，若存在  0,x   ，使不 等式   1 ln 0ax g x x     成立，则实数 a的取值范围是 . 16．已知 aR ，函数 3( ) 1f x x ax   有两个极值点 1 2,x x ，给出下列四个结论： ① a可能是负数； ② 1 2 0x x  ； ③ 1 2( ) ( )f x f x 为定值； ④若存在 0x R ，使得 0 0( 2) ( ) 1f x f x   ，则 1 2 a  . 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分. 解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明 过程.） 17．（本题满分 12分）已知 12 n x x      的展开式中，各项的系数之和为 729. (1)求 n的值； (2)求展开式中第三项的二项式系数和第三项； (3)求展开式的常数项． 第 4页，共 4页 18．（本题满分 14分）已知函数 ln( )( ) 1 axf x x   . (1)当 1a  时，求 ( )f x 的定义域； (2)若 ( )f x 在区间 ( , 1]  上单调递减，求 a的取值范围； (3)当 2 e a  时，若 (0,1)x ，证明：则 ( ) 2f x  . 19．（本题满分 14分）已知函数   21e 2 xf x x  ，设 l为曲线  y f x 在点   0 0,P x f x 处 的切线，其中  0 1,1x   ． (1)求直线 l在 y轴上的截距的取值范围： (2)设直线 y a 分别与曲线  y f x 和射线 1y x  （  0,x  ）交于 M，N两点，求 MN 的最小值及此时 a的值． 20.（本题满分 15 分）已知函数 x xaxf 1ln)(  ， aR ． (1)当 1a  时，求曲线 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； (2)求函数 )(xf 的极值； (3)若 ( )y f x 在 1x 时取得极值，设 x xfxg 1)()(  ，当 1 20 x x  时，试比较 2 1( ) ( ) 2 g x g x 与 2 1 2 1 x x x x   的大小，并说明理由． 21．（本题满分 15分）给定正整数 3N  ，已知项数为m且无重复项的数对序列      1 1 2 2: , , , , , ,m mA x y x y x y 满足如下三个性质： ①  , 1,2, ,i ix y N  ，且  1,2, ,i ix y i m   ； ②  1 1,2, , 1i ix y i m    ； ③  ,p q 与  ,q p 不同时在数对序列 A中． (1)当 3, 3N m  时，写出所有满足 1 1x  的数对序列 A； (2)当 6N  时，证明： 13m  ； (3)当N 为奇数时，记m的最大值为  T N ，求  T N ．